20 Đề thi học sinh giỏi toán 8

Tuy thi HSG Toán www.VETMATHS.com Năm c: 2012­2013ể ọĐ THI 1Ề ỐCâu 1: 4,0 đi m)ểPhân tích các đa th sau thành nhân :ứ ửa) 3x 7x 2; b) a(x 1) x(a 1).Câu 2: (5,0 đi m)ể Cho bi th ứ2 22 32 3( )2 2x xAx x   a) Tìm ĐKXĐ rút bi th ?ồ ứb) Tìm giá tr 0?ị ểc) Tính giá tr trong tr ng |x 7| 4.ị ườ ợCâu 3: (5,0 đi m)ểa) Tìm x,y,z th mãn ph ng trình sau ươ9x 2z 18x 4z 6y 20 0.b) Cho 1x za c và 0a cx z Ch ng minh ng ằ2 22 21x za c .Câu 4: (6,0 đi m)ể Cho hình bình hành ABCD có đng chéo AC đng chéo BD. E, ườ ườ ầl là hình chi và xu ng đng th ng AC. và là hình chi ượ ườ ượ ếc xu ng đng th ng AB và AD.ủ ườ ẳa) giác BEDF là hình gì Hãy ch ng minh đi đó ềb) Ch ng minh ng CH.CD CB.CKứ ằc) Ch ng minh ng AB.AH AD.AK ACứ 2.HƯỚNG DẪN CHẤM THINội dung đáp án ĐiểmBài1a2,03x 7x 3x 6x =1,0= 3x(x ­2) (x 2)0,5Gv: ND H¦NG Tr ng THCS NTTườ 1Tuy thi HSG Toán www.VETMATHS.com Năm c: 2012­2013ể ọ= (x 2)(3x 1).0,5b2,0a(x 1) x(a 1) ax 2x =1,0= ax(x a) (x a) =0,5= (x a)(ax 1).0,5Bài2: 5,0a 3,0ĐKXĐ 222 32 04 02 233 02 0xx xx xxx xx x        1,02 22 32 (2 (2 (2 )( .2 (2 )(2 3)x xAx x   1,024 (2 ).(2 )(2 3x xx x  0,524 2) (2 4(2 )(2 )( 3) 3x xx x   0,25V ớ0, 2, 3x x thì 24x3Ax .0,25b 1,0V ớ240, 3, 03xx Ax 0,253 0x 0,253( )x TMDKXD 0,25V thì 0.ậ ớ0,25c 1,07 47 47 4xxx   0,511( )3( )x TMDKXDx KTMDKXD0,25V 11 thì 1212 0,25Bài 5,0a 2,59x 2z 18x 4z 6y 20 0(9x 18x 9) (y 6y 9) 2(z 2z 1) 1,09(x 1) (y 3) (z 1) (*)0,5Do 2( 1) 0; 3) 0; 1) 0x z 0,5Gv: ND H¦NG Tr ng THCS NTTườ 2Tuy thi HSG Toán www.VETMATHS.com Năm c: 2012­2013ể ọNên (*) 1; 3; ­10,25V (x,y,z) (1,3,­1).ậ0,25b 2,5T ừayz+bxz+cxy0 0a cx xyz 0,5ayz bxz cxy 00,25 Ta có 21 1x za c 0,52 22 22( 1x xy xz yza ab ac bc 0,52 22 22 1x cxy bxz ayza abc  0,52 22 1( )x zdfcma c 0,25Bài 6,0O FEKHCADB0,25a 2,0Ta có BE AC (gt); DF AC (gt) => BE // DF0,5Ch ng minh ứ( )BEO DFO g 0,5=> BE DF0,25Suy ra Tứ giác BEDF là hình bình hành.0,25b 2,0Ta có: ····ABC ADC HBC KDC 0,5Ch ng minh ứ( )CBH CDK g :1,0. .CH CKCH CD CK CBCB CD 0,5b, 1,75Ch ng minh ứAF )D AKC g :0,25AF. .AKAD AK ACAD AC 0,25Ch ng minh ứ( )CFD AHC g :0,25Gv: ND H¦NG Tr ng THCS NTTườ 3Tuy thi HSG Toán www.VETMATHS.com Năm c: 2012­2013ể ọCF AHCD AC 0,25Mà CD AB .CF AHAB AH CF ACAB AC 0,5Suy ra AB.AH AB.AH CF.AC AF.AC (CF AF)AC =AC (đfcm). 0,25Đ 2Ề ỐCâu1. a. Phân tích các thức sau ra thừa số:4x 4  24 b. Giải ph ươ ng trình: 2x 30x 31x 30 0 c. Cho c1b b  Chứng minh rằng: 2a c0b b  Câu2. ho biểu thức: 22x 10 xA 2x 2        a. Rút gọn biểu thức A. b. Tính giá trị của Biết 12 c. Tìm giá trị của 0. d. Tìm các giá trị nguyên của có giá trị nguyên.Câu 3. Cho hình vuông ABCD, là một iểm tuỳ trên đư ờng chéo BD. Kẻ ME AB,MF AD.a. Chứng minh: DE CFb. Chứng minh ba đư ờng thẳng: DE, BF, CM ồng quy.c. Xác ịnh vị trí của iểm diện tích