Đề thi học sinh giỏi toán lớp 11 tỉnh Quảng Bình

GD&ĐT THI CH SINH GI NH 11 THPT ỚQU NG BÌNH NĂM 2012­ 2013Ả Môn thi: ToánĐ THI CHÍNH TH CỀ (Khóa ngày 27 tháng năm 2013)S BÁO DANH:…………….. Th gian làm bài: 180 phút (không th gian giao đ)ờ ềCâu 1: 3.0 đi m) a) Gi ph ng trình: ươ2221012 12xxy yx xy  b) Gi ph ng trìnhả ươ 2cos cos sin 3x x Câu 2: (2. đi m) a) Tính giới hạn dãy số 4 63lim 1n n b) Cho dãy số nu xác định như sau: 11120131 1)2013nnn nnuu n Tìm công thức số hạng tổng quát và giới hạn dãy số nu?Câu 3: đi m)ể Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình thang cân (AD//BC)và BC=2a, AB=AD=DC=a (a>0) Mặt bên SBC là tam giác đều.Gọi là giao điểm của AC và BD. Biết SD vuông góc với AC.a) Tính SD.b) Mặt phẳng ( qua điểm thuộc đoạn OD (M khác O, D) và songsong với hai đường thẳng SD và AC.Xác định thiết diện của hình chóp S.ABCD cắt bởi mặt phẳng ( ).Biết MD Tìm để diện tích thiết diện lớn nhất.Câu 4: .0 điểm) Cho ph ng trình: ươ4 20x ax bx cx d a) Với 2013d chứng minh rằng phương trình có ít nhất hainghiệm phân biệt.b) Với 1d giả sử phương trình có nghiệm, chứng minh2 243a c Trang: Đáp án Toán 11 ­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­H T­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­Ế GD&ĐT THI CH SINH GI NH 11 THPT ỚQU NG BÌNH NĂM 201Ả 201 Môn thi: Toán (Khóa ngày 27 tháng năm 201 NG CH MƯỚ Ấ(Đáp án, ng này có trang)ướ ẫyªu cÇu chung Đáp án ch trình bày gi cho bài. Trong bài làm sinh yêu ph pỉ ậlu lô gic ch ch đy đ, chi ti và rõ ràng.ậ ế* Trong bài, sinh gi sai bỗ gi trướ thì cho đi đi nh ng bớ cướgi sau có liên quan. câu sinh không hình ho hình sai thì cho đi 0.ả ể* Đi thành ph bài nói chung phân chia đn 0,25 đi m. Đi đi thành ph nể ầlà 0,5 đi thì tu giám kh th ng nh chi thành ng 0,25 đi m.ể ể* sinh có gi khác đáp án (n đúng) cho đi đa tu theo đi aọ ủt ng bài.ừ* Đi toàn bài là ng (không làm tròn đi các bài.ể ảCâu dungộ Đi mể1a) ĐK: 0y . Đt ặ11;a by Ta có pệ hương trình trở thành 2115 3( )6 18 213a aba aVNab ab ba b         TH1: 21( 1;33ax yb    TH2: 31( 2;22ax yb     1,5điểm0,250, 50, 50,25Trang: Đáp án Toán 11 b)2cos cos sin 3x x 2 22 22 22 22 2224 sin sin sin 34(1 sin sin 2(1 sin 04 sin (1 sin cos 2(1 sin 04(sin cos cos 2(1 sin 0sin 1sin 1sin cos )2cos 0cos 0x xx xx xx xxxx Zxx           1,5điểm0,50,50,52a) 4 23 3lim lim )n n Ta có:224 24 22 4111 1lim lim lim21 111 1nnn nn nn n            6 236 43 31lim( lim 0( 1) 1)n nn n  Do đó 4 631lim 12n n ,0đi mể0,250, 50, 50, 5Trang: Đáp án Toán 11b) *0,nu N 1 11 11 12013 2013n nn nn nu u   Do đó: 12 1112013u u 23 2212013u u ... 11112013n nn nnu u Suy ra: 1111 1111 12013...2013 2013 2013 2012nnnnu u    111201320132012nnnu    1111 ... 2014 201320131 2013 2014 12012nnnnun n     (Cô si)Mặt khác 2013lim 1n    Vậy lim 1nu 5đi mể0,250,50, 50,250,253OB CA DSTMN PKQJ 2,5đi mể0,25Trang: Đáp án Toán 11a) th đáy ABCD là hình giác đu nh a.ễ ạKẻ DT//AC (T thuộc BC). Suy ra CT=AD=a và DT vuông góc SD. Ta có: DT=AC=3a Xét tam giác SCT có SC=2a, CT=a, 0120SCT 7ST a Xét tam giác vuông SDT có DT=3a 2ST SD a b) Qua kẻ đường thẳng song song với AC cắt AD, DC lầnlượt tại N,P.Qua M, N, kẻ các đường thẳng song song với SD cắt SB,SA, SC lần lượt tại K, J, Q. Thiết diện là ngũ giác NPQKJ.Ta có: NJ, MK, PQ cùng vuông góc với NP.dt(NPQKJ)=dt(NMKJ)+dt(MPQK)=1 1( )2 2NJ MK MN MK PQ MP 1( ).2NJ MK NP (do NJ=PQ).Ta có: 333NP MD AC MD aNP xaAC OD OD ..32( 3)3aa xNJ AN OM SD OMNJ xaSD AD OD OD    2 3. 2( )3 3a xKM BM SD BMKM xSD BD BDa Suy ra: dt(NPQKJ)=1 22( 3) 2(3 )23a x    221 3(3 )2 (3 343 3a a   Diện tích NPQKJ lớn nhất bằng 23 34a khi 34x a 0,250,250,250,250,250,50,250,25Trang: Đáp án Toán 114a) d= -2013Đt 2( 2013f ax bx cx liên trênụ .Ta có: 0 2013 0f Mặt khác lim )xf x  nên tồn tại số 0; 0  sao cho( 0; 0f f  . Do đó (0). 0; (0). 0f f  .Vậy phương trình có ít nh hai nghiệm ph ân biệt thu hai khoảng 0)và (0, ) 1.0 đi mể0,250,50,25b) d=1: Gọi 0x là nghiệm của phương trình (00x 20 020 01 11 0x ax bx cx ax cx x Ta có: 22 20 02 20 01 1( 1) 1)a ax xx x        2 22 20 02 20 01 1ax ax xx x    Suy ra: 2202202 220201111xxta ctxx     với 202012t xx Mặt khác: 2243 2)(3 2) 01 3tt tt  (đúng do 2t ).Vậy 243a c ng raấ khi 23a c (ứng ớ0 1x ) 2,3 3a b ng iứ ớ01x 1.0 đi mể0,250,250,250,25Trang: Đáp án Toán 11