Toán hình 11: Phép vị tự

PHÉP VỊ TỰ A. LÝ THUYẾT 1. Định nghĩa. Cho điểm O cố định và số k không đổi, k 0 . Phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M ' sao cho V O,k OM ' kOM được gọi là phép vị tự tâm O, tỉ số k. Kí hiệu: (O là tâm vị tự, k là tỉ số vị tự) V o,k M M ' OM ' kOM Nhận xét: nằm cùng phía đối với điểm O - Khi k 0, M và M ' - Khi k 0, M và M ' Khi V O,1 k 1, M và M ' nằm khác phía đối với điểm O - Khi k 1 M M ' đối xứng nhau qua tâm O nên V O, phép vị tự 1 ÐO trở thành phép đồng nhất 2. Tính chất. Tính chất 1: Nếu phép vị tự tỉ số k biến hai điểm M, N tùy ý theo thứ tự thành M ', N ' thì M ' N ' kMN và M ' N ' k MN . Tính chất 2: Phép vị tự tỉ số k: a) Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự giữa chúng. b) Biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng. c) Biến tam giác thành tam giác đồng dạng với nó, biến góc thành góc bằng nó. d) Biến đường tròn bán kính R thành đường tròn có bán kính k .R 3. Biểu thức tọa độ của phép vị tự. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho phép vị tự V I,k ; I x 0 ; y0 x ' kx 1 k x V I,k :M x;y M ' x ';y ' IM' kIM y ' ky 1 k y 0 0 1 Đọc thêm: Tâm vị tự của hai đường tròn Định lý: Với hai đường tròn bất kì luôn có một phép vị tự biến đường tròn này thành đường tròn kia. Tâm của phép vị tự như thế được gọi là tâm vị tự của hai đường tròn. M' M' R' M M R I O M M' R' R I' I I O1 I' O1 M'' M'' Hình a Hình b Cho hai đường tròn I ; R và I '; R ' các trường hợp: R Hình c  TH1: Nếu I I ' thì phép vị tự tâm I  TH2: Nếu I I ' và R R ' thì phép vị tự tâm O tỉ số k tỉ số a). biến đường tròn I ; R thành đường tròn I '; R ' ( Hình R R và phép vị tự tâm O tỉ số k 1 R 1 R sẽ biến R I ; R thành I '; R ' ( Hình b) . Ta gọi O là tâm vị tự ngoài, O1 là tâm vị tự trong của hai đường tròn. R  TH3: Nếu I I' và R R' thì có một phép vị tự tâm O tỉ số k 1 biến đường tròn 1 I; R thành R I'; R ' hay phép đối xứng tâm (Hình c). B. CÁC DẠNG TOÁN VỀ PHÉP VỊ TỰ DẠNG 1. KHAI THÁC ĐỊNH NGHĨA, TÍNH CHẤT VÀ ỨNG DỤNG CỦA PHÉP VỊ TỰ Phương pháp: - Sử dụng định nghĩa hoặc tính chất của phép vị tự. - Xác định ảnh của một điểm, một hình qua phép vị tự. - Tìm quỹ tích điểm thông qua phép vị tự. - Các yếu tố liên quan phép vị tự là thẳng hàng, tỉ số không đổi…từ đó ứng dụng phép vị tự để giải các bài toán hình học khác… Ví dụ 1: Cho điểm O và k 0. Gọi M là ảnh của M qua phép vị tự tâm O tỉ số k . Mệnh đề nào sau đây là sai? A. Phép vị tự biến tâm vị tự thành chính nó. C. Khi k 1 phép vị tự là phép đối xứng tâm. M . B. OM kOM . D.M V M V O,k 1 c, k Lời giải:: ………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………… Ví dụ 2: Cho ABC có trọng tâm G . Gọi M , N , P lần lượt là trung điểm của các cạnh AB , BC ,CA . Phép vị tự nào sau đây biến ABC thành NPM ? C.V . G,2 A. V 1 . B. V 1 . D. V 1 . A, M, 2 G, 2 2 Lời giải:: ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. Ví dụ 3: Cho hai điểm O , I . Xét phép vị tự V tâm I tỉ số k 1 và phép tịnh tiến theo u 1 k IO . Lấy điểm M bất kì, M 1 V M , M 2 T M1 . Phép biến hình F biến M thành M2 . Chọn mệnh đề đúng: A. F là phép vị tự tâm O tỉ số 1 k . C. F là phép vị tự tâm O tỉ số 1 .k B. F là phép vị tự tâm O tỉ số k . D. F là phép vị tự tâm O tỉ số 1 .k Lời giải:: ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. Ví dụ 4: Cho ABC có cạnh 3, 5, 7 . Phép đồng dạng tỉ số k 2 biến ABC thành A B C A. 15 3 2 . B. 15 3 . 15 3 . 4 Lời giải:: C. D. có diện tích là: 15 3 . 8 ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. Ví dụ 5: Có bao nhiêu phép vị tự biến đường tròn C thành đường tròn C ? A. 3 . B. 1 . C. 2 . Lời giải:: D. không xác định. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. Ví dụ 6: Cho đường tròn tâm O và hai đường kính AA và BB vuông góc với nhau. M là điểm bất kì trên đường kính BB , M là hình chiếu vuông góc của M xuống tiếp tuyến với đường tròn tại A . I là giao điểm của AM và A M . Khi đó I là ảnh của M trong phép vị tự tâm A tỉ số bao nhiêu? 2 2 A. . B. . C. 1 . D. 1 . 3 3 3 Lời giải:: 3 ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. DẠNG 2. TÌM ẢNH CỦA MỘT ĐIỂM HOẶC HÌNH QUA PHÉP VỊ TỰ BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ Phương pháp: 1. Xác định ảnh của một điểm qua phép vị tự. - Sử dụng biểu thức tọa độ của phép vị tự. 2. Xác định ảnhcủa đường thẳng qua phép vị tự. Cách 1: Chọn hai điểm A, B phân biệt trên , xác định ảnh A , B tương ứng. Đường thẳng cần tìm là đường thẳng qua hai ảnh A , B . Cách 2: Áp dụng tính chất phép vị tự V O ,k biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó. Cách 3: Sử dụng quỹ tích - Với mọi điểm M x ; y : V O ,k M M x ; y thì M . - Từ biểu thức tọa độ rút x , y thế vào phương trình đường thẳng ta được phương trình ảnh . 3. Xác định ảnh của một hình H ( đường tròn, elip, parabol…) - Sử dụng quỹ tích: Với mọi điểm M x; y thuộc hình H , V O ,k M M x ; y thì M thuộc ảnh H của hình H. -Với đường tròn áp dụng tính chất phép vị tự biến đường tròn bán kính R thành đường tròn bán kính k R hoặc sử dụng quỹ tích. Ví dụ 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho điểm A 3;2 . Ảnh của A qua phép vị tự tâm O tỉ số k 1 là: A. 3;2 . B. 2;3 . C. 2;3. D. 3;2. Lời giải:: ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. Ví dụ 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường thẳng d : 5 x 2 y 7 0 . Tìm ảnh d của d qua phép vị tự tâm O tỉ số k 2 . A. 5 x 2 y 14 0. B. 5 x 4 y 28 0. C. 5 x 2 y 7 Lời giải:: 0. D. 5 x 2 y 14 0. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. Ví dụ 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường tròn C : x 1 2 y 12 4. Tìm ảnh C Mệnh đề nào sau đây sai về phép vị tự: A. Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự giữa các điểm ấy. B. Biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó. C. Biến tam giác thành tam giác đồng dạng với nó, biến góc thành góc bằng nó. D. Biến đường tròn thành đường tròn cùng bán kính. của C qua phép vị tự tâm I 1;2 tỉ số k 3? A. x 2 y 2 14 x 4 y 1 0 . C. x 5 2 y 1 2 36 . B. x 2 D. x y2 4 x7 y 5 0. 72 y 22 9. Lời giải:: ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. Ví dụ 4: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho phép vị tự tâm O tỉ số k S:y A. y 1 2 2 x 1 qua phép vị tự trên. 1 x 4x 1 . B. y 4 x 1 . 2 4x 1 4x . Tìm ảnh S của đường cong C. y 2x 1 . 1 2x D. y 2 x 1. 1 4x Lời giải:: ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. C. BÀI TẬP RÈN LUYỆN KỸ NĂNG DẠNG 1. KHAI THÁC ĐỊNH NGHĨA, TÍNH CHẤT VÀ ỨNG DỤNG CỦA PHÉP VỊ TỰ Câu 1: Câu 2: Câu 3: Câu 4: Câu 5: Cho hai đường thẳng song song d và d . Có bao nhiêu phép vị tự đối với tỉ số k 20 biến đường thẳng d thành d ? A. Không có phép nào. B. Có một phép duy nhất. C. Chỉ có 2 phép. D. Có vô số phép. Cho hai đường thẳng cắt nhau d và d . Có bao nhiêu phép vị tự biến đường thẳng d thành d ? A. Không có phép nào. B. Có một phép duy nhất. C. Chỉ có 2 phép. D. Có vô số phép. Cho hai đường thẳng song song d và d , và một điểm O không nằm trên chúng. Có bao nhiêu phép vị tự tâm O biến đường thẳng d thành d ? A.0. B.1. C.2. D. Vô số. Cho hai đường tròn bằng nhau O; R với tâm O và tâm và O ; R O phân biệt. Có bao nhiêu phép vị tự biến O; R thành O ; R ? Câu 6: Câu 7: A.0. B.1. C.2. D. Vô số. Cho hai phép vị tự V O,k và V O ,k với O và O là hai điểm phân biệt và k .k 1. Hợp của hai phép vị tự đó là phép nào sau đây? A. Phép tịnh tiến. B. Phép đối xứng trục. C. Phép đối xứng tâm. D. Phép quay. 3 AB 6, AC 8 . Phép vị tự tâm A tỉ số Cho ABC vuông tại A , biến B thành 2 thành C . Mệnh đề nào sau đây sai? A. BB C C là hình thang. B , biến C 12. B. BC 3 2 chu vi A B C . 3 4 Cho hình thang ABCD AB / /CD . Đáy lớn AB 8, đáy nhỏ CD 4. Gọi I là giao điểm của hai C. S . ABC Câu 8: D. Chu vi ABC đường chéo và J là giao điểm của hai cạnh bên. Phép biến hình AB thành CD là phép vị tự nào? A. V 1 . B. V 1 . C. V 1 . D. V 1 . I, Câu 9: J, 2 I, 2 J, 2 2 Cho đường tròn O; R và một điểm A cố định trên đường tròn. BC là dây cung di động và BC có độ dài không đổi bằng 2a a R . Gọi M là trung điểm BC . Khi đó tập hợp trọng tâm G của M , tập hợp là một đường tròn. ABC là: 2 A.G V A, 3 1 B.G V O, 2 1 C.G V M , tập hợp là một đường thẳng. M , tập hợp là một đường tròn. A, 3 2 D.G V B, M , tập hợp là một đường thẳng. 3 Câu 10: Cho đường tròn O; R đường kính AB . Một đường tròn O và đoạn AB lần lượt tại C và D . Đường thẳng CD cắt O; R A. 2R . B. R . 2 3 Câu 11: Cho hai đường tròn O; R và C. R 3 tiếp xúc với đường tròn O tại I . Tính độ dài đoạn AI . . O ; R tiếp xúc trong tại A R R O; R O;R tại B và cắt tại O;R tại C . Một đường thẳng di động qua D. 2R . 