Cộng đồng chia sẻ tri thức Lib24.vn

Bài 4: Ôn tập chương - Phương pháp tọa độ trong không gian

Lý thuyết
Mục lục
* * * * *

Bài 1 (SGK trang 91)

Trong hệ tọa độ Oxyz, cho 4 điểm \(A\left(1;0;0\right);B\left(0;1;0\right);C\left(0;0;1\right);D\left(-2;1;-1\right)\) :

a) Chứng minh A, B, C, D là 4 đỉnh của một tứ diện 

b) Tìm góc giữa hai đường thẳng AB và CD

c) Tính độ dài đường cao của hình chóp A.BCD

Hướng dẫn giải

Giải bài 1 trang 91 sgk Hình học 12 | Để học tốt Toán 12

Bài 2 (SGK trang 91)

Trong hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có đường kính là AB biết rằng \(A\left(6;2;-5\right);B\left(-4;0;7\right)\) :

a) Tìm tọa độ tâm I và tính bán kính r của mặt cầu (S) 

b) Lập phương trình của mặt cầu (S)

c) Lập phương trình của mặt phẳng \(\left(\alpha\right)\) tiếp xúc với mặt cầu (S) tại điểm A

Hướng dẫn giải

Giải bài 2 trang 91 sgk Hình học 12 | Để học tốt Toán 12

Bài 3 (SGK trang 92)

Trong hệ tọa độ Oxyz, cho 4 điểm \(A\left(-2;6;3\right);B\left(1;0;6\right);C\left(0;2;-1\right);D\left(1;4;0\right)\)

a) Viết phương trình mặt phẳng (BCD). Suy ra ABCD là một tứ diện

b) Tính chiều cao AH của tứ diện ABCD

c) Viết phương trình mặt phẳng \(\left(\alpha\right)\) chứa AB và song song với CD

Hướng dẫn giải

Giải bài 3 trang 92 sgk Hình học 12 | Để học tốt Toán 12

Bài 4 (SGK trang 92)

Trong hệ tọa độ Oxyz, lập phương trình tham số của đường thẳng :

a) Đi qua hai điểm \(A\left(1;0;-3\right);B\left(3;-1;0\right)\)

b) Đi qua điểm \(M\left(2;3;-5\right)\) và song song với đường thẳng \(\Delta\) có phương trình :

                            \(\left\{{}\begin{matrix}x=-2+2t\\y=3-4t\\z=-5t\end{matrix}\right.\)

 

 

Hướng dẫn giải

Giải bài 4 trang 92 sgk Hình học 12 | Để học tốt Toán 12

Bài 5 (SGK trang 92)

 Trong hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình : \(\left(x-3\right)^2+\left(y+2\right)^2+\left(z-1\right)^2=100\) và mặt phẳng \(\left(\alpha\right)\) có phương trình \(2x-2y-z+9=0\). Mặt phẳng \(\left(\alpha\right)\) cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn (C)

Hãy xác định tọa độ tâm và tính bán kính của đường tròn (C) ?

Hướng dẫn giải

Mặt cầu (S) có tâm I(3, -2, 1) và bán kính R = 10.

Khoảng cách từ tâm I của mặt cầu (S) đến mặt phẳng (α) là:

d(I, α) = ∣∣ ∣∣2.3−2.(−2)−1+9√22+(−2)2+(−1)2∣∣ ∣∣=183=6|2.3−2.(−2)−1+922+(−2)2+(−1)2|=183=6

Vì d(I, α) < R ⇒⇒ Mặt phẳng (α) cắt mặt cầu (S) theo đường tròn (C) có phương trình (C):

{2x−2y−z+9=0(x−3)2+(y+2)2+(z−1)2=100{2x−2y−z+9=0(x−3)2+(y+2)2+(z−1)2=100

Tâm K của đường tròn (C) là hình chiếu vuông góc của tâm I của mặt cầu trên mặt phẳng (α).

Mặt phẳng (α) có vectơ pháp tuyến →nn→ = (2, -2. -1).

Đường thẳng d qua I và vuông góc với (α) nhận →nn→ = (2, -2, -1) làm vectơ chỉ phương và có phương trình d :

⎧⎪⎨⎪⎩x=3+2ty=−2−2tz=1−t{x=3+2ty=−2−2tz=1−t

Thay t = -2 vào phương trình của d, ta được toạ độ tâm K của đường tròn (C).

