Đề thi học sinh giỏi tỉnh lớp 11 năm 2013 môn Toán

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BẮC GIANG ĐỀ THI CHÍNH THỨC Đề thi có 01 trang ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VĂN HOÁ CẤP TỈNH NĂM HỌC 2012-2013 MÔN THI: TOÁN LỚP 11 PHỔ THÔNG Ngày thi:31 /03/2013 Thời gian làm bài 180 phút, không kể thời gian giao đề Câu 1. (5 điểm) Giải các phương trình sau: 1) 2os cos sin x+ =, (x Îℝ). 2) 2sin cos sin cos sin os2 cos 0,x x+ (x Îℝ). Câu 2. (4 điểm) 1) Có bao nhiêu số tự nhiên có chữ số sao cho trong mỗi số đó có một chữ số xuất hiện hai lần, các chữ số còn lại xuất hiện không quá một lần. 2) Cho là số nguyên dương thoả mãn 31 ... 128 .nn nC nC n+ Tìm hệ số của x6 trong khai triển thành đa thức của 1( 2(1 (2 )n nf x+= +. Câu 3. (3 điểm) 1) Cho dãy số (un) được xác định như sau 1111 2013, 1.2n nnxx nx+= = ³   Chứng minh rằng dãy số trên có giới hạn và tìm limnnx®+¥. 2) Tính giới hạn 304 2limxx xx®+ -. Câu 4. (6 điểm) 1) Trong mặt phẳng, cho ba điểm A, B, di động sao cho chúng luôn tạo thành một tam giác có trọng tâm cố định và trực tâm luôn chạy trên đường thẳng cố định. Tìm tập hợp tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. 2) Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh a. Đường thẳng SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Góc giữa SB và (ABCD) bằng 600. Gọi là trung điểm BC. Mặt phẳng (P) qua và vuông góc với SC. a. Tính cosin góc giữa hai đường thẳng SD và AN. b. Tính diện tích thiết diện tạo bởi mặt phẳng (P) và hình chóp S.ABCD. Câu 5. (2 điểm) Cho A, B, là ba góc của một tam giác. Chứng minh rằng 2sin sin cos 2.2 C+ --------------------------------Hết------------------------------- Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh................................................ Số báo danh:........................................ Giám thị (Họ tên và ký).................................................................................................. Giám thị (Họ tên và ký)..................................................................................................http://toanhocmuonmau.violet.vn SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BẮC GIANG HƯỚNG DẪN CHẤM BÀI THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VĂN HOÁ CẤP TỈNH NGÀY THI 31/3/2013 MÔN THI: TOÁN LỚP 11 PHỔ THÔNG ản ướng ẫn ch ấm có 03 trang Câu Ph ương pháp ết qu Điể Câu 1) Phương trình ương đươ ng ới 22(1 cos )2 cos (1 cos 34os 14 cos 15 0os2 os2 1os2 15, .xx xc xc xx kp++ =Û =Û == -Û Îℤ 2) Ph ương trình đã cho ương đươ ng ới sin x(2cos2 -1) 4sin cos2 –3sin2 –(2cos2 –2cos Û(2sin2 xcos2x 2cos2 (4sin xcos2 2cos x) 4sin Û2cos2x(sin2 1) 2cos x(sin2 1) 4(sin 1) (sin 1)(cos2 cos 2) sin 1cos 42 ,cos 2xx kxx kxppp== + = Û = - .kÎℤ 