tứ giác AEMF lớn nhất.Câu 4. a. Cho dố ươ ng a, b, có ng ng 1. Ch ng minh ng: ằ1 19a c b. Cho a, ¬ng vµ 2000 2000 2001 2001 2002 2002 nh: 2011 2011H ỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI LỚP 8Câu áp án iểmGv: ND H¦NG Tr ng THCS NTTườ 4Tuy thi HSG Toán www.VETMATHS.com Năm c: 2012­2013ể ọH ỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI LỚP 8Câu 1(6 iểm) a. 4x 4x (x 4x 4) (2x) (x 2x)(x 2x) 2)( 3)( 4)( 5) 24 (x 7x 11 1)( 7x 11 1) 24 [(x 7x 11) 1] 24 (x 7x 11) (x 7x 6)( 7x 16) (x 1)(x 6) )( 7x 16) (2 m)ểb. 2x 30x 31x 30 0 <=>2x 0 (*)Vì (x 12 34 x (*) <=> (x 5)(x 6) x 5x 6     (2 m)ểc. Nhân cả vế của: c1b b  với c; rút gọn đ pcm (2 m)ểCâu 2(6 iểm) Biểu thức: 22x 10 xA 2x 2        a. Rút gọn đư ợc kq: 1Ax 2(1.5 m)ểb. 1x2 1x2 hoặc 1x24A3 hoặc 4A5(1.5 m)ểc. 2 (1.5 m)ểd. 1A ... 1;3x 2  (1.5 m)ểCâu 3(6 m)ể HV GT KL (1 m)ểGv: ND H¦NG Tr ng THCS NTTườ 5Tuy thi HSG Toán www.VETMATHS.com Năm c: 2012­2013ể ọH ỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI LỚP 8a. Ch ng minh: ứAE FM DF AED DFC pcm(2 m)ểb. DE, BF, CM là ba đư ng cao ủEFC pcm(2 m)ểc. Có Chu vi hình ch nh AEMF 2a không iổME MF a không iổAEMFS ME.MF nh ME MF (AEMF là hình vuông)M là trung BD.ể (1 m)ểCâu 4:(2 m)ể a. c1a a1 c1b b1 b1c c    c3a b3 9     Dấu bằng xảy ra 13 (1 m)ểb. (a 2001 2001).(a+ b) (a 2000 2000).ab 2002 2002 (a+ b) ab 1 (a 1).(b 1) 0 hoÆc 1Víi => 2000 2001 => hoÆc (lo¹i)Víi => 2000 2001 => hoÆc (lo¹i)VËy 1; => 2011 2011 (1 m)ểĐỀ THI 3ỐBài 1: (4 điểm)Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:a) (x z) 3.b) 2010x 2009x 2010.Bài 2: (2 điểm)Giải phương trình:x 241 220 195 1661017 19 21 23  .Bài 3: (3 điểm)Gv: ND H¦NG Tr ng THCS NTTườ 6Tuy thi HSG Toán www.VETMATHS.com Năm c: 2012­2013ể ọTìm biết:2 22 22009 2009 2010 201019492009 2009 2010 2010  .Bài 4: (3 điểm)Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 22010x 2680Ax 1 .Bài 5: (4 điểm)Cho tam giác ABC vuông tại A, là điểm di động trên cạnh BC. GọiE, lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm lên AB, AC.a) Xác định vị trí của điểm để tứ giác AEDF là hình vuông.b) Xác định vị trí của điểm sao cho 3AD 4EF đạt giá trị nhỏ nhất.Bài 6: (4 điểm)Trong tam giác ABC, các điểm A, E, tương ứng nằm trên các cạnhBC, CA, AB sao cho: ······AFE BFD, BDF CDE, CED AEF .a) Chứng minh rằng: ··BDF BAC .b) Cho AB 5, BC 8, CA 7. Tính độ dài đoạn .Một lời giải:Bài 1: a) (x z) 33 3x z     = 22 2y yz z   = 2y 3x 3xy 3yz 3zx 3y y   = 3x x .b) 2010x 2009x 2010 4 2x 2010x 2010x 2010 = 2 2x 2010 1 2 2x 2010 .Bài 2: 241 220 195 1661017 19 21 23  x 241 220 195 1661 017 19 21 23  Gv: ND H¦NG Tr ng THCS NTTườ 7Tuy thi HSG Toán www.VETMATHS.com Năm c: 2012­2013ể ọx 258 258 258 258017 19 21 23  1 1x 258 017 19 21 23    x 258 Bài 3: 2 22 22009 2009 2010 201019492009 2009 2010 2010  .