Bài 4: Đường tiệm cận

I. Tiệm cận ngang, tiệm cận đứng, tiệm cận xiên

1. Định nghĩa tiệm cận ngang:

Đường thẳng \(y=y_0\) được gọi là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y=f\left(x\right)\) nếu \(\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}f\left(x\right)=y_0\) hoặc \(\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}f\left(x\right)=y_0\)

2. Định nghĩa tiệm cận đứng :

Đường thẳng \(x=x_0\) được gọi là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y=f\left(x\right)\) nếu một trong các điều kiện sau thỏa mãn:

\(\lim\limits_{x\rightarrow x^+_0}f\left(x\right)=+\infty;\lim\limits_{x\rightarrow x^+_0}f\left(x\right)=-\infty;\lim\limits_{x\rightarrow x_0^-}f\left(x\right)=+\infty\); \(\lim\limits_{x-x^-_0}f\left(x\right)=-\infty\)

3. Định nghĩa tiệm cận xiên :

Đường thẳng \(y=ax+b,\left(a\ne0\right)\) được gọi là đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số \(y=f\left(x\right)\) nếu \(\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\left[f\left(x\right)-\left(ax+b\right)\right]=0\) hoặc \(\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}\left[f\left(x\right)-\left(ax+b\right)\right]=0\)

II Qui tắc tìm các đường tiệm cận

1. Tìm tiệm cận ngang và tiệm cận đứng.

• Tìm \(\lim\limits_{x\rightarrow\pm\infty}f\left(x\right)\) ⇒TCN.

• Tìm \(\lim\limits_{x\rightarrow x^{\pm}_0}f\left(x\right)\) ⇒TCĐ.

Lưu ý :

\(x_0\) thường là một nghiệm của mẫu.

2. Tìm tiệm cận xiên.

• C1 : Viết lại hàm số dưới dạng \(y=ax+b+g\left(x\right)\). Chỉ ra \(\lim\limits_{x\rightarrow\pm\infty}\left[y-\left(ax+b\right)\right]=0\) ⇒TCX.

• C2 : Tính \(a=\lim\limits_{x\rightarrow\pm\infty}\frac{f\left(x\right)}{x}\) và \(b=\lim\limits_{x\rightarrow\infty}\left[f\left(x\right)-ax\right]\) ⇒TCX.

III. Các ví dụ

Ví dụ 1 :

Tìm tiệm cận của đồ thị hàm số :

\(f\left(x\right)=\frac{2x-1}{x+2}\)

Bài giải :

Hàm số đã cho xác định trên tập hợp \(R\backslash\left\{2\right\}\)

Ta có \(\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}f\left(x\right)-\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}\frac{2x-1}{x+2}=\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}\frac{2-\frac{1}{x}}{1+\frac{2}{x}}=2\)

và \(\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}f\left(x\right)-\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\frac{2x-1}{x+2}=\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\frac{2-\frac{1}{x}}{1+\frac{2}{x}}=2\)

\(\Rightarrow y=2\) là tiệm cận ngang của đồ thị khi \(x\rightarrow-\infty\) và \(x\rightarrow+\infty\)

\(\lim\limits_{x\rightarrow\left(-2\right)^-}f\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow\left(-2\right)^-}\frac{2x-1}{x+2}=-\infty\)

và \(\lim\limits_{x\rightarrow\left(-2\right)^+}f\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow\left(-2\right)^+}\frac{2x-1}{x+2}=+\infty\)

\(\Rightarrow x=-2\) là tiệm cận đứng của đồ thị khi \(x\rightarrow\left(-2\right)^-\) và \(x\rightarrow\left(-2\right)^+\)

\(\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}\frac{f\left(x\right)}{x}=\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}\frac{2x-1}{x\left(x+2\right)}=0\Rightarrow\) hàm số f không có tiệm cận xiên khi \(x\rightarrow-\infty\)

\(\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\frac{f\left(x\right)}{x}=\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\frac{2x-1}{x\left(x+2\right)}=\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}\frac{2-\frac{1}{x}}{x+2}=0\Rightarrow\) hàm số f không có tiệm cận xiên khi \(x\rightarrow+\infty\)

