Bài 4: Hàm số mũ. Hàm số logarit

Lý thuyết

Câu hỏi 1 trang 71 SGK Giải tích 12

Cho biết năm 2003, Việt Nam có 80902400 người và tỉ lệ tăng dân số là 1,47%. Hỏi năm 2010 Việt Nam sẽ có bao nhiêu người, nếu tỉ lệ tăng dân số hằng năm không đổi ?

Hướng dẫn giải

Từ năm 2003 đến năm 2010 là 7 năm.

Vậy năm 2010 Việt Nam sẽ có số người là: 80902400.(1 + 0.0147)7= 89603511,14.

Câu hỏi 2 trang 71 SGK Giải tích 12

Trong các hàm số sau đây, hàm số nào là hàm số mũ ? Với cơ số bao nhiêu ?

\(\eqalign{
& a)\,y = {(\sqrt 3 )^x} \cr 
& b)\,y = {5^{{x \over 3}}} \cr 
& c)\,y = {x^{ - 4}} \cr 
& d)y = {4^{ - x}} \cr} \)

Hướng dẫn giải

Các hàm số mũ là \(y = {(\sqrt 3 )^x}\) với cơ số là \(\sqrt 3 \); \(y = {5^{{x \over 3}}}\) với cơ số là \({5^{{1 \over 3}}}\); \(y = {4^{ - x}}\) với cơ số là \({4^{ - 1}}\)

Câu hỏi 3 trang 75 SGK Giải tích 12

Tìm đạo hàm của hàm số: \(y = \ln (x + \sqrt {(1 + {x^2})} )\)

Hướng dẫn giải

\(\eqalign{
& y' = {\rm{[}}\ln (x + \sqrt {1 + {x^2}} ){\rm{]'}} \cr 
& {\rm{ = }}{{(x + \sqrt {1 + {x^2}} )'} \over {x + \sqrt {1 + {x^2}} }} = {{1 + {x \over {\sqrt {1 + {x^2}} }}} \over {x + \sqrt {1 + {x^2}} }} = {1 \over {\sqrt {1 + {x^2}} }} \cr} \)

Câu hỏi 4 trang 77 SGK Giải tích 12

Nêu nhận xét về mối liên hệ giữa đồ thị của các hàm số trên Hình 35 và Hình 36

Hướng dẫn giải

Đồ thị của các hàm số trên Hình 35 và Hình 36 đối xứng nhau qua đường thẳng y = x.

Bài 1 trang 77 SGK Giải tích 12

Vẽ đồ thị của các hàm số:

a) \(y = 4^x\);

b) \(y= \left ( \dfrac{1}{4} \right )^{x}\).

Hướng dẫn giải

a) Đồ thị hàm số \(y = 4^x\) 

*) Tập xác định: \(\mathbb R\)

*) Sự biến thiên:

\(y' = {4^x}\ln 4 > 0,\forall x \in \mathbb R\)

- Hàm số đồng biến trên \(\mathbb R\)

- Giới hạn đặc biệt:

   \(\eqalign{
& \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = 0 \cr 
& \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = + \infty \cr} \)

Tiệm cận ngang: \(y=0\).

- Bảng biến thiên:

Đồ thị:

Đồ thị nằm hoàn toàn phía trên trục hoành, cắt trục tung tại các điểm \((0;1)\), đi qua điểm \((1;4)\) và qua các điểm \((\dfrac{1}{2}; 2)\), \((-\dfrac{1}{2}; \dfrac{1}{2})\), \((-1; \dfrac{1}{4})\).

b) Đồ thị hàm số \(y=\left ( \dfrac{1}{4} \right )^{x}\) 

*) Tập xác định: \(\mathbb R\)

*) Sự biến thiên:

\(y' = {\left( {\dfrac{1}{4}} \right)^x}.\ln \left( {\dfrac{1}{4}} \right) =  - {\left( {\dfrac{1}{4}} \right)^x}\ln 4 < 0\,\,\forall x \in R\)

