Số phức Toán 12.

BÀI 1: SỐ PHỨC A. KIẾN THỨC CƠ BẢN 1. Các định nghĩa  Đơn vị ảo: Số i mà i 2  1 được gọi là đơn vị ảo.  Số phức z  a  bi với a, b   . Gọi a là phần thực, b là phần ảo của số phức z .  Tập số phức   a  bi / a, b  ; i 2  1 . Tập số thực  là tập con của tập số phức  a  c  Hai số phức bằng nhau: a  bi  c  di   với a, b, c, d   . b  d  Đặc biệt:  Khi phần ảo b  0  z  a    z là số thực,  Khi phần thực a  0  z  bi  z là số thuần ảo,  Số 0  0  0i vừa là số thực, vừa là số thuần ảo.  Môđun của số phức z: z  a  bi  a 2  b 2 . Kết quả: z  ta có: z  0; z  0  z  0; z2  z 2  Số phức liên hợp: Cho số phức z  a  bi . Số phức liên hợp của z là z  a  bi . Kết quả: z  ta có: z  z; z  z z là số thực  z  z z là số thuần ảo  z   z 2. Biểu diễn hình học Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , số phức z  a  bi  a, b   được biểu diễn bởi điểm M  a; b  B. KỸ NĂNG CƠ BẢN 1. Xác định các yếu tố của số phức (xác định phần thực, phần ảo, môđun, số phức liên hợp, tọa độ điểm biểu diễn của số phức) 2. Khai thác tính chất hình học của điểm biểu diễn số phức 3. Tìm tập hợp các điểm biểu diễn của số phức. C. CÁC DẠNG TOÁN DẠNG 1: XÁC ĐỊNH CÁC YẾU TỐ CỦA SỐ PHỨC Phương pháp giải toán: - Sử dụng các định nghĩa về số phức đã học. - Kết hợp với các phép biến đổi đại số. 1 Bài tập tự luận: Bài 1. Tìm các số thực x, y biết  2 x  3 y  1    x  2 y  i   3x  2 y  2   4 x  y  3 i Hướng dẫn giải 2 x  3 y  1  3 x  2 y  2  x  5 y 1   9 4  Ta có  x , y 11 11  x  2 y  4 x  y  3 5 x  3 y  3 Bài 2. Tìm z và tính z biết: a. b. c. d. z  2  i 3 z  2  2i z  11 z  7i Hướng dẫn giải a. z  2  i 3 nên ta có z  2  i 3 và môđun của z là z  4  3  7 b. z  2  2i  z  2  2i; z  2  4  6 . c. z  11  z  11; z  d. z  7i  z  7i; z   11 7 2 2  11 7 Bài 3. Tìm số phức z thỏa mãn từng trường hợp sau: a) z  2 và z là số thuần ảo b) z  5 và phần thực của z bằng hai lần phần ảo của nó. Hướng dẫn giải Đặt z  a  bi ,  a, b    . a  0  z  2  a 2  b2  2   a) Ta có:  . Vậy z  2i b  2 a  0 a  0  a  2 5, b   5  a 2  b2  5  z  5 a  2b  b) Ta có:    a  2b a  2b b   5  a  2 5, b  5 Vậy có hai số phức cần tìm là z  2 5  i 5 và z  2 5  i 5 . Bài 4. Xác định số thực m để z   2m 2  m  1   4m 2  1 i là số thuần ảo và khác 0 . Hướng dẫn giải m  1  2m2  m  1  0 m   1 Đề z là số thuần ảo và khác 0 ta phải có  2   2  m 1 4m  1  0  m   1  2 Bài 5. Trong tất cả các số z có dạng z   a  3   2  a  i với a là số thực, hãy tìm số phức z có môđun nhỏ nhất? Hướng dẫn giải 2 Ta có: z  5 1 1 2 2  a  3   2  a   2a 2  10a  13  2  a     2 2 2  2 5 1 1 suy ra z    i 2 2 2 Bài 6. Cho số phức z  m   3m  2  i , m là số thực âm, thỏa mãn z  2 . Tìm phần ảo của z. Dấu “=” xảy ra khi a  Hướng dẫn giải 2 2 Ta có z  2  m 2   3m  2   2  m2   3m  2   4 m  0  10m  12m  0   m   6 5  2 6 6 8 Vì m là số thực âm nên chọn m   5 suy ra z   5  5 i Bài tập trắc