Ví dụ 2 :

Tìm tiệm cận của đồ thị hàm số :

\(f\left(x\right)=\frac{x^2-x+1}{x-1}\)

Bài giải :

Hàm số xác định trên tập hợp \(D=R\backslash\left\{1\right\}\)

Ta có : \(f\left(x\right)=x+\frac{1}{x+1}\)

\(\Rightarrow\lim\limits_{x\rightarrow1^+}f\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow1^+}x+\frac{1}{x+1}=+\infty\)

và \(\lim\limits_{x\rightarrow1^-}f\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow1^-}\left(x+\frac{1}{x-1}\right)=-\infty\Rightarrow x=1\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

\(\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}f\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\left(x+\frac{1}{x}\right)=+\infty\)

và \(\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}f\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}\left(x+\frac{1}{x-1}\right)=-\infty\Rightarrow\) hàm số không có tiệm cận ngang

\(\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\left(f\left(x\right)-x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\frac{1}{x-1}\) và \(\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}\left(f\left(x\right)-x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}\frac{1}{x-1}=0\)

\(\Rightarrow y=x\) là tiệm cận của đồ thị hàm số khi \(x\rightarrow+\infty\) và \(x\rightarrow-\infty\)

Ví dụ 3 :

Cho hàm số \(y=\frac{mx+1}{2x-3}\) có đồ thị \(\left(C_m\right)\)

a. Tìm m để hàm số có tiệm cận đứng của đồ thị \(\left(C_m\right)\)

b. Tìm m để \(\left(C_m\right)\) cắt đường thẳng \(\Delta:y=x-2\) ở 1 nhánh ở \(\left(C_m\right)\)

Bài giải :

a. Đồ thị \(\left(C_m\right)\) có tiệm cận đứng \(\Leftrightarrow1+\frac{3m}{2}\ne0\Leftrightarrow m\ne-\frac{2}{3}\)

Khi đó đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là \(x=\frac{3}{2}\)

b. Xét phương trình có hoành độ và giao điểm của \(\Delta\) và \(\left(C_m\right)\):

\(\frac{mx+1}{2x-3}=x-2\Leftrightarrow2x^2-\left(m+7\right)x+5=0\) (1)

Để \(\left(C_m\right)\) cắt đường thẳng \(\Delta:y=x-2\) ở 1 nhánh ở \(\left(C_m\right)\) thì phương trình (1) có nghiệm \(x_1,x_2;\left(x_1\le x_2\right)\), thỏa mãn :

\(x_1\le x_2< \frac{3}{2}\) hoặc \(x_1\le x_2< \frac{3}{2}\Leftrightarrow\Delta\ge0\) và \(\left[\begin{array}{nghiempt}x_1-\frac{3}{2}\le x_2-\frac{3}{2}< 0\\0< x_1-\frac{3}{2}\le x_2-\frac{3}{2}\end{array}\right.\)

\(\Leftrightarrow\begin{cases}m\in\left(-\infty;-7-\sqrt{40}\right)\cup\left(-7+\sqrt{40};+\infty\right)\\\left(x_1-\frac{3}{2}\right)\left(x_2-\frac{3}{2}\right)>0\end{cases}\)

<=> \(m\in\)(\(-\infty;-7-\sqrt{40}\)] \(\cup\) [\(-7+\sqrt{40};+\infty\)) và \(x_1x_2-\frac{3}{2}\left(x_1+x_2\right)+\frac{9}{4}>0\)

Theo định lý Viet ta có :

\(\begin{cases}x_1+x_2=\frac{m+7}{2}\\x_1.x_2=\frac{5}{2}\end{cases}\)

Thay vào ta có : \(m\in\)(\(-\infty;-7-\sqrt{40}\)] \(\cup\) [\(-7+\sqrt{40};+\infty\)) và \(m< -\frac{2}{3}\)

\(\Leftrightarrow-7+\sqrt{40}\le m< -\frac{2}{3}\) hoặc \(m\le-7-\sqrt{40}\)

