Đề thi học sinh giỏi cấp trường môn Toán lớp 11 năm học 2019 - 2020 trường Nguyễn Đăng Đạo - Bắc Giang

SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO BẮC NINH TRƯỜNG THPT NGUYỄN ĐĂNG ĐẠO Câu 1. (2,0 điểm) Cho parabol điểm phân biệt Câu 2. (4,0 điểm) ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG Năm học: 2019 – 2020 MÔN THI: TOÁN, LỚP 11 Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề) và đường thẳng sao cho tam giác vuông tại . Tìm để cắt tại hai (O là gốc tọa độ). 1) Giải phương trình: 2) Giải hệ phương trình: Câu 3. (4,0 điểm) 1) Chứng minh rằng phương trình 2) Cho dãy số luôn có nghiệm với mọi thỏa mãn . Tính giới hạn . . Câu 4. (2,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ , cho tam giác có . Các điểm , lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp và tâm đường tròn nội tiếp tam giác . Tìm tọa độ các đỉnh B và C biết hoành độ điểm B lớn hơn hoành độ điểm C. Câu 5. (5,0 điểm) 1) Cho hình chóp có đáy là hình chữ nhật, , cạnh bên vuông góc với đáy. a) Gọi I, J lần lượt là trung điểm của SB và CD. Biết đường thẳng IJ tạo với mặt phẳng một góc . Tính độ dài đoạn thẳng . b) là mặt phẳng thay đổi qua AB và cắt các cạnh SC, SD lần lượt tại M và N. Gọi K là giao điểm của hai đường thẳng AN và BM. Chứng minh rằng biểu thức 2) Cho tứ diện ABCD có , có giá trị không đổi. . Gọi M là điểm di động trong không gian. Chứng minh rằng biểu thức . Câu 6. (3,0 điểm) 1) Có hai cái hộp đựng tất cả 15 viên bi, các viên bi chỉ có 2 màu đen và trắng. Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp 1 viên bi. Biết số bi ở hộp 1 nhiều hơn hộp 2, số bi đen ở hộp 1 nhiều hơn số bi đen ở hộp 2 và xác suất để lấy được 2 viên đen là 2) Cho các số thực thỏa mãn . Tính xác suất để lấy được 2 viên trắng. và VnDoc.com - Tải tài liệu, biểu mẫu, vbpl miễn phí . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: . ………….. Hết………….. (Chú ý: Giám thị coi thi không giải thích gì thêm) SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO BẮC NINH TRƯỜNG THPT NGUYỄN ĐĂNG ĐẠO Câu ĐÁP ÁN ĐỀ THI HSG CẤP TRƯỜNG Năm học: 2019 – 2020 MÔN THI: TOÁN, LỚP 11 Nội dung Điểm Câu 1 2,0 Phương trình hoành độ giáo điểm: Đường thẳng d cắt biệt Gọi tại hai điểm phân biệt A, B khi và chỉ khi pt(1) có 2 nghiệm phân 0,25 ( là các nghiệm của pt(1)) Theo Định lý Vi-et: Vì 0,5 vuông tại O 0,5 +) Với , phương trình (1) trở thành: +) Với , phương trình (1) trở thành: (Loại) (t/m) 0,5 0,25 Kết luận: Vậy Câu 2.1 2,0 Điều kiện: 0,25 VnDoc.com - Tải tài liệu, biểu mẫu, vbpl miễn phí Phương trình tương đương: 0,75 0,5 Kết hợp điều kiện suy ra nghiệm của phương trình là: 0,5 Câu 2.2 2.0 Điều kiện: Ta thấy không phải là nghiệm của hệ. Từ đó suy ra trình (1) của hệ tương đương Ta có: Lại có: VnDoc.com - Tải tài liệu, biểu mẫu, vbpl miễn phí . Do đó phương 0,5 . Do đó, phương trình tương đương 0,5 Thế vào pt(2), ta được: Đặt: Suy ra: 0,5 +) (Vô nghiệm) +) 0,5 Vậy hệ cho có nghiệm . Câu 3.1 2,0 Xét hàm số Ta thấy 0,5 liên tục trên 0,5 +) Nếu +) Nếu phương trình có nghiệm Phương trình có nghiệm Vậy phương trình đã cho luôn có nghiệm với mọi m. VnDoc.com - Tải tài liệu, biểu mẫu, vbpl miễn phí 0,5 0,5 Câu 3.2 2,0 Ta có: 0,5 0,5 Đặt: 0,5 0,5 Câu 4 2,0 Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có tâm , bán kính có phương trình: . Phương trình đường thẳng AJ: A . J Gọi D là giao điểm thứ hai của đường thẳng AJ với đường tròn I . C B Tọa độ D là nghiệm của hệ: (Do D ) 0,5 VnDoc.com - Tải tài liệu, biểu mẫu, vbpl miễn phí Vì là điểm chính giữa cung là góc ngoài tam giác Từ (2) và (3) suy ra cân tại D (4) Từ (1) và (4) suy ra DB = DC = DJ = thuộc đường tròn 0,75 tâm D, bán kính Phương trình B, C là các giao điểm của và nên tọa độ của B và C là các nghiệm của hệ: (Do ) 0,5 0,25 Vậy Câu 5.1a 1,5 S K N M I D A J H B C Gọi H là trung điểm của AB góc giữa IJ với là 0,75 góc Trong tam giác IHJ vuông tại H ta có: VnDoc.com - Tải tài liệu, biểu mẫu, vbpl miễn phí 0,5 0,25 Câu 5.1b 1,5 Ta có : 0,5 Từ đó suy ra 0,5 (đpcm) 0,5 Câu 5.2 2,0 VnDoc.com - Tải tài liệu, biểu mẫu, vbpl miễn phí A P M I D B Q N C Đặt Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của AB và CD . Ta có cân tại Q Tương tự ta có B đối xứng A qua PQ và D đối xứng C qua PQ Gọi N là điểm đối xứng của M qua PQ và I là giao điểm của MN với PQ 0,5 Ta có: Trong tam giác có Tương tự ta có: 0,5 Đặt: = 0,5 Ta có VnDoc.com - Tải tài liệu, biểu mẫu, vbpl miễn phí 0,5 (đpcm). Câu 6.1 1,5 Gọi số bi trong hộp 1 là n ( , ). Gọi x, y lần lượt là số bi đen ở hộp 1 và hộp 2 . Suy ra xác suất lấy được 2 viên bi đen là: 0,5 +) Nếu , do số bi ở hộp 2 là 1 viên Thay vào (1) ta có: +) Nếu . (Loại). 0,25 , do Thay vào (1) ta được: 0,5 Xác suất lấy được 2 bi trắng là: 0,25 . Câu 6.2 1,5 Ta có . 0,5 Theo giả thiết ta có: 0,5 VnDoc.com - Tải tài liệu, biểu mẫu, vbpl miễn phí Dấu “=” xảy ra khi . Vậy 0,5 ...................... Hết……………. Mời bạn đọc cùng tham khảo https://vndoc.com/tai-lieu-hoc-tap-lop-11 VnDoc.com - Tải tài liệu, biểu mẫu, vbpl miễn phí