Bài 4: Hai mặt phẳng vuông góc

Lý thuyết

Bài 1 (SGK trang 113)

Cho 3 mặt phẳng \(\left(\alpha\right),\left(\beta\right),\left(\gamma\right)\). Mệnh đề nào sau đây đúng ?

a) Nếu \(\left(\alpha\right)\perp\left(\beta\right)\) và \(\left(\alpha\right)\backslash\backslash\left(\gamma\right)\) thì \(\left(\beta\right)\perp\left(\gamma\right)\)

b) Nếu \(\left(\alpha\right)\perp\left(\beta\right)\) và \(\left(\alpha\right)\perp\left(\gamma\right)\) thì \(\left(\beta\right)\backslash\backslash\left(\gamma\right)\)

Hướng dẫn giải

a) Đúng, vì nếu gọi m là đường thẳng vuông góc với β và n là đường thẳng vuông góc với hai mặt phẳng song song α, γ thì góc (m, n) = (β, α) = (β, γ), mà β ⊥ α nên β ⊥ γ.

b) Sai, vì hai mặt phẳng (β), (γ) cùng vuông góc với mp(α) có thể song song hoặc cắt nhau.

Bài 2 (SGK trang 113)

Cho hai mặt phẳng \(\left(\alpha\right)\) và \(\left(\beta\right)\) vuông góc với nhau. Người ta lấy trên giao tuyến \(\Delta\) của hai mặt phẳng đó hai điểm A và B sao cho AB = 8 cm. Gọi C là một điểm trên mặt phẳng \(\left(\alpha\right)\) và D là một điểm trên  \(\left(\beta\right)\) sao cho AC và BD cùng vuông góc với giao tuyến \(\Delta\) và AC = 6cm, BD = 24cm. Tính độ dài đoạn CD ?

Hướng dẫn giải

Bài 3 (SGK trang 113)

Trong mặt phẳng \(\left(\alpha\right)\) cho tam giác ABC vuông ở B. Một đoạn thẳng AD vuông góc với  \(\left(\alpha\right)\) tại A. Chứng minh rằng :

a) \(\widehat{ABD}\) là góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (DBC)

b) Mặt phẳng (ABD) vuông góc với mặt phẳng (BDC)

c) HK// BC với H và K lần lượt là giao điểm của DB và DC với mặt phẳng (P) đi qua A và vuông gcs với DB

Hướng dẫn giải

Bài 4 (SGK trang 114)

Cho hai mặt phẳng \(\left(\alpha\right),\left(\beta\right)\) cắt nhau và một điểm M không thuộc \(\left(\alpha\right)\) và không thuộc \(\left(\beta\right)\). Chứng minh rằng qua điểm M có một và chỉ một mặt phẳng (P) vuông góc với \(\left(\alpha\right),\left(\beta\right)\). Nếu  \(\left(\alpha\right)\) song song với  \(\left(\beta\right)\) thì kết quả trên sẽ thay đổi như thế nào ?

Hướng dẫn giải

Bài 5 (SGK trang 114)

Cho lập phương ABCD.A'B'C'D'. Chứng minh rằng :

a) Mặt phẳng (AB'C'D) vuông góc với mặt phẳng (BCD'A')

b) Đường thẳng AC' vuông góc với mặt phẳng (A'BD)

Hướng dẫn giải

Bài 6 (SGK trang 114)

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một hình thoi cạnh a và SA=SB=SC=a. Chứng minh rằng :

a) Mặt phẳng (ABCD) vuông góc với mặt phẳng (SBD)

b) Tam giác SBD là tam giác vuông

Hướng dẫn giải

Bài 7 (SGK trang 114)

Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có AB = a; BC = b; CC'=c

a) Chứng minh rằng mặt phẳng (ADC'B') vuông góc với mặt phẳng (ABB'A')

b) Tính độ dài đường chéo AC' theo a, b, c

Hướng dẫn giải

Bài 8 (SGK trang 114)

Tính độ dài đường chéo của một hình lập phương cạnh a ?

Hướng dẫn giải

Bài 9 (SGK trang 114)

Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có SH là đường cao. Chứng minh \(SA\perp BC\) và \(SB\perp AC\) ?

Hướng dẫn giải

Hình chóp tam giác đều S.ABC có đáy là tam giác đều ABC và chân đường cao trùng với tâm của đáy. H là tâm của tam giác đều ABC

● AH ⊥ BC

Mà AH là hình chiếu của SA trên (ABC)

⇒BC ⊥SA.

● Tương tự AC ⊥ BH.

BH là hình chiếu của SB trên (ABC)

⇒AC ⊥ SB.

Bài 10 (SGK trang 114)

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có các cạnh bên và các cạnh đáy đều bằng a. Gọi O là tâm của hình vuông ABCD.

a) Tính độ dài đoạn thẳng SO

b) Gọi M là trung điểm của đoạn SC. Chứng minh hai mặt phẳng (MBD) và (SAC) vuông góc với nhau

c) Tính độ dài đoạn OM và tính góc giữa hai mặt phẳng (MBD) và (ABCD)

Hướng dẫn giải

 

Bài 11 (SGK trang 114)

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một hình thoi tâm I cạnh a và có góc A bằng \(60^0\), cạnh \(SC=\dfrac{a\sqrt{6}}{2}\) và SC vuông góc với mặt phẳng (ABCD)

a) Chứng minh mặt phẳng (SBD) vuông góc với mặt phẳng (SAC)

b) Trong tam giác SCA kẻ IK vuông góc với SA tại K. Hãy tính độ dài IK

c) Chứng minh \(\widehat{BKD}=90^0\) và từ đó suy ra mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng (SAD)

Hướng dẫn giải