nghiệm Bài 1. Cho số phức z  3  2 i . Tìm phần thực và phần ảo của số phức z . A. Phần thực bằng 3, phần ảo bằng 2. B. Phần thực bằng 3 , phần ảo bằng 2. C. Phần thực bằng 3, phần ảo bằng 2 . D. Phần thực bằng 3 , phần ảo bằng 2 . Bài 2. Số phức liên hợp của số phức 2  3i là : A. 2  3i B. 2  3i C. 2i  3 D. 2i  3 Bài 3. Cho số phức z  3  2 i . Tìm phần thực và phần ảo của số phức z . A. Phần thực bằng 3, phần ảo bằng 2. B. Phần thực bằng 3 , phần ảo bằng 2. C. Phần thực bằng 3, phần ảo bằng 2 . D. Phần thực bằng 3 , phần ảo bằng 2 . Bài 4. Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai? A. Môđun của số phức z là một số âm. B. Môđun của số phức z là một số thực. C. Môđun của số phức z  a  bi là z  a 2  b 2 . D. Môđun của số phức z là một số thực không âm. Bài 5. Cho số phức z  5  4i . Môđun của số phức z là A. 3. B. 41 . C. 1. D. 9. Bài 6. Cho số phức z  6  7i . Số phức liên hợp của z là A. z  6  7i . B. z  6  7i . C. z  6  7i . D. z  6  7i . Bài 7. Cho số phức z  4  3i . Phần thực, phần ảo của số phức z lần lượt là A. 4; 3 . B. 4;3 . C. 4;3 . D. 4; 3 . Bài 8. Điểm M  1;3 là điểm biểu diễn của số phức A. z  1  3i . B. z  1  3i . C. z  2i . D. z  2 . Bài 9. Các số thực x, y thỏa mãn:  2 x  3 y  1    x  2 y  i   3x  2 y  2    4 x  y  3 i là 4  9 A.  x; y     ;   .  11 11  4 9 C.  x; y    ;   .  11 11  9 4 B.  x; y    ;  .  11 11   9 4 D.  x; y     ;  .  11 11  Bài 10. Cho hai số thực x, y thỏa mãn 2 x  1  1  2 y  i  2  2  i   yi  x . Tính x 2  3xy  y . A. 1 . B. 1 . C. 2 . D. 3 . Bài 11. Cho số phức z  3  4i . Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai? A. Điểm biểu diễn của z là M  4;3 . B. Môđun của số phức z là 5. 3 C. Điểm biểu diễn của z là M  3; 4 . D. Số phức liên hợp của z là 3  4i . Bài 12. Cho số phức z  1  2i . Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng? B. Phần ảo của số phức z là 2i . A. Phần thực của số phức z là 1 . C. Phần ảo của số phức z là 2 . D. Số phức z là số thuần ảo. Bài 13. Cho số phức z  i  1 . Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng? A. Phần ảo của số phức z là i . B. Phần thực của số phức z là 1. C. Số phức liên hợp của số phức z là z  1  i . D. Môđun của số phức z bằng 1 . 1 Bài 14. Cho số phức z   3i . Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng? 3 1 1 82 82  3i . . B. z  3i  . C. z  . D. z  3 3 3 3 Bài 15. Cho số phức z  2i  1 . Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng ? A. z  A. Phần thực của số phức z là 1 . B. Phần ảo của số phức z là 1 . C. Số phức liên hợp của số phức z là z  2i  1 . D. z  3 . Bài 16. Trong các số phức sau số phức nào có môđun nhỏ nhất? A. 3  2i. B. 1  4i. C. 4i. Bài 17. Số phức z  1   a  2  i (với a là số thực) là số thực khi: A. a  2 B. a  1 C. a  2 Bài 18. Số phức z  1  ai (với a là số thực) có môđun bằng A. a  3 ĐÁP ÁN: 1 2 3 A B C B. a  3 4 A 5 B 6 D D. a  1 10 . Tìm a ? C. a  3 7 C 8 A 9 B 10 D D. 4  i. D. a  10 11 A 12 C 13 C 14 C 15 A 16 A 17 C 18 B DẠNG 2. CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN BIỂU DIỄN HÌNH HỌC CỦA SỐ PHỨC Phương pháp giải toán:  Trong mặt phẳng tọa độ Oxy ( Ox là trục hoành); Oy là trục tung), mỗi số phức z  a  bi, (a; b  ) được biểu diễn bởi điểm M (a; b) . 