Diện tích hình chữ nhật

Lý thuyết

Bài 6 (Sgk tập 1 - trang 118)

Diện tích hình chữ nhật thay đổi như thế nào nếu :

a) Chiều dài tăng 2 lần, chiều rộng không đổi

b) Chiều dài và chiều rộng tăng 3 lần

c) Chiều dài tăng 4 lần, chiều rộng giảm 4 lần

Hướng dẫn giải

Công thức tính diện tích hình chữ nhật là S = a.b, như vậy diện tích S của hình chữ nhật vừa tỉ lệ thuận với chiều dài a, vừa tỉ lệ thuận với chiều rộng b của nó.

a) Nếu a' = 2a, b' = b thì S' = 2a.b = 2ab = 2S

Vậy diện tích tăng 2 lần.

b) Nếu a' = 3a, b'= 3b thì S' = 3a.3b = 9ab = 9S

Vậy diện tích tăng 9 lần.

c) Nếu a' = 4a, b'= $\frac{b}{4}$ thì S' = 4a$\frac{b}{4}$ = ab = S.

Vậy diện tích không đổi.

Bài 7 (Sgk tập 1 - trang 118)

Một gian phòng có nền hình chữ nhật với kích thước là 4,2m và 5,4m, có một cửa sổ hình chữ nhật kích thước là 1m và 1,6m và một cửa ra vào hình chữ nhật kích thước 1,2m và 2m

Ta coi một gian phòng đạt mức chuẩn về ánh sáng nếu diện tích các cửa bằng 20% diện tích nền nhà. Hỏi gian phòng trên có đạt mức chuẩn về ánh sáng hay không ?

Hướng dẫn giải

Diện tích nền nhà: S = 4,2.5,4 = 22,68 (m²)

Diện tích cửa sổ: S₁= 1. 1,6 = 1,6 (m²).

Diện tích cửa ra vào: S₂ = 1,2.2 = 2,4 (m²).

Diện tích các cửa: S' = S₁+ S₂ = 1,6 + 2,4 = 4 (m²).

Ta có $\frac{S^{{}^{}}}{S}$ = $\frac{4}{22,68}$ ≈ 17,64% < 20%

Vậy gian phòng không đạt múc chuẩn về ánh sáng.

Bài 8 (Sgk tập 1 - trang 118)

Đo cạnh (đơn vị mm) rồi tính diện tích tam giác vuông dưới đây (h.122)

Hướng dẫn giải

Đo hai cạnh góc vuông, ta được AB= 30mm, AC= 25mm.

Áp dụng công thức tính diện tích tam giác vuông, ta được:

S= AB. AC = . 30.25

Vậy S= 375mm²

Bài 9 (Sgk tập 1 - trang 119)

ABCD là một hình vuông cạnh 12 cm, AE = x cm (h.123). Tính x sao cho diện tích tam giác ABE bằng \(\dfrac{1}{3}\) diện tích hình vuông ABCD ?

Hướng dẫn giải

Diện tích tam giác vuông ABE là S' = AB.AE = .12.x = 6x

Diện tích hình vuông là S= 12.12 = 144

Theo đề bài ta có S' = hay 6x =

Suy ra x= 8 (cm)

Bài 10 (Sgk tập 1 - trang 119)

Cho một tam giác vuông. Hãy so sánh tổng diện tích của hai hình vuông dựng trên hai cạnh góc vuông với diện tích hình vuông dựng trên cạnh huyền

Gợi ý : Sử dụng định lí Py - ta - go

Hướng dẫn giải

Giả sử tam giác vuông ABC có cạnh huyền là a và hai cạnh góc vuông là b, c (hình a).

Diện tích hình vuông dựng trên cạnh huyền a là a²

Diện tích các hình vuông dựng trên hai cạnh góc vuông b, c lần lượt là b² + c²

Theo định lí Pitago, tam giác vuông ABC có: a² = b² + c²

Vậy: Trong một tam giác vuông, tổng diện tích của hai hình vuông dựng trên hai cạnh góc vuông bằng diện tích hình vuông dựng trên cạnh huyền.

Chú ý: Ta có một cách chứng minh khác đinh lyd Pitago bằng diện tích. Trên hình b, hai hình vuông ABDE và GHIK cùng có cạnh bằng b + c.

Do đó

S_ABDE = (b+c)²= S_b+ S_c+ 4. (1)

S_GHIK= (b+c)² = S_a + 4. (2)

Từ (1) và (2) suy ra

S_b+ S_c = S_a

Bài 11 (Sgk tập 1 - trang 119)

Cắt hai tam giác vuông bằng nhau từ một tấm bìa. Hãy ghép hai tam giác đó để tạo thành :

a) Một tam giác cân

b) Một hình chữ nhật

c) Một hình bình hành

Diện tích của các hình này có bằng nhau không  ? Vì sao ?