⎧⎪⎨⎪⎩x=3+2.(−2)=−1y=−2−2.(−2)=2z=1−2.(−2)=3{x=3+2.(−2)=−1y=−2−2.(−2)=2z=1−2.(−2)=3

⇒⇒ K(-1, 2, 3)

Ta có: IK2 = (-1 - 3)2 + (2 + 2)2 + (3 - 1)2 = 36.

Bán kính r của đường tròn (C) là:

r2 = R2 - IK2 = 102 - 36 = 64 ⇒⇒ r= 8



Bài 6 (SGK trang 92)

Trong hệ tọa độ Oxyz, cho mặt \(\left(\alpha\right)\) có phương trình \(3x+5y-z-2=0\) và đường thẳng d có phương trình :

                                       \(\left\{{}\begin{matrix}x=12+4t\\y=9+3t\\z=1+t\end{matrix}\right.\)

a) Tìm giao điểm M của đường thẳng d và mặt phẳng \(\left(\alpha\right)\)

b) Viết phương trình mặt phẳng \(\left(\beta\right)\) chứa điểm M và vuông góc với đường thẳng d

Hướng dẫn giải

Giải bài 6 trang 92 sgk Hình học 12 | Để học tốt Toán 12

Bài 7 (SGK trang 92)

Trong hệ tọa độ Oxyz, cho điểm \(A\left(-1;2;-3\right)\), vectơ \(\overrightarrow{a}=\left(6;-2;-3\right)\) và đường thẳng d có phương trình :

                          \(\left\{{}\begin{matrix}x=1+3t\\y=-1+2t\\z=3-5t\end{matrix}\right.\)

a) Viết phương trình mặt phẳng \(\left(\alpha\right)\) chứa điểm A và vuông góc với giá của \(\overrightarrow{a}\)

b) Tìm giao điểm M của d và \(\left(\alpha\right)\)

c) Viết phương trình đường thẳng \(\Delta\) đi qua điểm A, vuông góc với giá của \(\overrightarrow{a}\) và cắt đường thẳng d

Hướng dẫn giải

Giải bài 7 trang 92 sgk Hình học 12 | Để học tốt Toán 12

Bài 8 (SGK trang 93)

Viết phương trình mặt phẳng \(\left(\alpha\right)\) tiếp xúc với mặt cầu :

                    \(\left(S\right):x^2+y^2+z^2-10x+2y+26z+170=0\)

và song song với hai đường thẳng :

                    \(d:\left\{{}\begin{matrix}x=-5+2t\\y=1-3t\\z=-13+2t\end{matrix}\right.\) và \(d':\left\{{}\begin{matrix}x=-7+3t'\\y=-1-2t'\\z=8\end{matrix}\right.\)

Hướng dẫn giải

Giải bài 9 trang 93 sgk Hình học 12 | Để học tốt Toán 12

Bài 9 (SGK trang 93)

Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu vuông góc của điểm \(M\left(1;-1;2\right)\) trên mặt phẳng \(\left(\alpha\right):2x-y+2z+11=0\) ?

Hướng dẫn giải

Giải bài 9 trang 93 sgk Hình học 12 | Để học tốt Toán 12

Bài 10 (SGK trang 93)

Trong hệ tọa độ Oxyz, cho điểm \(M\left(2;1;0\right)\) và mặt phẳng \(\left(\alpha\right):x+3y-z-27=0\) tìm tọa độ điểm M' đối xứng với M qua \(\left(\alpha\right)\) ?

Hướng dẫn giải

Giải bài 10 trang 93 sgk Hình học 12 | Để học tốt Toán 12

Bài 11 (SGK trang 93)

Trong hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng \(\Delta\) vuông góc với mặt phẳng tọa độ (Oxz) và cắt  hai đường thẳng :

                           \(d:\left\{{}\begin{matrix}x=t\\y=-4+t\\z=3-t\end{matrix}\right.\) và \(d':\left\{{}\begin{matrix}x=1-t'\\y=-3+t'\\z=4-5t'\end{matrix}\right.\)

Hướng dẫn giải

Giải bài 11 trang 93 sgk Hình học 12 | Để học tốt Toán 12

Bài 12 (SGK trang 93)

Trong hệ tọa độ Oxyz, tìm tọa độ điểm A' đối xứng với điểm \(A\left(1;-2;-5\right)\) qua đường thẳng \(\Delta\) có phương trình :

                      \(\left\{{}\begin{matrix}x=1+2t\\y=-1-t\\z=2t\end{matrix}\right.\)

Hướng dẫn giải

Giải bài 12 trang 93 sgk Hình học 12 | Để học tốt Toán 12

Có thể bạn quan tâm