Ứng dụng của tích phân - THPT Nguyễn Chí Thanh, TPHCM

Bài 3. ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN
I. DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG

Bài toán 1: Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các
b

đường (C) : y  f(x) , trục hoành ( y  0) , hai đường thẳng x  a, x  b là S   f (x dx .
a

y
y  f (x)

O a c1

c2

c3 b x

y  f (x)

y  0
(H ) 
x  a
 x  b

b

S   f ( x ) dx
a

Bước 1. Lập công thức tính diện tích.
Bước 2. Lập bảng xét dấu f(x) trên đoạn [a; b].
Chú ý: Nếu có đồ thị (C) thì ta dựa vào đồ thị mà không cần lập bảng xét dấu.
b

Bước 3. Dựa vào bảng xét dấu tính tích phân



f(x) dx .

a

VD1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: (C): y 

x 1
, x  0, x  1, Ox .
x 1

Giải:
Diện tích hình phẳng là S  

1

0

Do trên  0;1 ,

S

1

0

x 1
dx
x 1

x 1 1 x
2
x 1


 1.
 0 nên
x 1
x 1 x 1 x 1

1 2
1
x 1

dx   
 1 dx (2 ln x  1  x) 0  2 ln 2  1.
0 x 1
x 1



VD2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: x = 1, x = e, Ox, ( C) : y 
Giải:
e

Diện tích hình phẳng là S  1

ln x
dx.
2 x
1

ln x
.
2 x

Trên 1;e  ,

e ln x
ln x
 0 nên S  
dx.
1
2 x
2 x

1

u  ln x

du  dx
x

Đặt 
.
1
dv

dx

v  x
2 x


e

S  x .ln x  
1

e

1

e
1
dx  x .ln x  2 x  2  e .
1
x

VD3: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: x = -1, Ox, Oy, ( C): y  x 3  3x  2 có
đồ thị như hình vẽ

Giải:
0

Diện tích hình phẳng là S   x 3  3 x  2 dx
1

0

 x 4 3x 2
 0 13

 2x  
2
 4
 1 4

Dựa vào đồ thị ta có: S    x3  3x  2  dx  
1

Chú ý: Nếu bài toán cho thiếu đường x  a hoặc đường x  b thì ta giải phương trình:
f  x   0 để tìm.
VD: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: (C) :y 

3x  1
và hai trục tọa độ.
x 1

Giải:
Hoành độ giao điểm của đồ thị (C) và trục hoành :

S

0

1

3

3 x  1
1
 0  x  1  x  
x 1
3

0 3 x  1
0 
0
3x  1
4 
4
dx   1
dx   1  3 
dx   3x  4 ln x  1  1  1  4ln .




x 1
x 1 
3
3 x 1
3
3

2

Bài toán 2: Cho hai hàm số y = f(x) và y = g(x) liên tục trên a; b  . Diện tích hình phẳng giới
b

hạn bởi các đường y  f(x), y  g(x) , x  a, x  b là: S   f (x)  g(x) dx .
a

y
(C 1 )
(C 2 )

O

c2

c1

a

x

b

Bước 1. Giải phương trình f(x)  g(x) tìm nghiệm thuộc khoảng (a;b) (nếu có)
Bước 2. Lập bảng xét dấu f(x)  g(x) trên đoạn  a; b  .
b

Bước 3. Dựa vào bảng xét dấu tính tích phân



f (x)  g(x) dx .

a

Chú ý:
1) Nếu trong đoạn  a; b  phương trình f(x)  g(x) không còn nghiệm nào nữa thì ta có
b

b



thể dùng công thức

  f(x)  g(x)  dx .

f(x)  g(x) dx 

a

a

2) Nếu bài toán không cho hoặc cho thiếu đường x  a, x  b thì ta tìm bằng cách giải
phương trình f(x)  g(x)
VD1:
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: y  x 3  11x  6, y  6x 2 , x  0, x  2 .
Hướng dẫn giải:
2

Diện tích hình phẳng là: S   x3  11x  6  6 x 2 dx
0

Phương trình hoành độ giao điểm của 2 đường:
x  1
x  11x  6  6 x  x  6 x  11x  6  0   x  2
 x  3
3

2

2

3

2

S   x 3  11x  6  6 x 2 dx 
0

1

 x
0

3

 6 x 2  11x  6  dx 

3

2

 x
1

3

 6 x 2  11x  6  dx 

5
2

VD2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x2 –x + 3 và y = 2x + 1.
Hướng dẫn giải:
Hoành độ giao điểm của 2 đồ thị hàm số là nghiệm hệ phương trình
x  1
x 2  x  3  2 x  1  x 2  3x  2  0  
x  2
2

