Bài 4: Ôn tập chương Giới hạn

Lý thuyết

Bài 1 (Sách bài tập trang 170)

Tính các giới hạn sau (\(n\rightarrow+\infty\) )

a) \(\lim\limits\dfrac{\left(-3\right)^n+2.5^n}{1-5^n}\)

b) \(\lim\limits\dfrac{1+2+3+....+n}{n^2+n+1}\)

c) \(\lim\limits\left(\sqrt{n^2+2n+1}-\sqrt{n^2+n-1}\right)\)

Hướng dẫn giải

Bài 9 (Sách bài tập trang 171)

Tìm các giới hạn sau :

a) \(\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{\sqrt{x^2+1}-1}{4-\sqrt{x^2+16}}\)

b) \(\lim\limits_{x\rightarrow1}\dfrac{x-\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}\)

c) \(\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{2x^4+5x-1}{1-x^2+x^4}\)

d) \(\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}\dfrac{x+\sqrt{4x^2-x+1}}{1-2x}\)

e) \(\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}x\left(\sqrt{x^2+1}-x\right)\)

f) \(\lim\limits_{x\rightarrow2^+}\left(\dfrac{1}{x^2-4}-\dfrac{1}{x-2}\right)\)

Hướng dẫn giải

Bài 13 (Sách bài tập trang 172)

Chứng minh rằng phương trình :

a) \(x^5-5x+1=0\) có ít nhất ba nghiệm

b) \(m\left(x-1\right)^3\left(x^2-4\right)+x^4-3=0\) luôn có ít nhất hai nghiệm với mọi giá trị của tham số m

c) \(x^3-3x=m\) có ít nhất hai nghiệm với mọi giá trị của \(m\in\left(-2;2\right)\)

Hướng dẫn giải

Bài 6 (Sách bài tập trang 171)

Từ độ cao 63 m của tháp nghiêng PISA ở Italia (H.5) người ta thả một quả bóng cao su xuống đất. Giả sử mỗi lần chạm đất quả bóng lại nảy lên một độ cao bằng \(\dfrac{1}{10}\) độ cao mà quả bóng đạt được ngay trước đó.

Tính độ dài hành trình của quả bóng từ thời điểm ban đầu cho đến khi nó nằm yên trên mặt đất ?

Hướng dẫn giải

Ta nhận xét rằng khi thả bóng thì bóng đi được 1 lược còn kể từ lần nảy đầu tiên đến khi dừng lại thì bóng đi được 2 lược (1 nảy lên và 1 rơi xuống). Giả sử sau lần nảy thứ n + 1 thì bóng dừng hẳn.

Quãng đường bóng đi được tính đến lần chạm sàn thứ nhất là:

\(S_1=63\)

Quãng đường bóng đi được tính đến lần chạm sàn thứ 2 là:

\(S_2=63+63.\dfrac{1^1}{10^1}\)

Quãng đường bóng đi được tính đến lần chạm sàn thứ (n + 1) là:

\(S_{n+1}=63+63.\left(\dfrac{1}{10}+\dfrac{1}{10^2}+...+\dfrac{1}{10^n}\right)\)

\(=63+63.\dfrac{\dfrac{1}{10}}{1-\dfrac{1}{10}}=70\left(m\right)\)

Vậy độ dài hành trình của quả bóng từ thời điểm ban đầu cho đến khi nó nằm yên trên mặt đất là \(70\left(m\right)\)

Bài 3 (Sách bài tập trang 170)

Viết số thập phân vô hạn tuần hoàn 2,131131131....(chu kì 131) dưới dạng phân số ?

Hướng dẫn giải

Vì là một cấp số nhân lùi vô hạn với công bội )

Bài 7 (Sách bài tập trang 171)

Chứng minh rằng hàm số \(f\left(x\right)=\cos\dfrac{1}{x}\) không có giới hạn khi \(x\rightarrow0\) ?

Hướng dẫn giải

Bài 4 (Sách bài tập trang 171)

Cho dãy số \(\left(u_n\right)\) xác định bởi \(\left\{{}\begin{matrix}u_1=1\\u_{n+1}=\dfrac{2u_n+3}{u_n+2},\left(n\ge1\right)\end{matrix}\right.\)

a) Chứng minh rằng \(u_n>0\) với mọi \(n\)

b) Biết \(\left(u_n\right)\) có giới hạn hữu hạn. Tìm giới hạn đó ?

Hướng dẫn giải

Bài 5 (Sách bài tập trang 171)

Cho dãy số \(\left(u_n\right)\) thỏa mãn \(u_n< M\) với mọi \(n\). Chứng minh rằng nếu \(\lim\limits u_n=a\) thì \(a\le M\) ?

Hướng dẫn giải

Bài 8 (Sách bài tập trang 171)

Tìm các giới hạn sau :

a) \(\lim\limits_{x\rightarrow-2}\dfrac{x+5}{x^2+x-3}\)

b) \(\lim\limits_{x\rightarrow3^-}\sqrt{x^2+8x+3}\)

c) \(\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\left(x^3+2x^2\sqrt{x}-1\right)\)

d) \(\lim\limits_{x\rightarrow-1}\dfrac{2x^3-5x-4}{\left(x+1\right)^2}\)

Hướng dẫn giải

Bài 14 (Sách bài tập trang 172)

Cho hàm số \(f\left(x\right)=\dfrac{x^3+8x+1}{x-2}\)

Phương trình \(f\left(x\right)=0\) có nghiệm hay không :

a) trong khoảng \(\left(1;3\right)\) ?

b) trong khoảng \(\left(-3;1\right)\) ?

 

 

 

Hướng dẫn giải

Bài 15 (Sách bài tập trang 172)

Giả sử hai hàm số \(y=f\left(x\right)\) và \(y=f\left(x+\dfrac{1}{2}\right)\) đều liên tục trên đoạn \(\left[0;1\right]\) và \(f\left(0\right)=f\left(1\right)\). 

Chứng minh rằng phương trình \(f\left(x\right)-f\left(x+\dfrac{1}{2}\right)=0\) luôn có nghiệm trong đoạn \(\left[0;\dfrac{1}{2}\right]\) ?

Hướng dẫn giải

Bài 12 (Sách bài tập trang 172)

Xác định một hàm số \(y=f\left(x\right)\) thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau :

a) \(f\left(x\right)\) xác định trên R

b) \(y=f\left(x\right)\) liên tục trên \(\left(-\infty;0\right)\) và trên [ \(0;+\infty\)) nhưng gián đoạn tại x = 0

 

Hướng dẫn giải

Bài 10 (Sách bài tập trang 172)

Xác định một hàm số \(y=f\left(x\right)\) thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau :

a) \(f\left(x\right)\) xác định trên R\{1}

b) \(\lim\limits_{x\rightarrow1}f\left(x\right)=+\infty;\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}f\left(x\right)=2;\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}f\left(x\right)=2\)

Hướng dẫn giải

Bài 2 (Sách bài tập trang 170)

Tìm giới hạn của dãy số \(\left(u_n\right)\) với :

a) \(u_n=\dfrac{\left(-1\right)^n}{n^2+1}\)

b) \(u_n=\dfrac{2^n-n}{3^n+1}\)

Hướng dẫn giải

Bài 11 (Sách bài tập trang 172)

Xét tính liên tục của hàm số 

                  \(f\left(x\right)=\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{x^2+5x+4}{x^3+1};x\ne-1\\1;x=-1\end{matrix}\right.\)

trên tập xác định của nó ?

Hướng dẫn giải