Bài 5 (SGK trang 10)
Gửi bởi: Sách Giáo Khoa Vào 26 tháng 12 2018 lúc 11:13:33
Lý thuyết
Câu hỏi
Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a) \(tanx > x (0 < x < \dfrac{\pi}{2})\)
b) \(tanx > x + \dfrac{x^3}{3} (0 < x < \dfrac{\pi}{2})\)
Hướng dẫn giải
a) Xét hàm số y = f(x) = tanx – x với x ∈ [0 ; ).
Ta có : y’ = - 1 ≥ 0, x ∈ [0 ;
); y’ = 0 ⇔ x = 0. Vậy hàm số luôn đồng biến trên [0 ;
).
Từ đó ∀x ∈ (0 ; ) thì f(x) > f(0) ⇔ tanx – x > tan0 – 0 = 0 hay tanx > x.
b) Xét hàm số y = g(x) = tanx – x - . với x ∈ [0 ;
).
Ta có : y’ = - 1 - x2 = 1 + tan2x - 1 - x2 = tan2x - x2
= (tanx - x)(tanx + x), ∀x ∈ [0 ; ).
Vì ∀x ∈ [0 ; ) nên tanx + x ≥ 0 và tanx - x >0 (theo câu a).
Do đó y' ≥ 0, ∀x ∈ [0 ; ).
Dễ thấy y' = 0 ⇔ x = 0. Vậy hàm số luôn đồng biến trên [0 ; ). Từ đó : ∀x ∈ [0 ;
) thì g(x) > g(0) ⇔ tanx – x -
> tan0 - 0 - 0 = 0 hay tanx > x +
.
Update: 26 tháng 12 2018 lúc 14:56:53
Các câu hỏi cùng bài học
Có thể bạn quan tâm