4  Các số thuần ảo được biểu diễn bởi các điểm trên trục tung. Các số thực được biểu diễn bởi các điểm thuộc trục hoành.   Độ dài của vectơ OM được gọi là mô đun của số phức z , kí hiệu là z , z  OM  a 2  b 2 .  Số phức z  a  bi được gọi là số phức liên hợp của z , hai số phức liên hợp được biểu diễn bởi 2 điểm đối xứng với nhau qua trục hoành. Ví dụ: Điểm M  2; 1 biểu diễn số phức 2  i Điểm A  0;4  biểu diễn số phức 4i Bài tập tự luận: Bài 1. Cho số phức z  3  4i . Tìm tọa độ điểm M biểu diễn số phức z . Hướng dẫn giải Ta có z  3  4i . Điểm biểu diễn số phức z là M  3; 4  . Bài 2. Cho hai số phức z1  a  bi  a, b   và z2  c  di  c, d    . Tìm điều kiện của a, b, c, d để hai điểm biểu diễn hai số phức z1 , z2 thỏa mãn: a) Đối xứng với nhau qua gốc tọa độ. b) Đối xứng với nhau qua trục hoành. c) Đối xứng với nhau qua trục tung. d) Tạo với gốc tọa độ O một tam giác vuông cân đỉnh O . Hướng dẫn giải. a) M  a; b  , N  c; d  đối xứng với nhau qua gốc tọa độ khi và chỉ khi a  c; b  d , a 2  b2  0 . b) M  a; b  , N  c; d  đối xứng với nhau qua trục hoành khi và chỉ khi b  d , b  0 . c) M  a; b  , N  c; d  đối xứng với nhau qua trục tung khi và chỉ khi a  c, a  0 . d) M  a; b  , N  c; d  , O  0;0  tạo thành tam giác vuông cân đỉnh O khi và chỉ khi   OM .ON  0 ac  bd  0  2 2 .  2 2 a  b  c  d OM  ON Bài 3. Trong mặt phẳng Oxy , gọi A, B, C lần lượt là các điểm biểu diễn các số phức z1  3i , z2  2  2i , z3  5  i . Tìm số phức z có điểm biểu diễn là trọng tâm G của tam giác ABC ? Hướng dẫn giải:   Ta có: A  0;  3 , B  2;  2  , C  5;  1 . Suy ra G 1;  2 . Vậy G là điểm biểu diễn số phức z  1  2i . Bài 4. Trong mặt phẳng phức, ba điểm A, B và C lần lượt là điểm biểu diễn của 3 số phức z1  1  5i , z2  3  i , z3  6 . Nhận dạng tam giác ABC ? Hướng dẫn giải: 5 Có A 1;5 , B  3; 1 và C  6;0  nên tam giác ABC vuông tại B nhưng không cân. Bài 5. Cho ba điểm A, B, M thứ tự là các điểm biểu diễn các số phức 2; 2i; m  5i với m là số thực Với giá trị nào của m thì A, B, M thẳng hàng? Hướng dẫn giải: A(2;0) , B(0; 2) , M(m; 5)   Ta có AB  (2; 2) , AM   m  2; 5    m  2 5 A, B, M thẳng hàng  AM , AB cùng phương    m  7 2 2 Bài 6. Gọi A, B, C, D thứ tự là các điểm biểu diễn các số phức z1  1  i ; z2  1  i ; z3  2i ; z4  2  2i . Chứng minh rằng tứ giác ABCD nội tiếp được trong một đường tròn đường kính CD . Hướng dẫn giải Ta có z1  1  i  A  1;1 ; z2  1  i  B  1; 1 . z3  2i  C  0;2 ; z4  2  2i  D  2; 2     Ta có AC  1;1 ; AD   3; 