Đề thi chọn HSG Toán 8 năm 2020-2021

UBND HUYỆN PHÒNG GD&ĐT KỲ THI HỌC SINH GIỎI 03 MÔN VĂN HÓA LỚP 8 CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2019-2020 ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI MÔN: Toán Thời gian: 150 phút (Không kể thời gian giao đề) (Đề gồm 01 trang) ĐỀ BÀI Câu 1: (4.0 điểm) Cho biểu thức M = 1. Rút gọn M 2. Tìm x để M ≥ 1 3. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức M. Câu 2: (4.0 điểm) 1. Cho số nguyên tố p > 3 và 2 số nguyên dương a, b sao cho: p 2 + a2 = b2 . Chứng minh a chia hết cho 12 2. Cho x, y là số hữu tỷ khác 1 thỏa mãn: Chứng minh M = là bình phương của một số hữu tỷ. Câu 3: (4.0 điểm) 1. Tìm hai số nguyên dương x; y thoả mãn: 2. Giải phương trình: . Câu 4: (6.0 điểm) Cho hình vuông ABCD có 2 đường chéo AC và BD cắt nhau tại O. Trên cạnh AB lấy M (0 3 và 2 số nguyên dương a, b sao cho: p2 + a2 = b2 . Chứng minh a chia hết cho 12. 2. Cho x, y là số hữu tỷ khác 1 thỏa mãn: . Chứng minh M = là bình phương của một số hữu tỷ 2 2 2 2 1. Ta có: p + a = b  p = (b + a)(b - a) Mà ước của p2 là 1; p và p2 Do b + a > b – a với mọi a, b nguyên dương và p nguyên tố lớn hơn 3 Nên không xảy ra trường hợp b + a = b – a = p Do đó Câu 2 (1) 4.0 đ 0.25 0.25 0.25 Mà p nguyên tố và p > 3, suy ra p lẻ nên p + 1 và p – 1 là hai số chẵn (2) Từ (1) và (2) suy ra (p + 1)(p -1) chia hết cho 8 Suy ra 2a chia hết cho 8, nên a chia hết cho 4 (3) Lại có p nguyên tố và p > 3. Nên p không chia hết cho 3 và p2 là số chính phương lẻ. Do đó p2 chia 3 dư 1 Suy ra p2 – 1 chia hết cho 3, nên 2a chia hết cho 3 Suy ra a chia hết cho 3 ( vì (2, 3) = 1) (4) Tư (3) và (4) suy ra a chia hết cho 12 (do (3, 4) = 1) (đpcm) 0.25 2. Ta có 0.5 0.25 0.25 0.25 0.25 0.5 Khi đó: M= Vì x, y Câu 3 0.5 nên là số hữu tỷ, vậy M là bình phương của một số hữu tỷ 0.5 1. Tìm hai số nguyên dương x; y thoả mãn: 4.0 đ 2. Giải phương trình: 1. Ta có: (1) Do x, y nguyên dương nên: 41 ≤ 40x + 1 < 40x + 40y Suy ra Nên 16 < (x + y)4 và (x + y)3 < 40. Suy ra 2 < x + y < 4 Mà x, y nguyên dương; nên x + y = 3 (2) Thay (2) vào (1) ta có: 40x + 1 = 34 x = 2, thay vào (2) tìm được y = 1 Vậy (x; y) = (2; 1) 2. -Ta có Đặt 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 . Ta có PT 0.5 -Xét các trường hợp của t ta tìm được x=0 ; x= ; x= ; x= 0.5 -KL Cho hình vuông ABCD có 2 đường chéo AC và BD cắt nhau tại O. Trên cạnh AB lấy M ( 0 < MB < MA) và trên cạnh BC lấy N sao cho . Gọi E là giao điểm của AN với DC, gọi K là giao điểm của ON với BE 1. Chứng minh vuông cân 2. Chứng minh: MN // BE và CK 0.5 BE. 3. Qua K vẽ đường song song với OM cắt BC tại H. Chứng minh: Hình vẽ: A M B O N Câu 4 6.0 đ K D E C H 1. -Ta có vì ; 0.5 -Ta có BD là phân giác góc ABC Tương tự ta có -Xét và *Xét 2. + có Vậy ta có có OB=OC ; 0.5 ; 0.5 vuông cân tại O 0.5 ; mà AB=BC 0.25 0.25 Ta có AB//CD 0.25 ( theo định ký Ta- lét đảo ) + Vì MN//BE cân) ( 2 góc đồng vị và có tam giác MON vuông 0.25 0.25 ( vì có Xét 0.25 ) có ; 0.25 Vậy ta có 0.25 3. -Vì KH//OM mà mà Xét có , là phân giác trong của là phân giác ngoài của , mà 0.5 . Chứng minh tương tự ta có 0.5 -Vậy ta có 0.5 Cho hai số không âm biểu thức: và thoả mãn . Tìm giá trị lớn nhất của 2.0 đ + Ta có Câu 5 0.5 (do + Chứng minh được với hai số dương thì 0.5 0.5 + Do đó 0.5 + Kết luận: GTLN của S là 2020, đạt được khi Điểm toàn bài . 0.5 20 đ Lưu ý khi chấm bài: - Điểm toàn bài làm tròn đến 0,25 điểm. - Trên đây chỉ là sơ lược các bước giải, lời giải của thí sinh cần lập luận chặt chẽ, hợp logic. Nếu thí sinh trình bày cách làm khác mà đúng thì cho điểm các phần theo thang điểm tương ứng.