Liên hệ giữa phép chia và phép khai phương
Lý thuyết
Mục lục
* * * * *
Bài 43* (Sách bài tập - tập 1 - trang 12)
Tìm \(x\) thỏa mãn điều kiện
a) \(\sqrt{\dfrac{2x-3}{x-1}}=2\)
b) \(\dfrac{\sqrt{2x-3}}{\sqrt{x-1}}=2\)
c) \(\sqrt{\dfrac{4x+3}{x+1}}=3\)
d) \(\dfrac{\sqrt{4x+3}}{\sqrt{x+1}}=3\)
Hướng dẫn giải
Bài 45 (Sách bài tập - tập 1 - trang 12)
Với \(a\ge0;b\ge0\), chứng minh :
\(\sqrt{\dfrac{a+b}{2}}\ge\dfrac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{2}\)
Hướng dẫn giải
Cả 2 vế đều không âm nên bình phương hai vế ta được bất đẳng thức tương đương. Điều phải chứng minh tương đương với:
\(\dfrac{a+b}{2}\ge\dfrac{a+2\sqrt{ab}+b}{4}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{a+b}{2}-\dfrac{a+2\sqrt{ab}+b}{4}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{a-2\sqrt{ab}+b}{4}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(\sqrt{a}\right)^2-2\sqrt{a}\sqrt{b}+\left(\sqrt{b}\right)^2}{4}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2}{4}\ge0\)
Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng.
Bài 4.1 Bài tập bổ sung (Sách bài tập - tập 1 - trang 12)
Giá trị của \(\sqrt{\dfrac{49}{0.09}}\) bằng
(A) \(\dfrac{7}{3}\) (B) \(\dfrac{70}{3}\) (C) \(\dfrac{7}{30}\) (D) \(\dfrac{700}{3}\)
Hãy chọn đáp án đúng ?
Hướng dẫn giải
Giá trị của
(A) (B) (C) (D)
Ta có \(\sqrt{\dfrac{49}{0,09}}\) = \(\sqrt{7^2}\)\(\div\) \(\sqrt{\dfrac{3}{10}^2}\)
= \(\sqrt{7^2}\)\(\times\)\(\sqrt{\dfrac{10}{3}^2}\)
= \(\left|7\right|\)\(\times\)\(\left|\dfrac{10}{3}\right|\)
= \(\dfrac{7\times10}{3}\)
= \(\dfrac{70}{3}\)
Bài 39 (Sách bài tập - tập 1 - trang 11)
Biểu diễn \(\sqrt{\dfrac{a}{b}}\) với \(a< 0;b< 0\) ở dạng thương của hai căn thức
Áp dụng tính \(\sqrt{\dfrac{-49}{-81}}\)
Hướng dẫn giải
\(\sqrt{\dfrac{a}{b}}\)=\(\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\) với a,b<0
Ta có : \(\sqrt{\dfrac{-49}{-81}}\)=\(\sqrt{\dfrac{49}{81}}\)=\(\dfrac{7}{9}\)
Bài 38* (Sách bài tập - tập 1 - trang 11)
Cho các biểu thức :
\(A=\sqrt{\dfrac{2x+3}{x-3}}\) và \(B=\dfrac{\sqrt{2x+3}}{\sqrt{x-3}}\)
a) Tìm \(x\) để A có nghĩa. Tìm \(x\) để B có nghĩa
b) Với giá trị nào của \(x\) thì A = B ?
Hướng dẫn giải
Bài 36 (Sách bài tập - tập 1 - trang 10)
Áp dụng quy tắc khai phương một thương, hãy tính :
a) \(\sqrt{\dfrac{9}{169}}\)
b) \(\sqrt{\dfrac{25}{144}}\)
c) \(\sqrt{1\dfrac{9}{16}}\)
d) \(\sqrt{2\dfrac{7}{81}}\)
Hướng dẫn giải
Áp dụng quy tắc khai phương một thương, hãy tính :
a) = \(\sqrt{\dfrac{3^2}{13^2}}\) = \(\left|\dfrac{3}{13}\right|\) = \(\dfrac{3}{13}\)
b) = \(\sqrt{\dfrac{5^2}{12^2}}\) = \(\left|\dfrac{5}{12}\right|\) = \(\dfrac{5}{12}\)
c) = \(\sqrt{\dfrac{25}{16}}\) = \(\sqrt{\dfrac{5^2}{4^2}}\) = \(\left|\dfrac{5}{4}\right|\) = \(\dfrac{5}{4}\)
d) = \(\sqrt{\dfrac{169}{81}}\) = \(\sqrt{\dfrac{13^2}{9^2}}\) = \(\left|\dfrac{13}{9}\right|\) = \(\dfrac{13}{9}\)
Bài 41 (Sách bài tập - tập 1 - trang 11)
Rút gọn các biểu thức :
a) \(\sqrt{\dfrac{x-2\sqrt{x}+1}{x+2\sqrt{x}+1}};\left(x\ge0\right)\)
b) \(\dfrac{x-1}{\sqrt{y}-1}\sqrt{\dfrac{\left(y-2\sqrt{y}+1\right)^2}{\left(x-1\right)^4}};\left(x\ne1;y\ne1;y\ge0\right)\)
Hướng dẫn giải
Nếu có thêm điều kiện \(y>1\) thì kết quả là \(\dfrac{1}{x-1}\)
Bài 42 (Sách bài tập - tập 1 - trang 12)
Rút gọn biểu thức với điều kiện đã cho của \(x\) rồi tính giá trị của nó :
a) \(\sqrt{\dfrac{\left(x-2\right)^4}{\left(3-x\right)^2}}+\dfrac{x^2-1}{x-3}\) (\(x< 3\)); tại \(x=0,5\)
b) \(4x-\sqrt{8}+\dfrac{\sqrt{x^3+2x^2}}{\sqrt{x+2}}\) \(\left(x>-2\right)\); tại \(x=-\sqrt{2}\)
Hướng dẫn giải
Bài 46 (Sách bài tập - tập 1 - trang 12)
Với a dương, chứng minh :
\(a+\dfrac{1}{a}\ge2\)
Hướng dẫn giải
Bất đẳng thức tương đương với: (do a > 0)
\(\left(\sqrt{a}\right)^2-2\sqrt{a}.\dfrac{1}{\sqrt{a}}+\left(\dfrac{1}{\sqrt{a}}\right)^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{a}-\dfrac{1}{\sqrt{a}}\right)^2\ge0\)
Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng.
