Đề thi chọn HSG Toán 8 huyện Anh Sơn năm 2013-2014

PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO HUYỆN ANH SƠN ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 6, 7, 8. CẤP THCS - HUYỆN ANH SƠN NĂM HỌC 2013-2014 MÔN THI: TOÁN – LỚP 8 Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề) Câu 1 (2.5 điểm) Cho biểu thức a/ Nêu ĐKXĐ và rút gọn biểu thức A. b/ Tính giá trị của biểu thức A tại x = c/ Tìm giá trị nguyên của x để A nhận giá trị nguyên. Câu 2 (2.5 điểm) a/ Giải phương trình: x 3 - 4x + 1=  x - 1 2 b/ Chứng minh rằng biểu thức S =  n 2 + n - 1 - 1 chia hết cho 24 với mọi số nguyên n. 2 2 2 c/ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = x + 2y + 2xy - 6x - 8y + 2024 Câu 3 (2.0 điểm) Cho hình vuông ABCD có M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CD, DA. Gọi H là giao điểm của AN và DM. Chứng minh rằng: a/ Tứ giác BMDP là hình bình hành. b/ BA = BH Câu 4 (2 điểm) Cho có 3 góc nhọn. Các đường cao AD, BE, CF đồng quy tại H. Chứng minh rằng: a/ AEB AFC   b/ AEF ABC c/ BH.BE  CH.CF  BC 2 Câu 5 (1 điểm) Cho 3 số a, b, c  R * thỏa mãn điều kiện: và 1 1 1   1. a b c Chứng minh rằng có ít nhất một số bằng 1. - HẾT Cán bộ coi thi không được giải thích gì thêm! Đáp án và biểu điểm chấm thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán 8 Năm học 2013 – 2014 Bài 1 Câu a ĐKXĐ: Nội dung cần đạt Điểm 0,5đ = = 0,25đ = 0,25đ = b Với x 0,25đ ( ĐKXĐ) 0,25đ Thay vào A ta có A = c Với x 0,5đ ĐKXĐ. A có giá trị nguyên có giá trị nguyên khi đó x + 2 x – 3 nên ( x + 2) – ( x – 3) x – 3 x–3 x–3 Do đó x Đối chiếu với ĐKXĐ ta thấy có 3 giá trị thỏa mãn đề bài là x = 2; x = 4; x = 8 2 a 0,25đ 0,25đ Giải phương trình 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ b 0,25đ 0,25đ S là tích của bốn số nguyên liên tiếp nên S chia hết cho 3 vá S 0,25đ chi hết cho 8, mà 3 và 8 là hai số nguyên tố cùng nhau nên S chia hết cho 24 c 0,25đ 0,25đ P = 2014 x = 2; y = 1. Vậy Pmin = 2014 khi x = 2; y = 1. 0,25đ M C B N H Q D A a Xét tứ giác BMDP ta có: BM//=DP( Vì BM=DP = b P BC= AD) Nên tứ giác BMDP là hình bình hành Xét tam giác ADH Ta có P là trung điểm của AD mà PQ //DH Nên theo tính chất của đường trung bình ta có Q là trung điểm của AH(1) Mặt khác: (c – g – c) Nên mà ( Do ) Vì vậy Do đó vuông tại Q nên BQ AH (2) Từ (1) và (2) Tam giác ABH cân tại B ( Vì BQ vừa là đường cao vừa là trung tuyến). Nên AB = BH 1,0đ 0,25đ 0,5đ 0,25đ 4 A E F H a Xét chung B D và ta có ( b Do đó Vì Nên 0,5đ ) (g –g) (g –g) kết hợp với Do vậy Vì vậy c C (c- g- c) Vì (g –g) nên Vì (g –g) nên Do đó BH.BE + CH.CF = BC (CD +BD) =BC.BC =BC 5 Vì 0,75đ 0,75đ 2 và Nên Biến đổi hệ thức trên ta có (a + b)( b +c)(c +a) = 0 Nên a + b = 0 hoặc b + c = 0 hoặc c + a = 0 Nếu a + b = 0 thì c = 1 Nếu b + c = 0 thì a = 1 Nếu c + a = 0 thì b = 1 Vậy trong 3 số a, b, c có ít nhất một số bằng 1 0,5đ 0,5đ