ĐKXĐ: 2009; 2010 .Đặt 2010 (a 0), ta có hệ thức:2222a a1949a a  22a 193a 3a 49   2 249a 49a 49 57a 57a 19 28a 8a 30 0 222a 2a 2a 0 3a25a2  (thoả ĐK)Suy ra =40232 hoặc 40152 (thoả ĐK)Vậy =40232 và 40152 là giá trị cần tìm.Bài 4:22010x 2680Ax 1 22 2335x 335 335x 2010x 3015 335(x 3)335 335x 1   Vậy giá trị nhỏ nhất của là 335 khi 3.Bài 5:a) Tứ giác AEDF là hình chữ nhật (vì µµ$oE 90 )Để tứ giác AEDF là hình vuông thì AD là tia phân giác của ·BAC .b) Do tứ giác AEDF là hình chữ nhật nên AD EFSuy ra 3AD 4EF 7AD3AD 4EF nhỏ nhất AD nhỏ nhất là hình chiếu vuông góc của lên BC.Bài 6:a) Đặt ······AFE BFD BDF CDE CED AEF .Ta có ·0BAC 180 (*)Gv: ND H¦NG Tr ng THCS NTTườ EFABCDTuy thi HSG Toán www.VETMATHS.com Năm c: 2012­2013ể ọQua D, E, lần lượt kẻ các đường thẳng vuông góc với BC, AC, ABcắt nhau tại O. Suy ra là giao điểm ba đường phân giác của tam giácDEF.···oOFD OED ODF 90 (1)Ta có ···oOFD OED ODF 270 (2)(1) (2) o180 (**)(*) (**) ··BAC BDF .b) Chứng minh tương tự câu a) ta có:µB , µC AEF DBF DEC ABCBD BA 5BF 5BF 5BFBD BD BDBF BC 8CD CA 7CE 7CE 7CECD CD CDCE CB 8AE AB 7AE 5AF 7(7 CE) 5(5 BF) 7CE 5BF 24AF AC 7             CD BD 3 (3) Ta lại có CD BD (4)(3) (4) BD 2,5ĐỀ 4Bài (3 đi m)ể Tìm bi t:ếa) 4x 25 b) 410041x198621x199017xc) 12.2 32 Bài (1,5 đi m)ể Cho x, y, đôi khác nhau và ộ0z1y1x1 Tính giá tr bi th c: ứxy2zxyxz2yxzyz2xyzA222Bài (1,5 đi m)ể Tìm các chính ph ng ch bi ng khi ta thêm 1ấ ươ ằđn vào ch hàng nghìn thêm đn vào ch hàng trăm, thêm đn vàoơ ịch hàng ch c, thêm đn vào ch hàng đn ta đc chínhữ ượ ốph ng.ươBài (4 đi m)ể Cho tam giác ABC nh n, các đng cao AA’, BB’, CC’, là tr tâm. ườ ựa) Tính ng ổ'CC'HC'BB'HB'AA'HAb) Aọ là phân giác tam giác ABC; IM, IN th là phân giác góc AIC và gócứ ủAIB. Ch ng minh ng: AN.BI.CM BN. IC.AM.ứ ằGv: ND H¦NG Tr ng THCS NTTườ 9OABCFDEsssTuy thi HSG Toán www.VETMATHS.com Năm c: 2012­2013ể ọc) Tam giác ABC nh th nào thì bi th ứ2222'CC'BB'AA)CABCAB( đt giá tr nh nh t?ạ ấĐÁP ÁN Bài (3 đi m):ể a) Tính đúng 7; ­3 đi )ể b) Tính đúng 2007 đi )ể c) 12.2 +32 x.2 4.2 8.2 4.8 0,25đi )ể x(2 4) 8(2 4) (2 8)(2 4) 0,25đi )ể (2 3)(2 –2 2) –2 ho 2ặ –2 0,25đi )ể ho 2ặ 3; 0,25đi Bài (1,5 đi m):ể0z1y1x10xzyzxy0xyzxzyzxyyz –xy–xz 0,25đi )ểx 2+2yz 2+yz–xy–xz x(x–y)–z(x–y) (x–y)(x–z) 0,25đi )ể ng yươ 2+2xz (y–x)(y–z) 2+2xy (z–x)(z–y) 0,25đi )ểDo đó:)yz)(xz(xy)zy)(xy(xz)zx)(yx(yzA 0,25đi )ểTính đúng 0,5 đi )ể Bài (1,5 đi m):ể ọabcd là ph tìm a, b, c, ả 090a,d,c,b,a (0,25đi m)ể Ta có: 2kabcd 2m)3d)(5c)(3b)(1a( 2kabcd 2m1353abcd (0,25đi m)ể Do đó: 2–k 1353 (m+k)(m–k) 123.11= 41. 33 k+m 200 (0,25đi m)ể m+k 123 m+k 41 m–k 11 m–k 33 67 37 56 (0,25đi m) lu đúng ậabcd 3136 (0,25đi m)ể Bài (4 đi m)ể hình đúng ẽ(0,25đi m)ểGv: ND H¦NG Tr ng THCS NTTườ 10 k, mớ N, 100mk31 (0,25đi m)ểho ặho