Bài 40 (Sách bài tập - tập 1 - trang 11)
Rút gọn các biểu thức
a) \(\dfrac{\sqrt{63y^3}}{\sqrt{7y}};\left(y>0\right)\)
b) \(\dfrac{\sqrt{48x^3}}{\sqrt{3x^5}};\left(x>0\right)\)
c) \(\dfrac{\sqrt{45mn2}}{\sqrt{20m}};\left(m>0;n>0\right)\)
d) \(\dfrac{\sqrt{16a^4b^6}}{\sqrt{128a^6b^6}};\left(a< 0;b\ne0\right)\)
Hướng dẫn giải
a. \(\sqrt{\dfrac{63y^3}{7y}}\)=\(\sqrt{9y^2}\)=3y
b.\(\sqrt{\dfrac{48x^3}{3x^5}}\)=\(\sqrt{16\cdot\dfrac{1}{X^2}}\)= \(\sqrt{16}\cdot\sqrt{\dfrac{1}{X^2}}\)=\(4\cdot\dfrac{1}{X}=\dfrac{4}{X}\)
c.\(\sqrt{\dfrac{45mn^2}{20m}}=\sqrt{\dfrac{9n^2}{4}}=\dfrac{\sqrt{9n^2}}{\sqrt{4}}=\dfrac{3n}{2}\)
d. \(\sqrt{\dfrac{16a^4b^6}{128a^6b^6}}=\sqrt{\dfrac{1}{8a^2}}=\dfrac{1}{2\sqrt{2}a}\)
Bài 44 (Sách bài tập - tập 1 - trang 12)
Cho hai số a, b không âm. Chứng minh :
\(\dfrac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\)
(Bất đẳng thức Cô - si cho hai số không âm)
Dấu đẳng thức xảy ra khi nào ?
Hướng dẫn giải
Nếu n= 2, tức có hai giá trị x1 và x2, và từ giả thiết ở trên, ta có:
![{\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}&\neq x_{2}\\[3pt]x_{1}-x_{2}&\neq 0\\[3pt]\left(x_{1}-x_{2}\right)^{2}&\geqslant 0\\[3pt]x_{1}^{2}-2x_{1}x_{2}+x_{2}^{2}&\geqslant 0\\[3pt]x_{1}^{2}+2x_{1}x_{2}+x_{2}^{2}&\geqslant 4x_{1}x_{2}\\[3pt]\left(x_{1}+x_{2}\right)^{2}&\geqslant 4x_{1}x_{2}\\[3pt]{\Bigl (}{\frac {x_{1}+x_{2}}{2}}{\Bigr )}^{2}&\geqslant x_{1}x_{2}\\[3pt]{\frac {x_{1}+x_{2}}{2}}&\geqslant {\sqrt {x_{1}x_{2}}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/96dce83e606652266bc8708875bcc82a5b338faa)
điều phải chứng minh - ở đây \(x_1=a;x_2=b\)
Bài 37 (Sách bài tập - tập 1 - trang 11)
Áp dụng quy tắc chia hai căn bậc hai, hãy tính :
a) \(\dfrac{\sqrt{2300}}{\sqrt{23}}\)
b) \(\dfrac{\sqrt{12,5}}{\sqrt{0,5}}\)
c) \(\dfrac{\sqrt{192}}{\sqrt{12}}\)
d) \(\dfrac{\sqrt{6}}{\sqrt{150}}\)
Hướng dẫn giải
Áp dụng quy tắc chia hai căn bậc hai, hãy tính :
a) = \(\sqrt{\dfrac{2300}{23}}\) = \(\sqrt{100}\) = 10
b) = \(\sqrt{\dfrac{12,5}{0,5}}\) = \(\sqrt{25}\) = 5
c) = \(\sqrt{\dfrac{192}{12}}\) = \(\sqrt{16}\) = 4
d) = \(\sqrt{\dfrac{6}{150}}\) = \(\sqrt{\dfrac{1}{25}}\) = \(\dfrac{1}{5}\)
Có thể bạn quan tâm
Có thể bạn quan tâm