3  AC . AD  0  AC vuông góc AD     Ta có BC  1;3 ; BD   3; 1  BC .BD  0  BC vuông góc BD Từ đó suy ra tứ giác ABCD nội tiếp được trong một đường tròn đường kính CD . Bài tập trắc nghiệm: Bài 1. Điểm M biểu diễn số phức z  3  2i trong mặt phẳng tọa độ phức là: A. M (3; 2) . B. M (2;3) . C. M (3; 2) . D. M ( 3; 2) . Bài 2. Cho số phức z  2i 1 . Điểm biểu diễn số phức liên hợp của z trong mặt phẳng phức là: A. M ( 1; 2) . B. M ( 1; 2) . C. M ( 2;1) . D. M (2; 1) . Bài 3. Gọi A là điểm biểu diễn của số phức z  3  2i và B là điểm biểu diễn của số phức z '  2  3i . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng? A. Hai điểm A và B đối xứng nhau qua trục tung. B. Hai điểm A và B đối xứng nhau qua gốc tọa độ O. C. Hai điểm A và B đối xứng nhau qua đường thẳng y  x . D. Hai điểm A và B đối xứng nhau qua trục hoành. Bài 4. Gọi A là điểm biểu diễn số phức z , B là điểm biểu diễn số phức  z . Trong các khẳng định sau khẳng định nào sai ? A. A và B đối xứng nhau qua trục hoành. B. A và B trùng gốc tọa độ khi z  0 . C. A và B đối xứng qua gốc tọa độ. D. Đường thẳng AB đi qua gốc tọa độ. Bài 5. Gọi M và N lần lượt là các điểm biểu diễn cho số phức z và z . Khẳng định nào sau đây đúng? A. M và N đối xứng nhau qua gốc tọa độ O . B. M và N đối xứng nhau qua trục tung. C. M và N đối xứng nhau qua trục hoành. D. M và N đối xứng nhau qua đường thẳng y  x . Bài 6. Cho số phức z  5  4i . Tìm tọa độ điểm biểu diễn số phức liên hợp của z . A.  5; 4  . Bài 7. B.  5; 4  . C.  5; 4  . D.  5;4  . Điểm M  1;3 là điểm biểu diễn của số phức nào trong các số sau đây? 6 A. z  1  3i . Bài 8. B. z  1  3i . C. z  2i . Gọi M, N, P thứ tự là các điểm biểu diễn các số phức D. z  2 . z1  1  2i ; z2  3  4i z3  2  i ; ; Số phức z có điểm biểu diễn Q sao cho MNPQ là hình bình hành là: A. z  6  3i . B. z  3  6i . C. z  6  3i . D. z  6  3i . Bài 9. Trong mặt phẳng Oxy , gọi A, B, C lần lượt là các điểm biểu diễn các số phức z1  3i , z2  2  2i , z3  5  i . Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Hỏi G là điểm biểu diễn số phức nào trong các số phức sau: A. z  1  2i . B. z  2  i . C. z  1  i . D. z  1  2i . Bài 10. Trong mặt phẳng phức, ba điểm A, B và C lần lượt là điểm biểu diễn của 3 số phức z1  1  5i , z2  3  i , z3  6 . Tam giác ABC là A. Tam giác vuông nhưng không cân. B. Tam giác vuông cân. C. Tam giác cân nhưng không đều. D. Tam giác đều. Bài 11. Trong mặt phẳng Oxy cho điểm A là điểm biểu diễn số phức z=1+2i, B là điểm thuộc đường thẳng y=2 sao cho tam giác OAB cân tại O. Điểm B là điểm biểu diễn của số phức A. -1+2i. B. 2-i. C. 1-2i. D. 3+2i. Bài 12. Trong mặt phẳng phức, cho A, B, C, D lần lượt là điểm biểu diễn của các số phức z1  2  i , z2  1  4i , z3  5 , z4 . Tìm số phức z4 để tứ giác ABCD nội tiếp được đường tròn là: A. z4  2  2i. B. z4  4  2i. C. z4  4  i. D. z4  3  3i. 7