Diện tích hình phẳng là S   x 2  3 x  2 dx 
1



2

1

( x 2  3 x  2) dx 

1
6

BÀI TẬP:
Bài 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:
1) y  3x3  4x 2  5 trục Ox và x  1,x  2
2) y  5x 4  3x 2  3 trục Ox và x  0,x  1
3) y  x2  2 và y  3x
4) y  4x  x2 và trục hoành
5) y  ln x trục Ox và x  e
6) y  ln x và y  1
Bài 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:
1) y  x3  3x 2  4 và 2x  y  4  0
2) y  x 4  2x 2  2 và y  2  0
2x
3) y 
và x  y  2  0
2x  1

4) y  cos x , trục Ox và x   , x  
2
5) y  x(x  1)(x  2) và trục Ox
Bài 3: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P) : y  x 2  2x  2 , tiếp tuyến của (P) tại
M  3;5  và trục tung.

4

II. TÍNH THỂ TÍCH
1. Thể tích vật thể

Cắt một vật thể V bởi hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với trục Ox lần lượt tại
x  a, x  b a  b . Một mặt phẳng tùy ý vuông góc với Ox tại điểm x  a  x  b cắt V
theo thiết diện có diện tích là S  x  . Giả sử S  x  liên tục trên đoạn a; b thì thể tích V
của phần vật thể V giới hạn bởi hai mặt phẳng (P) và (Q) được tính bởi công thức:
b

V   S  x  dx
a

VD1: Tính thể tích vật thể nằm giữa 2 mặt phẳng x  1, x  1 biết thiết diện của vật thể bị cắt
bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x thuộc 1;1 là một hình vuông
cạnh 2 1  x 2 .
Hướng dẫn giải:



Diện tích thiết diện: S x   2 1 x 2
1



Thể tích vật thể là V   2. 1  x 2
1



2

2

 dx  4

1

1

1  x  dx  163
2

VD2: Tính thể tích vật thể nằm giữa 2 mặt phẳng x = 0, x =  biết thiết diện của vật thể bị cắt
bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x thuộc [0,  ] là một tam giác đều
cạnh 2 sin x .
Hướng dẫn giải:
Diện tích thiết diện: S x   2 sin x  .
2



3
 3.sin x
4


0

Thể tích vật thể : V   3.sin xdx   3 cos x  2 3
0

5

2. Thể tích của khối tròn xoay

Bài toán 1: Cho hàm số y  f  x  liên tục, không âm trên a; b . Hình phẳng giới hạn bởi
đồ thị hàm số y  f  x  , trục hoành và hai đường thẳng x  a, x  b quay quanh trục hoành
b

tạo nên một khối tròn xoay. Thể tích V của nó được tính theo công thức: V  π  f 2  x dx
a

y

y  f (x)

O

a

b

x

 (C ) : y  f ( x )

b
2
 (O x ) : y  0
V x     f ( x ) dx

x

a
a

 x  b

VD1: Cho hình phẳng D giới hạn bởi các đường y = tanx, x = 0, x 


3

, y  0 . Tính thể tích

khối tròn xoay tạo ra khi cho D quay quanh Ox.
Hướng dẫn giải:
Thể tích khối tròn xoay là




 1


3 
V    3 tan 2 x.dx   . 3 

1
dx


.
tan
x

x
3  .




2
0
0
0
3
 cos x 


Bài toán 2: Cho các hàm số y  f  x , y  g  x  liên tục và f  x .g  x   0, x  a; b  Thể tích
khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường y  f(x), y  g(x) , x  a và x  b
b

quay quanh trục Ox là V   f 2 (x)  g2 (x) dx .
a

VD: Tính thể tích khối tròn xoay tạo ra khi cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y  x 2 ,
y 2  x quay quanh Ox.
Hướng dẫn giải:
Hoành độ giao điểm của đồ thị hai hàm số đề bài cho: x 4  x  x  x 3  1  0  x  0  x  1.
1

1

Thể tích khối tròn xoay là: V   . x 4  x dx   .  x  x 4 dx 
0
0

3
.
10

BÀI TẬP
Bài 1: Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay quanh trục hoành mỗi hình phẳng giới
hạn bởi các đường sau
6

1) y  2x  x 2 và y  0
2) y  x3  3x 2  4 ; y  0
3) y   x 2  4x ; y  x  2

x3
; trục hoành và x  3;x  1
2x
5) y  ln x ; y  0 và x  2
4) y 

6) y 

x
xe 2

; y  0,x  0,x  1

7) y  sin 2 x ; y  0,x  0,x  
8) y  sin x cosx ; y  0,x  0,x 


2

Bài 2: Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y 
tích vật thể tròn xoay tạo nên.

7

x3
,y  x2 quay quanh trục Ox. Tính thể
3