Vậy (\(-\infty;-7-\sqrt{40}\)] \(\cup\) [ \(-7+\sqrt{40};-\frac{2}{3}\))

Ví dụ 3 :

Cho hàm số \(y=\frac{-x+1}{x-2}\) có đồ thị (C)

a. Chứng minh tích các khoảng cách từ điểm M bất kỳ thuộc (C) đến 2 đường tiệm cận là một giá trị không đổi

b. Tìm điểm M thuộc (C) để tổng các khoảng cách từ M đến 2 đường tiệm cận đạt giá trị nhỏ nhất

c. Tìm trên (C) các điểm A, B sao cho độ dài AB = 4 và đường thẳng AB vuông góc với đường thẳng y = x

Bài giải

a. Ta có tiệm cận đứng là x = 2, tiệm cận ngang là y = - 1

Gọi \(M\left(x_0;\frac{-x_0+1}{x_0-2}\right);x_0\ne2\)

Gọi \(d_1;d_2\) lần lượt là khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng và tiệm cận ngang thì : \(d_1d_2=\left|x_0-2\right|.\left|\frac{-1}{x_0-2}\right|=1\)là một giá trị không đổi

b. Ta có \(d_1+d_2=\left|x_0-2\right|+\left|\frac{-1}{x_0-2}\right|\ge2\)

Suy ra \(d_1+d_2\) nhỏ nhất khi và chỉ khi \(\left|x_0-2\right|=\left|\frac{-1}{x_0-2}\right|\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}x_0=1\\x_0=3\end{array}\right.\)

Từ đó ta có các điểm cần tìm là \(M_1\left(1;0\right);M_2\left(3;-2\right)\)

c. Vì đường thẳng AB vuông góc với \(y=x\) nên phương trình của AB là \(y=-x+m\)

Hoành độ của A, B là nghiệm của phương trình :

\(\frac{-x+1}{x-2}=-x+m\Leftrightarrow\begin{cases}x^2-\left(m+3\right)x+2m+1=0\left(b\right)\\x\ne2\end{cases}\)

Để tồn tại các điểm A và B thì phương trình (b) có nghiệm khác 2

\(\Leftrightarrow\begin{cases}\Delta=m^2-2m+5>0\\4-\left(m+3\right).2+2m+1\ne0\end{cases}\)(đúng với mọi m)

Gọi \(A\left(x_1;-x_1+m\right);B\left(x_2;-x_2+m\right)\) với \(x_1;x_2\) là nghiệm của phương trình (b)

Theo định lí Viet ta có : \(x_1+x_2=m+3;x_1x_2=2m+1\)

Theo giả thiết bài toán thì \(AB^2=16\Leftrightarrow\left(x_2-x_1\right)^2+\left(y_2-y_1\right)^2=16\)

\(\Leftrightarrow\left(x_2-x_1\right)^2+\left(-x_2+m+x_1-m\right)^2=16\)

\(\Leftrightarrow\left(x_2-x_1\right)^2=8\)

\(\Leftrightarrow m^2-2m-3=0\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}m=3\\m=-1\end{array}\right.\)

* Với m = 3 , phương trình (b) trở thành \(x^2-6x+7=0\Leftrightarrow x=3\pm\sqrt{2}\)

Suy ra 2 điểm A, B cần tìm là \(\left(3+\sqrt{2};-\sqrt{2}\right);\left(3-\sqrt{2};\sqrt{2}\right)\)

* Với m = - 1 ta có 2 điểm A, B cần tìm là : \(\left(1+\sqrt{2};-2-\sqrt{2}\right);\left(1-\sqrt{2};-2+\sqrt{2}\right)\)

Vậy cặp điểm thỏa mãn : \(\left(3+\sqrt{2};-\sqrt{2}\right);\left(3-\sqrt{2};\sqrt{2}\right)\) hoặc \(\left(1+\sqrt{2};-2-\sqrt{2}\right);\left(1-\sqrt{2};-2+\sqrt{2}\right)\)