Ôn tập: Phân thức đại số

Lý thuyết

Bài 67 (Sách bài tập - trang 42)

Chú ý rằng vì \(\left(x+a\right)^2\ge0\) với mọi giá trị của x và \(\left(x+a\right)^2=0\) khi \(x=-a\) nên \(\left(x+a\right)^2+b\ge b\) với mọi giá trị của x và \(\left(x+a\right)^2+b=b\) khi \(x=-a\). Do đó giá trị nhỏ nhất của \(\left(x+a\right)^2+b\) bằng b khi \(x=-a\).

Áp dụng điều này giải các bài tập sau :

a) Rút gọn rồi tìm giá trị của x để biểu thức :

               \(\dfrac{x^2}{x-2}\left(\dfrac{x^2+4}{x}-4\right)+3\) có giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất ấy ?

b) Rút gọn rồi tìm giá trị của x để biểu thức:

               \(\dfrac{\left(x+2\right)^2}{x}\left(1-\dfrac{x^2}{x+2}\right)-\dfrac{x^2+6x+4}{x}\) có giá trị lớn nhất. Tìm giá lớn nhất ấy ?

             

Hướng dẫn giải

Bài II.1 - Bài tập bổ sung (Sách bài tập - trang 42)

Rút gọn và tính giá trị của biểu thức sau tại \(x=-1,76;y=\dfrac{3}{25}\)

\(P=\left[\left(\dfrac{x-y}{2y-x}-\dfrac{x^2+y^2+y-2}{x^2-xy-2y^2}\right):\dfrac{4x^4+4x^2y+y^2-4}{x^2+y+xy+x}\right]:\dfrac{x+1}{2x^2+y+2}\)

(Đề thi học sinh giỏi cấp II. Miền Bắc năm 1963)

Hướng dẫn giải

Bài 60 (Sách bài tập - trang 40)

Biến đổi các biểu thức hữu tỉ thành phân thức :

a) \(\dfrac{\dfrac{x}{x-1}-\dfrac{x+1}{x}}{\dfrac{x}{x+1}-\dfrac{x-1}{x}}\)

b) \(\dfrac{\dfrac{5}{4}-\dfrac{5}{x+1}}{\dfrac{9-x^2}{x^2+2x+1}}\)

 

Hướng dẫn giải

\(A=\dfrac{\dfrac{x}{x-1}-\dfrac{x+1}{x}}{\dfrac{x}{x+1}-\dfrac{x-1}{x}}=\dfrac{\dfrac{x^2-\left(x^2-1\right)}{x\left(x-1\right)}}{\dfrac{x^2-\left(x^2-1\right)}{x\left(x+1\right)}}=\dfrac{\dfrac{1}{x\left(x-1\right)}}{\dfrac{1}{x\left(x+1\right)}}\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\ne\left\{0;\pm1\right\}\\A=\dfrac{x+1}{x-1}\end{matrix}\right.\)

Bài 64 (Sách bài tập - trang 41)

Tìm điều kiện x để giá trị của biểu thức được xác định và chứng minh rằng với điều kiện đó, biểu thức không phụ thuộc vào biến :

a) \(\dfrac{x-\dfrac{1}{x}}{\dfrac{x^2+2x+1}{x}-\dfrac{2x+2}{x}}\)
b) \(\dfrac{\dfrac{x}{x+1}+\dfrac{1}{x-1}}{\dfrac{2x+2}{x-1}-\dfrac{4x}{x^2-1}}\)

c) \(\dfrac{1}{x-1}-\dfrac{x^3-x}{x^2+1}.\left(\dfrac{x}{x^2-2x+1}-\dfrac{1}{x^2-1}\right)\)

d) \(\left(\dfrac{x}{x^2-36}-\dfrac{x-6}{x^2+6x}\right):\dfrac{2x-6}{x^2+6x}+\dfrac{x}{6-x}\)

Hướng dẫn giải

Bài 58 (Sách bài tập - trang 39)

Thực hiện các phép tính :

a) \(\left(\dfrac{9}{x^3-9x}+\dfrac{1}{x+3}\right):\left(\dfrac{x-3}{x^2+3x}-\dfrac{x}{3x+9}\right)\)

b) \(\left(\dfrac{2}{x-2}-\dfrac{2}{x+2}\right).\dfrac{x^2+4x+4}{8}\)

c) \(\left(\dfrac{3x}{1-3x}+\dfrac{2x}{3x+1}\right):\dfrac{6x^2+10x}{1-6x+9x^2}\)

d) \(\left(\dfrac{x}{x^2-25}-\dfrac{x-5}{x^2+5x}\right):\dfrac{2x-5}{x^2+5x}+\dfrac{x}{5-x}\)

e) \(\left(\dfrac{x^2+xy}{x^3+x^2y+xy^2+y^3}+\dfrac{y}{x^2+y^2}\right):\left(\dfrac{1}{x-y}-\dfrac{2xy}{x^3-x^2y+xy^2-y^3}\right)\)

Hướng dẫn giải

Bài 59 (Sách bài tập - trang 40)