0,5 0,5 0,5 0,5 Câu II 1) Tr ường ợp 1: Ch xu ất hi ện ần Có 23C cách ch ọn trí cho ch 0. Có 29A cách ếp ch trong ch vào trí còn ại ậy có 23C29A có ch tho mãn tr ường ợp này. TH2: Ch (khác 0) xu ất hi ện ần và trí đầu tiên (v trí hàng nghìn). Có cách ch ọn Có cách ch ọn thêm ột trí ữa cho a. Có 29Acách ếp ch trong ch vào trí còn ại ậy có 9.329A có ch tho mãn tr ường ợp này. TH3: Ch (khác 0) xu ất hi ện ần và không xu ất hi ện trí hàng nghìn Có cách ch ọn Có 23C cách ch ọn trí cho ch Có cách ch ọn ột ch (khác và khác a) vào trí hàng nghìn. Có cách ch ọn ột ch vào trí còn ại. ậy có 9.8.8.23C có ch tho mãn tr ường ợp này Theo quy ắc ộng, có 23C29A 9.329A 9.8.8.23C 3888 tho mãn đầu bài. 0,5 0,5 0,5 0,5 ĐỀ CHÍNH THỨChttp://toanhocmuonmau.violet.vn 2) Chứng minh được 11 ... .2n nn nC nC n-+ suy ra 2n 128 8. ậy 98 18 90 0( 2(1 (2 2k ik if x- += == +∑ tìm được hệ ần tìm là 48 92 .2C += 2072 0,5 0,5 0,5 0,5 Câu III 1) Dễ th ấy xn ới ọi Ta có 11 2013 2013.2 20132 2n nx xx x+ = Do đó xn 2013 ới ọi 1.nên xn) là dãy ch ăn ưới ặt khác 2120131 2013( 02 2nn nn nxx xx x+-- £do xn 2013 với 2. Do đó dãy xn) giảm ạng th 3. suy ra dãy xn) có giới ạn ữu ạn. Đặ limnnx®+¥ suy ra 2013 201320132a aa a = Suy ra limnnx®+¥= 2013 vì xn ới ọi n. 2) Ta có 30 04 .( 1) 2lim limx xx xx x® ®+ -= 3020 334 .( 1) 2lim2 1lim4 2(1 14 19 .3 12x xx xx xx xx x®® + -=  + = + + ++ + = 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 Câu IV 1) Gọi ’, B’, C’ ần ượ là trung điể ủa BC CA AB Khi đó là tr ực tâm tam giác A’B ’C ’. Phép 12GV- bi ến tam giác ABC thành tam giác A’B ’C Do đó 12:GV O-® ọi D’ là ảnh ủa qua 12GV- Khi đó ập ợp chính là đường th ẳng D’. 2) Góc gi ữa SB và ABCD là 060SBA= tính được SA 3a ọi K, lần ượ là trung điể ủa AD và SA KL //SD và CK // AN Do đó góc gi ữa SD và AN chính là góc gi ữa KL và CK Tính được 11, ,2 2a aCK KL LC= Do đó 2 25cos2 10CK KL LCCKLCK KL+ -= 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5http://toanhocmuonmau.violet.vn Suy ra 5cos10a=. 2) P) ắt SB SC SD lần ượ tại ’C ’D ch ứng minh được AC ’D suy ra \'\' \' \'. \' \'2AB DAC DS DSAC vuông ại AC SC nên tính được 30\'53 5\'5aACaSC= = DSD ’C đồ ng ạng ới DSCA nên \' \' 3\'10 2SD SC aSDSC SD= =⇒= Ta có \' \' \' 2\' \'4 4B SD DBD SD= =⇒= ậy \' 2\' \' \'. \' \' 152 20AB DAC aS= 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 Câu Ta có 22 2sin sin cos sin os cos2 222 cos (2 cos 1)2 2A BA CC C+ -+ -£ Đặ os2Cc Ta ch ứng minh 222 (2 1) 22t t- (*) Th ật ậy 2(*) 1) 0t tÛ (luôn đúng) suy ra (*) đúng ậy có điề ph ải ch ứng minh. Đẳ ng th ức ảy ra khi và ch khi tam giác ABC vuông cân ại ưu khi ch ấm bài: Trên đây ch là lượ đáp án, bài làm ủa ọc sinh ph ải đượ trình bày ỉ. ọi cách gi ải khác, ếu đúng, ẫn cho điể ương đươ ng nh trên.