Bài 3: Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Lý thuyết

Bài 1 (SGK trang 104)

Cho hai đường thẳng phân biệt a, b và mặt phẳng \(\left(\alpha\right)\). Các mệnh đề sau đây đúng hay sai ?

a) Nếu a // \(\left(\alpha\right)\) và \(b\perp\left(\alpha\right)\) thì \(a\perp b\)

b) Nếu a // \(\left(\alpha\right)\) và \(b\perp a\) thì \(b\perp\left(\alpha\right)\)

c) Nếu a // \(\left(\alpha\right)\) và b // \(\left(\alpha\right)\) thì b // a

d) Nếu a \(\perp\) \(\left(\alpha\right)\) và\(b\perp a\) thì b // (\(\alpha\))

 

Hướng dẫn giải

a) Đúng

b) Sai

c) Sai

d) Sai

Bài 2 (SGK trang 104)

Cho tứ diện ABCD có hai mặt ABC và BCD là hai tam giác cân có chung cạnh đáy BC. Gọi I là trung điểm của canh BC

a) Chứng minh rằng BC vuông góc với mặt phẳng (ADI)

b) Gọi AH là đường cao của tam giác ADI, chứng minh rằng AH vuông góc với mặt phẳng (BCD)

Hướng dẫn giải

Bài 3 (SGK trang 104)

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi ABCD và SA = SB = SC = SD. Gọi O là giao điểm của AC và BD. Chứng minh rằng :

a) Đường thẳng SO vuông góc với mặt phẳng (ABCD)

b) Đường thẳng AC vuông góc với mặt phẳng (SBD) và đường thẳng BD vuông góc với mặt phẳng (SAC)

 

Hướng dẫn giải

Bài 4 (SGK trang 105)

Cho tứ diện OABC có ba cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc. Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ O tới mặt phẳng (ABC). Chứng minh rằng :

a) H là trực tâm của tam giác ABC

b) \(\dfrac{1}{OH^2}=\dfrac{1}{OA^2}+\dfrac{1}{OB^2}+\dfrac{1}{OC^2}\)

Hướng dẫn giải

Bài 5 (SGK trang 105)

Trên mặt phẳng \(\left(\alpha\right)\) cho hình bình hàng ABCD. Gọi O là giao điểm của AC và BD, S là một điểm nằm ngoài mặt phẳng \(\left(\alpha\right)\) sao cho SA = SC; SB = SD. Chứng minh rằng : 

a) \(SO\perp\left(\alpha\right)\)

b) Nếu trong mặt phẳng (SAB) kẻ SH vuông góc với AB tại H thì AB vuông góc với mặt phẳng (SOH)

Hướng dẫn giải

Bài 6 (SGK trang 105)

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi ABCD và có cạnh SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Gọi I và K là hai điểm lần luwotj lấy trên hai cạnh SB và SD sao cho \(\dfrac{SI}{SB}=\dfrac{SK}{SD}\). Chứng minh :

a) BD vuông góc với SC

b) IK vuông góc với mặt phẳng (SAC)

Hướng dẫn giải

Bài 7 (SGK trang 105)

Cho tứ diện SABC có cạnh SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) và có tam giác ABC vuông tại B. Trong mặt phẳng (SAB) kẻ AM vuông góc với SB tại M. Trên cạnh SC lấy điểm N sao cho \(\dfrac{SM}{SB}=\dfrac{SN}{SC}\). Chứng minh rằng :

a) \(BC\perp\left(SAB\right)\) và \(AM\perp\left(SBC\right)\)

b) \(SB\perp AN\)

Hướng dẫn giải

Bài 8 (SGK trang 105)

Cho điểm S không thuộc mặt phẳng \(\left(\alpha\right)\) có hình chiếu trên \(\left(\alpha\right)\) là điểm H. Với điểm M bất kì trên \(\left(\alpha\right)\) và M không trùng với H, ta gọi SM là đường xiên và đoạn HM là hình chiếu của đường xiên đó. Chứng minh rằng :

a) Hai đường xiên bằng nhau khi và chỉ khi hai hình chiếu của chúng bằng nhau

b) Với hai đường xiên cho trước, đường xiên nào lớn hơn thì có hình chiếu lớn hơn và ngược lại đường xiên nào có hình chiếu lớn hơn thì lớn hơn.

Hướng dẫn giải

a) Giả sử ta có hai đường xiên SA, SB và các hình chiếu HA, HB của chúng trên mp(α)

Giả sử HA = HB

Vì SH ⊥ mp(α) nên SH ⊥ HA và SH ⊥ SB và các tam giác SHA, SHB là các tam giác vuông. Hai tam giác vuông SHA, SHB có canh SH chung và HA = HB nên :

ΔSHA = ΔSHB SA = SB

Ngược lại nếu SA = SB thì ΔSHA = ΔSHB ⇒ HA = HB

Kết quả, ta có HA = HB SA= SB (đpcm)

b) Giả sử có hai đường xiên SA, SC và các hình chiếu HA, HC của chúng trên mp(α) với giả thiết HC > HA.

Trên đoạn HC, lấy điểm B^' sao cho HA^' = HA ⇒ HC > HA^'. Như vậy, theo kết quả câu a) ta có SA^' = SA. Ta có trong các tam giác vuông SHB^', SHC thì :

SC²= SH² + HC²

SA² = SH² + HA²

Vì HC > HA^' nên SC² > SA² ⇒ SC > SA

Suy ra SC > SA

Như vậy HC > HA ⇒ SC > SA

Lí luận tương tự, ta có : SC > SA ⇒ HC > HA

Kết quả : HC > HA ⇔ SC > SA