2 . Đường kính qua A cắt A cắt O; R tại M và cắt N . Gọi I là giao điểm của BN và CM . Mệnh đề nào sau đây là đúng? R A. Tập hợp điểm I là đường tròn: O V C, R R O,R . R B. Tập hợp điểm I là đường tròn: OV C, R R R C. Tập hợp điểm I là đường tròn: OV M, O,R . R R R D. Tập hợp điểm I là đường tròn: OV O,R . O,R . M, R R DẠNG 2: TÌM ẢNH CỦA MỘT ĐIỂM HOẶC MỘT HÌNH QUA PHÉP VỊ TỰ BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ. Câu 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , tìm ảnh A của điểm A 1; 3 qua phép vị tự tâm O tỉ số 2 1;3 . 2;6 . A.A2;6. Câu 2: B. A C. A D.A 2;6. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho A 1; 2 . Tìm ảnh A của A qua phép vị tự tâm I 3; 1 tỉ số k 2. A.A3;4. Câu 3: 1;5 . B. A C.A 5;1. D.A 1;5. P,Q,R Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho P 3;2 , Q 1;1 , R 2; 4 . Gọi P , Q , R qua phép vị tự tâm O tỉ số k 1 1 A. ; . B. 0; 93 1. Khi đó tọa độ trọng tâm của tam giác P Q R là: 3 1 . lần lượt là ảnh của 2 C. 9 1 ; . 2 D. 3 3 ;0 . 9 Câu 4: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba điểm A 0;3 , B 2; 1 , C 1;5 . Phép vị tự tâm A tỉ số k Câu 5: biến B thành C . Khi đó giá trị k là: A. k 1 . B. k 1. C. k 1 . D. k 2 . 2 2 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba điểm A 0;3 , B 2; 1 , C 1;5 . Phép vị tự tâm A tỉ số k Câu 6: biến B thành C . Khi đó giá trị k là: A. k 2 . B. k 1. C. k 1. D. k. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng d : 2 x y 4 0, I 1;2 . Tìm ảnh d của d phép vị tự tâm I tỉ số k 2 A. 2 x y 4 0 . Câu 7: A. 3 x y 9 0 . Câu 8: 1 B. 2 x y 8 0 . Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tự tâm O tỉ số k 2 C. 2 x y 8 0 . 3 B. 3 x y 10 0 . C. 9 x 3 y 15 0 . y 2 4 d D. x cho đường thẳng d : 3 x y 5 0. Tìm ảnh d Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng d : x V qua k y 2 0. 2 của d qua phép vị D. 9 x 3 y !0 0 . 1 và d : 2 x y 6 0 . Phép vị tự O ,k d . Tìm A. k Câu 9: 3. 2 Trong mặt phẳng Oxy, 2 . C. k 1 . D. k 1 . 3 3 3 tìm ảnh đường tròn C của đường tròn C : x 1 2 y 2 2 5 B. k phép vị tự tâm 0 tỉ số k 2 . A. C : x 2 2 y 4 2 10 . B. C : x 2 2 y 4 2 10 . C. C : x 2 2 y 4 2 20. D. C : x 2 2 y 4 2 20. Câu 10: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn C : x 3 2 của đường tròn C qua phép vị tự tâm I 1;2 và tỉ số k 2 y 12 5. Tìm ảnh đường tròn C qua A. x 2 y 2 6 x 16 y 4 0. C. x 3 2 y 8 2 20 . B. x 2 y 2 6 x !6 y 4 0 . D. x 3 2 y 8 2 20 . Câu 11: Trong mặt phẳng Oxy, cho hai đường tròn C1 : x 1 2 . Tìm tâm vị tự ngoài của hai đường tròn đó A. 2;3 . B. 2;3 . Câu 12: Trong mặt phẳng C 2 : x 10 2 A. 36 ; 27 5 5 . Oxy, cho hai đường y 3 13 ;5 2 . 1; C2 : x 4 2 C.3;2. tròn C1 : x 3 C. y 32 4 D. 1;3. y 7 2 9 . Tìm tâm vị tự trong biến C B. 2 2 y 3 2 9 và đường tròn thành C . 32 ;24 5 5 . D. 5; 13 2