- Hàm số nghịch biến trên \(\mathbb R\)

- Giới hạn:

  \(\eqalign{
& \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = + \infty \cr 
& \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = 0 \cr} \)

Tiệm cận ngang \(y=0\)

- Bảng biến thiên:

*) Đồ thị:

Đồ thị hàm số nằm hoàn toàn về phía trên trục hoành, cắt trục tung tại điểm (0; 1), đi qua điểm (1; \(\dfrac{1}{4}\)) và qua các điểm (\(-\dfrac{1}{2}\); 2), (-1;4).

Bài 2 trang 77 SGK Giải tích 12

Tính đạo hàm của các hàm số:

a) \(y = 2xe^x +3sin2x\);

b) \(y = 5x^2- 2^xcosx\);

c) \(y = {{x + 1} \over {{3^x}}}\).

Hướng dẫn giải

a)

\(y' = (2x{e^x})' + 3(\sin 2x)' \)

\(= 2.{e^x} + 2x({e^x})'+ {\rm{ }}3.2cos2x\)

\(=2\left( {1 + x} \right){e^x} + 6cos2x\)

b) 

\(\begin{array}{l}y' = 5.2x - \left( {\left( {{2^x}} \right)'.\cos x + {2^x}.\left( {\cos x} \right)'} \right)\\\,\,\,\,\,\, = 10x - \left( {{2^x}.\ln 2.\cos x - {2^x}.\sin x} \right)\\\,\,\,\,\,\, = 10x - {2^x}\left( {\ln 2\cos x - \sin x} \right)\end{array}\)

c) 

\(\begin{array}{l}y' = \frac{{\left( {x + 1} \right)'{{.3}^x} - \left( {x + 1} \right).\left( {{3^x}} \right)'}}{{{{\left( {{3^x}} \right)}^2}}}\\\,\,\,\,\, = \frac{{{3^x} - \left( {x + 1} \right){{.3}^x}\ln 3}}{{{{\left( {{3^x}} \right)}^2}}}\\\,\,\,\, = \frac{{{3^x}\left( {1 - \left( {x + 1} \right)\ln 3} \right)}}{{{{\left( {{3^x}} \right)}^2}}}\\\,\,\,\, = \frac{{1 - \left( {x + 1} \right)\ln 3}}{{{3^x}}}\end{array}\)

Bài 3 trang 77 SGK Giải tích 12

Tìm tập xác định của các hàm số:

a) \(y = lo{g_2}\left( {5 - 2x} \right)\) ;

b) \(y =lo{g_3}({x^2} - 2x)\) ;

c) \(y=log_{\frac{1}{5}}\left ( x^{2} -4x+3 \right )\);

d) \(y= log_{0,4}\dfrac{3x+2}{1-x}\).

Hướng dẫn giải

a) Hàm số \(y = lo{g_2}\left( {5 - 2x} \right)\) xác định khi và chỉ khi: 

\[5- 2x > 0\Leftrightarrow x < \dfrac{5}{2}.\]

Vậy hàm số \(y = lo{g_2}\left( {5 - 2x} \right)\) có tập xác định là \(D=\left( \displaystyle{ - \infty ;{5 \over 2}} \right).\)

b) Hàm số \(y =lo{g_3}({x^2} - 2x)\) xác định khi và chỉ khi:

\[{x^2} - 2x > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x > 2\\
x < 0
\end{array} \right.\]

Vậy hàm số \(y =lo{g_3}({x^2} - 2x)\) có tập xác định là \(D=(-∞; 0) ∪ (2;+∞)\).

c) Hàm số \(y=log_{\frac{1}{5}}\left ( x^{2} -4x+3 \right )\) xác định khi và chỉ khi

\[{x^2} - 4x + 3 > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x > 3\\
x < 1
\end{array} \right.\]

