Bài 4: Phương trình bậc hai với hệ số thực
1. Căn bậc hai của số phức.
• Định nghĩa : Số phức \(\omega\) gọi là căn bậc hai của số phức z nếu \(\omega^2=z\)
• Nhận xét :
Số thực a > 0 có hai căn bậc hai là \(\omega=\pm\sqrt{a}\).
Số thực a < 0 có hai căn bậc hai là\(\omega=\pm i\sqrt{\left|a\right|}\)|.
Mỗi số phức \(z\ne0\) luôn có hai căn bậc hai.
• Cách tìm : Gọi \(\omega=x+yi\)(x, y ∈ R) ta có \(z=\omega^2=x^2-y^2+2xyi\Leftrightarrow\begin{cases}x^2-y^2=a\\2xy=b\end{cases}\)
Ví dụ: Tìm căn bậc hai của số phức 1 - 2i
Giải: Gọi số phức cần tìm là a + bi, (a, b \(\in\mathbb{R}\)), suy ra:
\(\left(a+bi\right)^2=1-2i\)
\(\Leftrightarrow a^2+2abi+b^2i^2=1-2i\)
\(\Leftrightarrow a^2-b^2+2abi=1-2i\) (chú ý \(i^2=-1\))
\(\Leftrightarrow\begin{cases}a^2-b^2=1\\2ab=-2\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\begin{cases}a^2-b^2=1\\ab=-1\end{cases}\)
Thay \(a=-\frac{1}{b}\) từ phương trình thứ hai vào phương trình đầu ta có:
\(\frac{1}{b^2}-b^2=1\) => \(b^4+b^2-1=0\) => \(\left[\begin{array}{nghiempt}b^2=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}\\b^2=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}\left(loại\right)\end{array}\right.\) (chú ý: b là số thực)
Với \(b^2=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}\) => \(\left[\begin{array}{nghiempt}b=\sqrt{\frac{-1+\sqrt{5}}{2}}\\b=-\sqrt{\frac{-1+\sqrt{5}}{2}}\end{array}\right.\)
Với \(b=\sqrt{\frac{-1+\sqrt{5}}{2}}\) => \(a=-\frac{1}{b}=-\sqrt{\frac{2}{-1+\sqrt{5}}}=-\sqrt{\frac{\sqrt{5}+1}{2}}\)
Với \(b=-\sqrt{\frac{-1+\sqrt{5}}{2}}\) => \(a=-\frac{1}{b}=\sqrt{\frac{2}{-1+\sqrt{5}}}=\sqrt{\frac{\sqrt{5}+1}{2}}\)
2. Phương trình bậc hai nghiệm phức.
Cho phương trình bậc hai:
\(ax^2+bx+c=0\), với a, b, c là các số thực (có thể là số phức) và a khác 0.
• Tính \(\Delta=b^2-4ac\) hoặc \(\Delta'=\left(b'\right)^2-ac\)
• Trường hợp ∆ là số thực :
Nếu ∆ > 0 thì phương trình có hai nghiệm \(z=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}\)
Nếu ∆ = 0 thì phương trình có nghiệm kép \(z=-\frac{b}{2a}\)
Nếu ∆ < 0 thì phương trình có hai nghiệm \(I=\frac{-b\pm i\sqrt{\left|\Delta\right|}}{2a}\)
• Trường hợp ∆ là số phức :
Ta tìm căn bậc hai \(\omega\) của ∆. Khi đó phương trình có hai nghiệm \(z=\frac{-b\pm\omega}{2a}\)
Ví dụ 1: Giải phương trình hệ số thực sau:
\(x^2+x+1=0\)
Giải: \(\Delta=-3\), phương trình có hai nghiệm phức là:
\(\left[\begin{array}{nghiempt}x=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}\\x=\frac{-1-\sqrt{3}i}{2}\end{array}\right.\)
Ví dụ 2: Giải phương trình hệ số phức sau:
\(x^2-2ix+i=0\)
Giải: \(\Delta'=\left(-i\right)^2-4i=i^2-4i=-1-4i\)
Ta tìm căn bậc hai của \(\Delta'\), giả sử a + bi (với a, b là số thực) là căn bậc hai của \(\Delta'\),
=> \(\left(a+bi\right)^2=-1-4i\)
=> \(a^2-b^2+2abi=-1-4i\)
=> \(\begin{cases}a^2-b^2=-1\\2ab=-4\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\begin{cases}a^2-b^2=-1\\ab=-2\end{cases}\)
Thay \(b=-\frac{2}{a}\) từ phương trình thứ hai vào phương trình thứ nhất ta được:
\(a^2-\frac{4}{b^2}=-1\) \(\Rightarrow a^4+a^2-4=0\) \(\Rightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}a^2=\frac{-1+\sqrt{17}}{2}\\a^2=\frac{-1-\sqrt{17}}{2}\left(loại\right)\end{array}\right.\) chú ý \(a\in\mathbb{R}\)
=> \(\left[\begin{array}{nghiempt}a=\sqrt{\frac{\sqrt{17}-1}{2}}\\a=-\sqrt{\frac{\sqrt{17}-1}{2}}\end{array}\right.\)
Với \(a=\sqrt{\frac{\sqrt{17}-1}{2}}\) => \(b=-\frac{2}{a}=-2.\sqrt{\frac{2}{\sqrt{17}-1}}=-2.\sqrt{\frac{\sqrt{17}+1}{8}}=-\sqrt{\frac{\sqrt{17}+1}{2}}\)
Với \(a=-\sqrt{\frac{\sqrt{17}-1}{2}}\) => \(b=-\frac{2}{a}=2.\sqrt{\frac{2}{\sqrt{17}-1}}=2.\sqrt{\frac{\sqrt{17}+1}{8}}=\sqrt{\frac{\sqrt{17}+1}{2}}\)
Vậy căn bậc hai của \(\Delta'\) là hai số phức sau:
\(\sqrt{\frac{\sqrt{17}-1}{2}}-\sqrt{\frac{\sqrt{17}+1}{2}}i\)
\(-\sqrt{\frac{\sqrt{17}-1}{2}}+\sqrt{\frac{\sqrt{17}+1}{2}}i\)
Nghiệm của phương trình bậc hai ban đầu là:
\(i+\sqrt{\frac{\sqrt{17}-1}{2}}-\sqrt{\frac{\sqrt{17}+1}{2}}i\) ; \(i-\sqrt{\frac{\sqrt{17}-1}{2}}+\sqrt{\frac{\sqrt{17}+1}{2}}i\)
TÀI LIỆU THAM KHẢO
Số phức: 4 dạng toán trong đề thi đại học
Các bài toán số phức trong các đề thi đại học, có hướng dẫn giải