Lý thuyết & Phương pháp giải
a. Định lí Vi-ét.
Hai số x1 và x2 là các nghiệm của phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 khi và chỉ khi chúng thỏa mãn hệ thức x1 + x2 = -b/a và x1.x2 = c/a
b. Ứng dụng.
- Nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai.
- Phân tích thành nhân tử: Nếu đa thức f(x) = ax2 + bx + c có hai nghiệm x1 và x2 thì nó có thể phân tích thành nhân tử f(x) = a(x - x1)(x - x2)
- Tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng: Nếu hai số có tổng là S và tích là P thì chúng là nghiệm của phương trình x2 - Sx + P = 0.
- Xét dấu của các nghiệm phương trình bậc hai:
- Cho phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (*), kí hiệu S = -b/a, P = c/a. khi đó
+ Phương trình (*) có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi P < 0
+ Phương trình (*) có hai nghiệm dương khi và chỉ khi
+ Phương trình (*) có hai nghiệm âm khi và chỉ khi
Ví dụ minh họa
Bài 1: Cho phương trình x2 - 3x - 5 = 0. Khi đó tổng các lập phương hai nghiệm của phương trình bằng bao nhiêu?
Hướng dẫn:
Phương trình x2 - 3x - 5 = 0 (*), có Δ = (-3)2 - 4.(-5) = 29 > 0 → (*) có hai nghiệm phân biệt x1, x2
Theo hệ thức Viet, ta có
Bài 2: Giả sử phương trình x2 - (2m+1)x + m2 + 2 = 0 (m là tham số) có hai nghiệm là x1, x2. Tính giá trị biểu thức P = 3x1x2 - 5(x1 + x2) theo m
Hướng dẫn:
Theo định lý Viet, ta có
Thay vào P, ta được P = 3(m2 + 2) - 5(2m + 1) = 3m2 - 10m + 1
Bài 3: Giả sử phương trình 2x2 - 4ax - 1 = 0 có hai nghiệm x1, x2. Tính giá trị của biểu thức T = |x1 - x2|
Hướng dẫn:
Vì x1, x2 là hai nghiệm của phương trình 2x2 - 4ax - 1 = 0
Theo hệ thức Viet, ta có x1 + x2 = -(-4a/2) = 2a và x1.x2 = -1/2 (1)
Ta có T = |x1 - x2| ⇔ T2 = (x1 - x2)2 = (x1 + x2)2 - 4x1x2 (2)
Từ (1) và (2) suy ra T2 = (2a)2 -4.(-1/2) = 4a2 + 2 ⇒ T = √(4a2 + 2) > 0
Bài 4: Cho hai phương trình x2 - mx + 2 = 0 và x2 + 2x - m = 0. Có bao nhiêu giá trị của m để một nghiệm của phương trình này và một nghiệm của phương trình kia có tổng là 3?
Hướng dẫn:
Gọi x0 là một nghiệm của phương trình x2 - mx + 2 = 0
Suy ra 3-x0 là một nghiệm của phương trình x2 + 2x - m = 0
Khi đó, ta có hệ
Thay (2) vào (1), ta được x02 - (x02 - 8x0 + 15)x0 + 2 = 0
cho ta 3 giá trị của m cần tìm
Bài 5: Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình x2 - 2(m+1)x + m2 + 2 = 0 (m là tham số). Tìm m để biểu thức P = x1x2 - 2(x1 + x2) - 6 đạt giá trị nhỏ nhất
Hướng dẫn:
Ta có Δ' = (m+1)2 - (m2 + 2) = 2m - 1
Để phương trình có hai nghiệm ⇔ Δ' ≥ 0 ⇔ m ≥ 1/2. (*)
Theo định lý Viet, ta có
Khi đó 1
Dấu " = " xảy ra khi và chỉ khi m = 2
Bài 6: Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình x2 - (2m+1)x + m2 + 1 = 0 (m là tham số). Tìm giá trị nguyên của m sao cho biểu thức
có giá trị nguyên
Hướng dẫn:
Ta có Δ = (2m + 1)2 - 4(m2 + 1) = 4m - 3
Để phương trình có hai nghiệm ⇔ Δ ≥ 0 ⇔ m ≥ 3/4
Theo định lý Viet, ta có
Khi đó
Do m ≥ 3/4 nên 2m + 1 ≥ 5/2
Để P ∈ Z thì ta phải có (2m + 1) là ước của 5 , suy ra 2m + 1 = 5 ⇔ m = 2
Thử lại với m = 2, ta được P = 1 (thỏa mãn)
Được cập nhật: 14 tháng 4 lúc 0:47:04 | Lượt xem: 622