Vậy hàm số \(y= log_{\frac{1}{5}}\left ( x^{2} -4x+3 \right )\) có tập xác định là \(D=(-∞; 1) ∪ (3;+∞)\).

d) Hàm số \(y= log_{0,4}\dfrac{3x+2}{1-x}\) xác định khi và chỉ khi:

\(\dfrac{3x+2}{1-x} > 0\Leftrightarrow (3x+2) (1-x) > 0\) \(\Leftrightarrow-\dfrac{2}{3} < x <1.\)

Vậy hàm số \(y = log_{0,4}\dfrac{3x+1}{1-x}\) có tập xác định là \(D=\left( \displaystyle{ - {2 \over 3};1} \right)\).

Bài 4 trang 78 SGK Giải tích 12

Vẽ đồ thị của các hàm số:

a) \(y = logx\);

b) y = \(log_{\frac{1}{2}}x\).

Hướng dẫn giải

a) Đồ thị hàm số \(y = logx\).

*) Tập xác định: \(D=(0;+\infty)\)

*) Sự biến thiên:

\(y' = {1 \over {x\ln 10}} > 0,\forall x \in D\)

- Hàm số đồng biến trên khoảng \((0;+\infty)\)

- Giới hạn đặc biệt:

  \(\eqalign{
& \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} y = - \infty \cr 
& \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = + \infty \cr} \)

Hàm số có tiệm cận đứng là: \(x=0\)

- Bảng biến thiên:

*) Đồ thị:

Đồ thị hàm số nằm hoàn toàn bên phải trục tung) nhận trục tung làm tiệm cận đứng, cắt trục hoành tại điểm \((1;0)\) và đi qua điểm \((10;1)\), \((\frac{1}{10}; -1)\).

b) Đồ thị hàm sốy = \(log_{\frac{1}{2}}x\).

*) Tập xác định: \(D=(0;+\infty)\)

*) Sự biến thiên:

\(y' =  - {1 \over {x\ln 2}} < 0,\forall x \in D\)

- Hàm số nghịch biến trên khoảng \((0;+\infty)\)

- Giới hạn: 

  \(\eqalign{
& \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} y = + \infty \cr 
& \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = - \infty \cr} \)

Hàm số có tiệm cận đứng \(x=0\).

- Bảng biến thiên:

*) Đồ thị:

Đồ thị hàm số nằm hoàn toàn bên phải trục tung (nhận trục tung làm tiệm cận đứng), cắt trục hoành tại điểm \((1;0)\) và đi qua điêm \((\frac{1}{2};1)\), điểm phụ \((2;-1)\), \((4.-2)\), \((\frac{1}{4}; 2)\).

Bài 5 trang 78 SGK Giải tích 12

Tính đạo hàm của các hàm số:

a) \(y =3{x^2}-\ln x + 4\sin x\);

b) \(y = \log({x^2} + x+1)\);

c) \(y= \dfrac{\log_{3}x}{x}\).

Hướng dẫn giải

a) \(y' = 6x - {1 \over x} + 4cosx\).

b) \(y'= \dfrac{\left ( x^{2}+x+ 1 \right )^{'}}{\left ( x^{2}+ x+ 1 \right ).ln10}\) = \(\dfrac{2x+ 1}{\left ( x^{2}+ x+ 1 \right ).ln10}\).

c) \(y'= \dfrac{\left ( \log_{3}x^{} \right )^{'}.x- \log_{3}x.1}{x^{2}}\) = \(\dfrac{\dfrac{1}{x. \ln 3}.x-\log_{3}x}{x^{2}}\) \(=\dfrac{1-\ln 3.\log_{3}x}{x^{2}.\ln 3}\) \( = \dfrac{{1 - \ln 3.\dfrac{{\ln x}}{{\ln 3}}}}{{{x^2}\ln 3}}\) \(= \dfrac{1-\ln x}{x^{2}. \ln 3}\).