Chứng minh đẳng thức :

a) \(\left(\dfrac{x^2-2x}{2x^2+8}-\dfrac{2x^2}{8-4x+2x^2-x^3}\right)\left(1-\dfrac{1}{x}-\dfrac{2}{x^2}\right)=\dfrac{x+1}{2x}\)

b) \(\left[\dfrac{2}{3x}-\dfrac{2}{x+1}\left(\dfrac{x+1}{3}-x-1\right)\right]:\dfrac{x-1}{x}=\dfrac{2x}{x-1}\)

c) \(\left[\dfrac{2}{\left(x+1\right)^3}.\left(\dfrac{1}{x}+1\right)+\dfrac{1}{x^2+2x+1}\left(\dfrac{1}{x^2}+1\right)\right]:\dfrac{x-1}{x^3}=\dfrac{x}{x-1}\)

 

Hướng dẫn giải

Bài 66 (Sách bài tập - trang 41)

Chú ý nếu \(c>0\) thì \(\left(a+b\right)^2+c\) và \(\left(a-b\right)^2+c\) đều dương với mọi a, b

Áp dụng điều này chứng minh rằng :

a) Với mọi giá trị x khác \(\pm1\), biểu thức :

              \(\dfrac{x+2}{x-1}.\left(\dfrac{x^3}{2x+2}+1\right)-\dfrac{8x+7}{2x^2-2}\) luôn có giá trị dương

b) Với mọi giá trị của x khác 0 và khác - 3, biểu thức :

             \(\dfrac{1-x^2}{x}.\left(\dfrac{x^2}{x+3}-1\right)+\dfrac{3x^2-14x+3}{x^2+3x}\) luôn có giá trị âm

Hướng dẫn giải

Vì \(x^2-4x+5=x^2-4x+4+1=\left(x-2\right)^2+1\ge1>0\) với mọi giá trị của \(x\) nên giá trị của biểu thức luôn luôn âm với mọi giá trị khác 0 và khác -3 của \(x\)

Bài II.2 - Bài tập bổ sung (Sách bài tập - trang 42)

Thực hiện phép tính :

\(\dfrac{1}{\left(b-c\right)\left(a^2+ac-b^2-bc\right)}+\dfrac{1}{\left(c-a\right)\left(b^2+ab-c^2-ac\right)}+\dfrac{1}{\left(a-b\right)\left(c^2+bc-a^2-ab\right)}\)

Hướng dẫn giải

Bài 65 (Sách bài tập - trang 41)

Chứng minh rằng :

a) Giá trị của biểu thức :

             \(\left(\dfrac{x+1}{x}\right)^2:\left[\dfrac{x^2+1}{x^2}+\dfrac{2}{x+1}\left(\dfrac{1}{x}+1\right)\right]\) bằng 1 với mọi giá trị \(x\ne0;x\ne-1\)

b) Giá trị của biểu thức :

             \(\dfrac{x}{x-3}-\dfrac{x^2+3x}{2x+3}\left(\dfrac{x+3}{x^2-3x}-\dfrac{x}{x^2-9}\right)\) bằng 1 khi \(x\ne0;x\ne-3;x\ne3;x\ne-\dfrac{3}{2}\)

Hướng dẫn giải

Bài 63 (Sách bài tập - trang 40)

Tìm giá trị của x để giá trị của các biểu thức sau bằng 0 :

a) \(\dfrac{2x-3}{\dfrac{x-1}{x+2}}\)

b) \(\dfrac{\dfrac{2x^2+1}{x}}{x-1}\)

c) \(\dfrac{x^2-25}{\dfrac{x^2-10x+25}{x}}\)

d) \(\dfrac{x^2-25}{\dfrac{x^2+10x+25}{x-5}}\)

Hướng dẫn giải

a)

2x-3=0 => x=3/2

b)

2x^2 +1 =0 => vô nghiệm

c) x^2 -25 =0 => x=5 loiaj

x=-5 nhân

d)

x^2 -25 =0 => x=5 loại

x=-5 loại

Bài 61 (Sách bài tập - trang 40)

Một phân thức có giá trị bằng 0 khi giá trị của tử thức bằng 0 còn giá trị của mẫu thức khác 0. Ví dụ giá trị của phân thức \(\dfrac{x^2-25}{x+1}=0\) khi \(x^2-25=0\) và \(x+1\ne0\) hay \(\left(x-5\right)\left(x+5\right)=0\) và \(x\ne-1\)

Vậy giá trị của phân thức này bằng 0 khi \(x=\pm5\)

Tìm các giá trị của x để giá trị của mỗi phân thức sau bằng 0 :

a) \(\dfrac{98x^2-2}{x-2}\)

b) \(\dfrac{3x-2}{x^2+2x+1}\)

Hướng dẫn giải

a)

98x^2 -2 =0 =>x^2 =1/49 => x= -+1/7 nhận

b)

3x-2=0=>x=2/3 nhận

Bài 62 (Sách bài tập - trang 40)

Đối với mỗi biểu thức sau, hãy tìm diều kiện của x để giá trị của biểu thức được xác định :

a) \(\dfrac{2x-3}{\dfrac{x-1}{x+2}}\)

b) \(\dfrac{\dfrac{2x^2+1}{x}}{x-1}\)

c) \(\dfrac{x^2-25}{\dfrac{x^2-10x+25}{x}}\)

d) \(\dfrac{x^2-25}{\dfrac{x^2+10x+25}{x-5}}\)

Hướng dẫn giải

a)

\(\left\{{}\begin{matrix}x-1\ne0\\x+2\ne0\end{matrix}\right.\)

b)

x khác 1

c)

x khác 0; x khác 5

d) x khác 5 ; x khác -5