Đề thi học sinh giỏi toán lớp 11 TP Đà Nẵng

GIÁO VÀ ĐÀO OỞ ẠTHÀNH PH ĐÀ NGỐ ẴĐ CHÍNH TH CỀ KÌ THI CH SINH GI 11Ọ ỚNĂM 2010­2011 ỌMôn thi TOÁNTh gian: 150ờ phút (không th gian giao đ)ể ềCâu 2,0 đi mể 1) Gi ph ng trình ngả ươ ượgiác 2) Gi ph ng trình ươCâu II 2,0 đi mể 1) Cho là ba ng sằ ốvà là dãy đc xác đnh công th c:ố ượ Ch ng minhứr ng khi và ch khi ỉ2) Các (theo th đó) thành nhân có ng ng 26. Tìmứ ằcác đó, bi ng: ng có là ng th nh t, là ng th baố ứthì là ng th chín.ố ứCâu III 2,0 đi mể 1) Ch ng minh ng: tứ nhiên chia cho nh ng khôngố ưchia cho ế2) các nhiên có năm ch mà các ch đu khác 0, yừ ấng nhiên Tính xác su trong nhiên đc ra ch có ba ch sẫ ượ ốkhác nhau.Câu IV 3,0 đi mể )1) Cho hình Trên nh ABl đi mấ khác và (ọ là ph ng đi qua và song song ph ng a) Trình bày cách ng thi di hình và ph ng (ự ).b) Xác đnh trí thi di nói trên có di tích nh t.ể ấ2) Cho hình chóp S.ABCD cóđáy ABCD là hình bình hành và Mlà trung đi SC ph ng (ộ ch AM và các nh ượ SB SD iạcác đi B' D' khác Ch ng minh ng:ứ .Câu 1,0 đi mể Kh sát tính ch tínhả ẻtu hoàn và tìm giá tr nh t,ầ ấgiá tr nh nh hàm ố­­­ ­­­Ế2 2sin cos sin 0.x x 2 22 84 4.x yx x   )nu1 *). nu n ¥lim 0nnu0.a c 32 1n13 n 23 n. ' ' ' '.ABCD D( ').ACD4 ' ' 33 2SB SDSB SD sin sin .y x H và tên thí sinh:ọ ...................................................... báo danh: ố.....................................Ch ký giám th 1:ữ ................................ Ch ký giám th ị2: ......................................CÂU DUNG ĐÁP ÁNỘ ĐIỂMCâu 1) Gi ph ng trình ng giácả ươ ượ2) Gi ph ng trìnhả ươ 2,0 đI.1(1,0đ) Có: 0,25nên PT 0,25 0,25 (v nguyên)0,25I.2(1,0đ) Đi ki n: Đt ớHPT 0,25 0,25  (th a)ỏ0,25K lu n: nghi ph ng trìnhế ươlà 0,25Câu II 1) Cho là ba ng và là dãy số đc xác đnh công th c:ượ ứCh ng minh ng khiứ ằvà ch khi ỉ2) Các (theo th đó) thành nhân có ng ng 26. Tìm các sứ ốđó, bi ng: ng có là ng th nh t, là ng th ba thì làs ng th chín.ố 2,0 đII.1(1,00đ) Đt khi Ta có: 0,25cho nên: thì 0,25Ng ượ thì khi ta có0,50II.2(1,00đ) là ba theo th thànhọ ậm nhân có công vn là ng có công sai Khi đó ta có:ớ th 0, nên: 0,50q 0,25N trên tr thành 2, 6, 180,252 2sin cos sin 0.x x 2 22 84 4.x yx x  3 2sin sin sin (3 sin sin (1 cos sin ,x x 2 2[(1 cos cos 1] sin 0x x 3 22 2(4 cos cos cos 1) sin 0(1 cos )(1 cos sin 0x xx x  sin 02cos 1xx kx  ; 2; 2]x y 2 cos 22 cos 2x uy v, [0; ]2u v(1 cos )(1 cos 2cos sin cos sin 1u vu u  2 2sin cos 2sin 2( 1u vu v sin cos 24u vu v sin( sin( 24u vu v  sin( 24u vu v  44u vu v  40uv2 cos 022 cos 2xy  nu1 *). nu n ¥lim 0nnu0.a c 2 31 11nn nun nv cn nn   n 1n nu n 0a c lim 0.nnu 0a c n 22 02 1nb cu nn n  1 3, ,u c 1 9, ,v c 1 11 12 323 91 32 (1)8 (2)263 10 26. (3)u au aaq du bu caq du ua d            263a c ( 0)ad2214 03 10 26daqq qa d  32qa d CâuIII 1) Ch ng minh ng nhiênứ chia cho nh ng không chia tố ếcho 2) các nhiên có năm ch mà các ch đu khác 0, ng uừ ẫnhiên Tính xác su trong nhiên đc ra ch có ba ch khácộ ượ ốnhau. 