DẠNG TOÁN 1: HỆ GỒM MỘT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT VÀ MỘT BẬC HAI
1. Phương pháp giải
Sử dụng phương pháp thế
- Từ phương trình bậc nhất rút một ẩn theo ẩn kia.
- Thế vào phương trình bậc hai để đưa về phương trình bậc hai một ẩn.
- Số nghiệm của hệ tuỳ theo số nghiệm của phương trình bậc hai này.
DẠNG TOÁN 2: HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG
1. Phương pháp giải
a. Hệ đối xứng loại 1
Hệ phương trình đối xứng loại 1 là hệ phương trình có dạng:
(Có nghĩa là khi ta hoán vị giữa x và y thì f(x, y) và g(x, y) không thay đổi).
Cách giải
- Đặt S = x + y, P = xy
- Đưa hệ phương trình (I) về hệ (I') với các ẩn là S và P.
- Giải hệ (I') ta tìm được S và P
- Tìm nghiệm (x; y) bằng cách giải phương trình: X2 - SX + P = 0
b. Hệ đối xứng loại 2
Hệ phương trình đối xứng loại 2 là hệ phương trình có dạng:
(Có nghĩa là khi hoán vị giữa x và y thì (1) biến thành (2) và ngược lại)
- Trừ (1) và (2) vế theo vế ta được: (II) ⇔
- Biến đổi (3) về phương trình tích: (3) ⇔ (x-y).g(x,y) = 0 ⇔
- Như vậy (II) ⇔
- Giải các hệ phương trình trên ta tìm được nghiệm của hệ (II)
c. Chú ý: Hệ phương trình đối xứng loại 1, 2 nếu có nghiệm là (x0; y0) thì (y0; x0) cũng là một nghiệm của nó
DẠNG TOÁN 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP BẬC HAI
1. Phương pháp giải
Hệ phương trình đẳng cấp bậc hai là hệ phương trình có dạng:
- Giải hệ khi x = 0 (hoặc y = 0)
- Khi x ≠ 0, đặt y = tx. Thế vào hệ (I) ta được hệ theo k và x. Khử x ta tìm được phương trình bậc hai theo k. Giải phương trình này ta tìm được k, từ đó tìm được (x; y)
Ví dụ minh họa
Bài 1: Giải hệ phương trình
Hướng dẫn:
a. Đặt S = x + y, P = xy (S2 - 4P ≥ 0)
Ta có :
⇒S2 - 2(5-S) = 5 ⇒ S2 + 2S - 15 = 0
⇒ S = -5; S = 3
S = -5⇒ P = 10 (loại)
S = 3⇒ P = 2(nhận)
Khi đó : x, y là nghiệm của phương trình X2 - 3X + 2 = 0
⇔ X = 1; X = 2
Vậy hệ có nghiệm (2; 1), (1; 2)
b. ĐKXĐ: x ≠ 0
Hệ phương trình tương đương với
Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y) là (1; 1) và (2; -3/2)
Bài 2: Giải hệ phương trình
Hướng dẫn:
a. Hệ phương trình tương đương
Với x-y = 4 ⇒ x = y + 4 ⇒ y(y+4) + y + 4 - y = -1
⇔ y2 + 4y + 5 = 0 (vn)
Vậy nghiệm của hệ phương trình là (x; y) = {(0; 1), (-1; 0)}
b. Đặt S = x+y; P = xy, ta có hệ:
- Với S = 2 + √2; P = 2√2 ta có x, y là nghiệm phương trình:
Với S = -4-√2; P = 6 + 4√2 ta có x, y là nghiệm phương trình:
X2 + (4+√2)X + 6 + 4√2 = 0 (vô nghiệm)
Vậy hệ có nghiệm (x; y) là (2; √2) và (√2; 2)
Bài 3: Giải hệ phương trình
Hướng dẫn:
a. Hệ phương trình tương đương
Vậy tập nghiệm của hệ phương trình là: (x; y) = {(0;0), (2;2)}
b. Trừ vế với vế của phương trình đầu và phương trình thứ hai ta được:
(y2 - x2 = x3 - y3 - 3(x2 - y2) + 2(x-y) ⇔ (x-y)(x2 + xy + y2 - 2x - 2y + 2) = 0 ⇔ 1/2(x-y)[x2 + y2 + (x + y - 2)2] = 0 ⇔ x = y)
(vì x2 + y2 + (x+y-2)2 > 0)
Thay x = y vào phương trình đầu ta được:
x3 - 4x2 + 2x = 0 ⇔ x(x2 - 4x + 2) = 0
Vậy hệ phương trình có ba nghiệm: (0; 0); (2+√2; 2+√2) và (2-√2; 2-√2)
Bài 4: Giải hệ phương trình
Hướng dẫn:
a. Ta có : x3 - 3x = y3 - 3y ⇔ (x-y)(x2 + xy + y2) - 3(x-y) = 0
⇔ (x-y)(x2 + xy + y2 - 3) = 0
Khi x = y thì hệ có nghiệm
Khi x2 + xy + y2 - 3 = 0 ⇔ x2 + y2 = 3 - xy, ta có x6 + y6 = 27
⇔ (x2 + y2)(x4 - x2y2 + y4) = 27
⇒ (3-xy)[(3-xy)2 - 3x2y2] = 27 ⇔ 3(xy)3 + 27xy = 0
Vậy hệ phương trình đã cho có 2 nghiệm
b. Hệ phương trình tương đương
Bài 5: Giải hệ phương trình
Hướng dẫn:
a. Ta có
Nếu x = 0 thay vào (1)⇒ y = 0, thay vào (2) thấy (x; y) = (0; 0) là nghiệm
của phương trình (2) nên không phải là nghiệm của hệ phương trình
Nếu x ≠ 0, đặt y = tx , thay vào hệ ta được
Với t = 1/2 thay vào (**) ta được 4x2 + x2 + 6x = 27 ⇔ 5x2 + 6x - 27 = 0
Với t = 1/3 thay vào (**) ta được 4x2 + (2/3)x2 + 6x = 27
⇔ 14x2 + 18x - 81 = 0
Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y) là:
b. Dễ thấy x = 0 không thoả hệ
Với x ≠ 0, đặt y = tx, thay vào hệ ta được
Suy ra 3(t2 - t + 1) = 2t2 - 3t + 4 ⇒ t = ±1
Thay vào (*) thì
Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y) là (1/√3;(-1)/√3), ((-1)/√3;1/√3), (-1;-1) và (1;1)
Bài 6: Cho hệ phương trình
. Tìm giá trị thích hợp của tham số a sao cho hệ có nghiệm (x; y) và tích x.y nhỏ nhất.
Hướng dẫn:
Đặt S = x + y, P = xy (S2 - 4P ≥ 0)
Ta có
Đẳng thức xảy ra khi a = -1 (nhận)
Bài 7: Xác định m để hệ phương trình
có nghiệm
Hướng dẫn:
Hệ phương trình tương đương
(x2 + y2 - 2xy) - (x + y - 4xy) = m + 1 - 2m ⇔ (x+y)2 - (x+y) + m - 1 = 0
Để hệ phương trình có nghiệm Δ ≥ 0 ⇔ 1 - 4(m-1) ≥ 0 ⇔ 5 - 4m ≥ 0
⇔ m ≤ 5/4
Từ phương trình thứ 2 ta có(x-y)2 = m + 1 ⇒ m + 1 ≥ 0 ⇔ m ≥ -1
Do đó -1 ≤ m ≤ 5/4
Được cập nhật: hôm kia lúc 22:25:41 | Lượt xem: 705