Hướng dẫn giải

Cắt hai tam giác vuông bằng nhau từ một tấm bìa, chẳng hạn ta được hai hình sau:

Ghép hai tam giác trên để tạo thành:

Bài 12 (Sgk tập 1 - trang 119)

Tính diện tích các hình dưới đây (h.124) (mỗi ô vuông là một đơn vị diện tích)

Hướng dẫn giải

Diện tích hình a là 6 ô vuông

Diện tích hình b ∆ADH = ∆ BCI nên diện tích hình b sẽ bằng diện tích hình a (ABIH).

Vậy diện tích hình b là 6 ô vuông

Diện tích hình c: ∆ KLN = ∆ NMO nên diện tích hình c sẽ bằng diện tích hình a (KMCB).

Vậy diện tích hình c là 6 ô vuông

Bài 13 (Sgk tập 1 - trang 119)

Cho hình 125:

Trong đó ABCD là hình chữ nhật, E là một điểm bất kì nằm trên đường chéo AC, FG // AD và HK // AB

Chứng minh rằng hai hình chữ nhật EFBK và EGDH có cùng diện tích ?

Hướng dẫn giải

Xem hình 125 ta thấy:

S_ABC = S_ADC

S_AFE = S_AHE

S_EKC = S_EGC

Suy ra: S_ABC – S_AFE – S_EKC = S_ADC – S_AHE - S_EGC

hay S_EFBK = S_EGDH

Bài 14 (Sgk tập 1 - trang 119)

Một đám đất hình chữ nhật dài 700m, rộng 400m. Hãy tính diện tích đám đất đó theo đơn vị \(m^2,km^2,a,ha\) ?

Hướng dẫn giải

Diện tích đám đất theo đơn vị m² là:

S = 700.400 = 280000 ( m²)

Ta có 1km² = 1000000 ( m²)

1a = 100 (m²⁾

1ha = 10000 (m²)

Nên diện tích đám đất tính theo các đơn vị trên là:

S = 0,28 km² = 2800a = 28ha

Bài 15 (Sgk tập 1 - trang 119)

Đố :

Vẽ hình chữ nhật ABCD có AB = 5cm, BC = 3cm

a) Hãy vẽ một hình chữ nhật có diện tích nhỏ hơn nhưng có chu vi lớn hơn hình chữ nhật ABCD. Vẽ được mấy hình như vậy ?

b) Hãy vẽ hình vuông có chu vi bằng chu vi hình chữ nhật ABCD. Vẽ được mấy hình vuông như vậy ? So sánh diện tích hình chữ nhật với diện tích hình vuông có cùng chu vi vừa vẽ. Tại sao trong các hình chữ nhật có cùng chu vi thì hình vuông có diện tích lớn nhất ?

Hướng dẫn giải

a) Hình chữ nhật ABCD đã cho có diện tích là S_ACBD = 3.5 = 15 (cm²).

- Hình chữ nhật có kích thước 1cm x 12cm có diện tích là 12cm² và chu vi là ( 1+12).2 = 26(cm) (có 26>15).

- Hình chữ nhật có kích thước 2cmx7cm co diện tích là 14cm² và chu vi là (2+7).2 = 18(cm) (có 18 > 15).

Như vậy, vẽ được nhiều hình chữ nhật có diện tích bé hơn nhưng có chu vi lớn hơn hình chữ nhật ABCD cho trước.

b) Chu vi hình chữ nhật ABCD đã cho là:

(5+3).2 = 16 (cm)

Cạnh hình vuông có chu vi bằng chu vi hình chữ nhật ABCD là:

16:4 = 4(cm).

Diện tích hình vuông này là 4.4 = 16 (m²)

Vậy S_hcn < S_hv

Trong các hình chữ nhật có cùng chu vi thì hình vuông có diện tich lớn nhất.

Ta luôn có ≥ √ab

Suy ra ab ≤ .

Hình trên là hình vẽ chứng tỏ hình chữ nhật cạnh a,b (a>b) có diện tích nhỏ hơn diện tích hình vuông cạnh .

Trên hình a= 5cm, b = 3cm, = 4cm

a - = 1cm, - b = 1cm

Do đó

S_EBCG = b. ( a- ) = 3.1 = 3 (cm²).

S_DGHI = . ( - b ) = 4.1 = 4 (cm²).

S_AEGD = b. = 3.4 = 12 (cm²).

Nên S_ABCD = S_EBCG + S_AEGD = 3 + 12 = 15(cm²).

S_AEHI = S_DGHI + S_AEGD = 4 + 12 = 16 (cm²).

Vậy S_ABCD < S_AEHI

Tổng quát:

Hình chữ nhật EBCG có một cạnh bằng a - , cạnh kia bằng b.

Hình chữ nhật DGHI có một cạnh bằng - b, cạnh kia bằng .

Mà a - bằng - b và b < ( theo giả thiết a> b)

nên S_EBCG < S_DGHI

Cộng thêm S_AEGD vào mỗi vế bất đẳng thức ta được

S_EBCG + S_AEGD < S_DGHI + S_AEGD

Vậy S_ABCD < S_AEHI