2,0 đIII.1(1,0đ) Đt An thì A0 chia cho 3ế mà không chia cho 3ế 0,25Gi Ak chia cho 3ế +1 mà không chia cho 3ế +2 Ak .3 +1; Bnguyên, không chia cho 3).Ta có:ế Ak+ 0,25 Ak+ 0,25D th y: chia cho mà khôngễ ếchia cho (vì không chia tếcho 3) nên không chia cho 3ế Ak+ chia cho 3ế +2, nh ng không chia cho 3ư +3. lu n:ế ậ0,25Ý.2(1,0đ) Ta có: 0,25G là bi tìm xác su t, ta có: ấS cách ch ch phân bi a, b, từ ch th phân khác là Ch ch ữs còn ch đó, có tr ng pố ườ nhau sau đây:ờTH1. ch còn cùng ng 1ả ằtrong ch a, b, có cách; iỗhoán 5! hoán ch sị ố(ch ng n) ra nhiên nh ng 3! hoán các trí mà ,a chi ch thì ch ra cùng nên trong TH1 này có th nhiên.ả ựTH2. trong ch còn ng 1ữ ằtrong ch a, b, và ch kiaữ ốb ng ch khác trong ch đó:ằ ốcó cách; hoán 5! hoán ch (ch ng n) ra sạ ốt nhiên nh ng 2! hoán các trí mà chi ch và 2! hoán các vế ịtrí mà chi ch thì ch ra cùng nên trong TH2 này có th tả ựnhiên. 0,25V y: .ậ0,25K lu n: 0,25CâuIV 1) Cho hình Trên nh AB yấđi mể khác và (ọ là tặph ng đi qua và song song ph ng a) Trình bày cách ng thi di hình và ph ng (ự ).b) Xác đnh trí thi di nói trên có di tích nh t.ể ấ2) Cho hình chóp S.ABCD có đáyABCD là hình bình hành và làtrung đi SC tộ ặph ng (ẳ ch AM và các nh ượ SB SD các đi B' D' khác Ch ngứminh ng:ằ 3,0 đIV.1.a(0,75đ)Trongmp( ABCD ),qua Mvẽ 0,5032 1n13 n 23 n32 1n12 32 1k13 23 32 1k k 2 33 2kk kA A 21 33 2kk kB B    2 33 2kk kB B    3 1.3kB32kB2 3.3 2kkB59 59.049 39C5!3 603! 5!3 902!2! 399!(60 90)C 150 150 126003!6!A 12.600 1.4000,21338210659.049 6.561AP A . ' ' ' '.ABCD D( ').ACD4 ' ' 3.3 2SB SDSB SD SJ RPKIQFE NO C'B'A'CABDD'Mđng th ng song song ườ AC DB, BC ượ E, Trong mp( BDD’B’ ), qua đng th ng song song ườ D’O O=AC BD B’D’ iạF .Trong mp( A’B’C’D’ ), qua đng th ng song song ườ AC A’D’, D’C’ tầ ượt R, Trong mp( AA’D’D ), qua đng th ng song song ườ AD’ AA’ Trong mp( CC’D’D ), qua đng th ng song song ườ CD’ CC’ Thi di là giác MNPQRS 0,25IV.1.b(1,25đ) Do các đi diên hình song song nên các nh đi giác thi diênặ ếMNPQRS song song và nh đó song song các nh tam giác ượ ACD’ . Các tam giác JKI ACD’ RQI JMS NKP đng ngồ ạ MJ=NK vàPK=QI Các tam giácRQI JMS NKP ng nhau (g di tích chúng là S1 và di tích các tam giácọ ệJKI ACD’ là ượ S2 0,25Đt ta có đi ki và có:ặ S1 2S 0,25 S2 2k +1) 0,25 Di tích thi di n: (d ng ra 0,25S nh là trung đi AB 0,25VI.2(1,00đ) AM B'D' và AC BD ta có: S, O, là các đi chung 2ể ủm ph ng (ặ SAC và SBD th ng hàng.ẳVà là tr ng tâm các chéoọ ặSAC 0,25V BP // B'I và DN // D'I Đt ặ (*)0,25Suy ra: 0,25T (*): 0,25Câu Kh sát tính ch tính tu nả ầ1,0đ'' 'MJ MA NC NK PC PK QD QIMN MB NB NM PC PQ QC QP ;AMkAB0 1k 2 221SJM AM AMkS AC DC AB        2 2221SJK JM MK JM MKkS AC AC AC AC    2 13tdS S 221 32 22 2tdSS k        12k 12k PND'IO MDB CA SB'23SISO,P SOOP ON;' 'SD SBx ySD SB 2 32 3' ' 2SB SD SP SN SOx ySB SD SI SI SI , [1; 2]x y21 433x xy y    1 2x 23 0x x (3 2x x 2x y 3 32xy32x yxy1 32x y sin sin y .hoàn và tìm giá tr nh t, giá tr nh nh hàm ốV(1,0đ) xác đnh hàm làậ ố(đi ng qua 0)ố y, ch (ẵ không vì nóẻkhông đng nh ng 0)ồ 0,25 y, tu hoàn 0,25T giá tr hàm là nên ố0,25 0,25( sin siny x D¡( )., x ¡( )., x ¡sint x 0 0min min sin 0,tf t  0max max sin 1tf t 