Bài 3: Một số phương trình lượng giác thường gặp
I. Phương trình đưa về đa thức của một hàm lượng giác
Phương trình là đa thức hoặc đưa về đa thức của một hàm số lượng giác, ví dụ:
\(a.\sin^2x+b.\sin x+c=0\) (phương trình bậc hai đối với sin x)
\(a.\cos^2x+b.\cos x+c=0\) (phương trình bậc hai đối với cos x)
\(a.\tan^2x+b.\tan x+c=0\) (phương trình bậc hai đối với tan x)
\(a.\cot^2x+b.\cot x+c=0\) (phương trình bậc hai đối với cot x)
Chú ý: Các phương trình dạng sau có thể đưa về dạng đa thức của một hàm số lượng giác:
*) \(a.\cos^2x+b.\sin x+c=0\) (thay \(\cos^2x=1-\sin^2x\) thì được phương trình đa thức đối với sin)
*) \(a.\sin^2x+b.\cos x+c=0\) (thay \(\sin^2x=1-\cos x\) thì được phương trình đa thức đối với cos)
*) \(a.\cot^2x+b.\sin x+c=0\) (thay \(\cot^2x=\frac{1}{\sin^2x}-1\) thì đưa về phương trình đa thức đối với sin)
*) \(a.\tan^2x+b.\cos x+c=0\) (thay \(\tan^2x=\frac{1}{\cos^2x}-1\) thì đưa về phương trình đa thức đối với cos)
*) \(a.\tan x+b.\cot x+c=0\) (thay \(\cot x=\frac{1}{\tan x}\) thì đưa về phương trình đa thức đối với tan)
II. Phương pháp giải
Đặt ẩn phụ là hàm số lượng giác, đưa về phương trình bậc hai đối với ẩn phụ, sau đó giải phương trình lượng giác cơ bản.
III. Các ví dụ
1) Ví dụ 1 (ĐH-2004B). Giải phương trình
\(5\sin x-2=3\left(1-\sin x\right)\tan^2x\)
Giải:
Điều kiện \(\cos x\ne0\Leftrightarrow x\ne\frac{\pi}{2}+n\pi\) (để tan x có nghĩa)
\(5\sin x-2=3\left(1-\sin x\right)\frac{\sin^2x}{\cos^2x}\)
\(5\sin x-2=3\left(1-\sin x\right)\frac{\sin^2x}{1-\sin^2x}\)
\(5\sin x-2=3\frac{\sin^2x}{1+\sin x}\)
\(5\sin^2x+5\sin x-2-2\sin x=3\sin^2x\)
\(2\sin^2x+3\sin x-2=0\)
\(\sin x=\frac{1}{2}\) hoặc \(\sin x=-2\) (vô nghiệm)
\(\sin x=\sin\frac{\pi}{6}\)
\(x=\frac{\pi}{6}+2k\pi\) hoặc \(x=\pi-\frac{\pi}{6}+2l\pi=\frac{5\pi}{6}+2l\pi\), đối chiếu với điều kiện, cả hai họ nghiệm đều thỏa mãn
TÀI LIỆU THAM KHẢO
Phương trình lượng giác trong các đề thi đại học
Biến đổi lượng giác và hệ thức lượng
Phương trình, bất phương trình, hệ phương trình lượng giác
Tìm max, min bằng phương pháp lượng giác hóa
Bài tập
- Bài 1 (SGK trang 36)
- Bài 2 (SGK trang 36)
- Bài 3 (SGK trang 37)
- Bài 4 (SGK trang 37)
- Bài 5 (SGK trang 37)
- Bài 6 (SGK trang 37)
- Bài 3.1 (SBT trang 35)
- Bài 3.2 (SBT trang 35)
- Bài 3.3 (SBT trang 36)
- Bài 3.4 (SBT trang 36)
- Bài 3.5 (SBT trang 36)
- Bài 3.6 (SBT trang 36)
- Bài 3.7 (SBT trang 36)
- Bài 3.8 (SBT trang 36)