Bài 3: Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

1. ĐỊNH NGHĨA:

Đường thẳng d được gọi là vuông góc với mặt phẳng (a) nếu d vuông góc với mọi đường thẳng a nằm trong mặt phẳng (a). Khi d vuông góc với (a) ta còn nói (a) vuông góc với d, hoặc d và (a) vuông góc với nhau. Kí hiệu: d(a).

2. ĐIỀU KIỆN ĐỂ ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG:

Định lí: Nếu một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau cùng thuộc một mặt phẳng thì nó vuông góc với mặt phẳng ấy.

Hệ quả: Nếu một đường thẳng vuông góc với hai cạnh của một tam giác thì nó cũng vuông góc với cạnh thứ ba của tam giác đó.

3. TÍNH CHẤT:

Tính chất 1: Có duy nhất một mặt phẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một đường thẳng cho trước.

* Mặt phẳng trung trực của một đoạn thẳng: Người ta gọi mặt phẳng đi qua trung điểm I của đoạn thẳng AB và vuông góc với đường thẳng AB là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB.

Tính chất 2: Có duy nhất một đường thẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một mặt phẳng cho trước.

4. LIÊN HỆ GIỮA QUAN HỆ SONG SONG VÀ QUAN HỆ VUÔNG GÓC CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG:

Tính chất 1:

a) Cho hai đường thẳng song song. Mặt phẳng nào vuông góc với đường thẳng này thì cũng vuông góc với đường thẳng kia.

b) Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau.

Tính chất 2:

a) Cho hai mặt phẳng song song. Đường thẳng nào vuông góc với mặt phẳng này thì cũng vuông góc với mặt phẳng kia.

b) Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau.

Tính chất 3:

a) Cho đường thẳng a và mặt phẳng (a) song song với nhau. Đường thẳng nào vuông góc với (a) thì cũng vuông góc với a.

b) Nếu một đường thẳng và một mặt phẳng (không chứa đường thẳng đó) cùng vuông góc với một đường thẳng khác thì chúng song song với nhau.

5. PHÉP CHIẾU VUÔNG GÓC VÀ ĐỊNH LÍ BA ĐƯỜNG VUÔNG GÓC:

a) Phép chiếu vuông góc:

Cho đường thẳng D vuông góc với mặt phẳng (a). Phép chiếu song song theo phương của D lên mặt phẳng (a) được gọi là phép chiếu vuông góc lên mặt phẳng (a).

* Lưu ý : Phép chiếu vuông góc lên một mặt phẳng là trường hợp đặc biệt của phép chiếu song song nên có đầy đủ các tính chất của phép chiếu song song. Chú ý rằng người ta còn dùng tên gọi “phép chiếu lên mặt phẳng (a)” thay cho tên gọi “phép chiếu vuông góc lên mặt phẳng (a)” và dùng tên gọi H' là hình chiếu của H trên mặt phẳng (a) thay cho tên gọi là hình chiếu vuông góc của H trên mặt phẳng (a).

b) Định lí ba đường vuông góc:

Cho đường thẳng a nằm trong mặt phẳng (a) và b là đường thẳng không thuộc(a) đồng thời không vuông góc với (a). Gọi b’ là hình chiếu vuông góc của b trên (a). Khi đó a vuông góc với b khi và chỉ khi a vuông góc với b’.

c) Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng:

Định nghĩa: Cho đường thẳng d và mặt phẳng (a).

- Trường hợp đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (a) thì ta nói rằng góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (a) bằng 90 độ

- Trường hợp đường thẳng d không vuông góc với mặt phẳng (a) thì góc giữa d và hình chiếu d’ của nó trên (a) gọi là góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (a).

* Chú ý: Nếu là góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (a) thì ta luôn có \(0^0\) và \(90^0\)

TÀI LIỆU THAM KHẢO

Vectơ trong không gian, quan hệ vuông góc

Các dạng toán về vectơ trong không gian và quan hệ vuông góc