Hình cầu. Diện tích mặt cầu và thể tích hình cầu.

Mục lục

* * * * *

Bài 30 (SGK trang 124)

Nếu thể tích của một hình cầu là $113\dfrac{1}{7}cm^3$ thì trong các kết quả sau đây, kết quả nào là bán kính của nó (lấy $\pi\approx\dfrac{22}{7}$ )?

(A) 2 cm; (B) 3 cm; (C) = 5 cm; (D) 6 cm.

Hãy chọn kết quả đúng.

Hướng dẫn giải

Bài 30 Nếu thể tích của một hình cầu là $113\frac{1}{7}$ thì trong các kết quả sau đây, kết quả nào là bán kính của nó(lấy π= 22/7)?

(A) 2 cm (B) 3 cm (C) 5 cm (D) 6 cm ;

(E) Một kết quả khác.

Giải:

Từ công thức: V = $\frac{4}{3}$ πR^{3 =>}

Thay $113\frac{1}{7}$ và π= 22/7 vào ta được

R³= 27

Suy ra: R = 3

Vậy chọn B) 3cm

Bài 31 (SGK trang 124)

Hãy điền vào các ô trống ở bảng sau:

Bán kính hình cầu	0,3 mm	6,21 dm	0,283 m	100 km	6 hm	50 dam
Diện tích mặt cầu
Thể tích hình cầu

Hướng dẫn giải

Giải

ÁP dụng công thức tính diện tích mặt cầu: S= 4πR²

và công thức tính thể tích mặt cầu: V = $\frac{4}{3}$ πR³

Thay bán kính mặt cầu vào ta tính được bảng sau:

Một khối gỗ dạng hình trụ, bán kính đường tròn đáy là r, chiều cao 2r (đơn vị :cm). Người ta khoét rộng hai nửa hình cầu như hình 108. Hãy tính diện tích bề mặt của khối gỗ còn lại (diện tích cả ngoài lẫn trong).

Hướng dẫn giải

Giải:

Diện tích phần cần tính gồm diện tích xung quanh hình trụ bán kính đường tròn đáy là r (cm), chiều cao là 2r (cm) và một mặt cầu bán kính r(cm).

Diện tích xung quanh của hình trụ:

$S_{xq} = 2 \pi r h = 2 \pi r. 2 r= 4 \pi r^2$

Diện tích mặt cầu:

$S= 4 \pi r^2$

Diện tích cần tính là: $4 \pi r^2$ + $4 \pi r^2$ = $8 \pi r^2$

Bài 33 (SGK trang 125)

Dụng cụ thể thao:

Các loại bóng cho trong bảng đều có dạng hình cầu. Hãy điền vào các ô trống ở bảng sau (làm tròn kết quả đền chữ số thập phân thứ hai):

Loại bóng	Quả bóng gôn	Quả khúc côn cầu	Quả ten-nít	Quả bóng bàn	Quả bi-a
Đường kính	42,7 mm		6,5 cm	40 mm	61 mm
Độ dài đường tròn lớn		23 cm
Diện tích
Thể tích

Hướng dẫn giải

Giải:

Dòng thứ nhất: Từ C = π.d => d = $\frac{C}{\pi}$ = $\frac{23}{\frac{22}{7}}$ = 7,32

Dòng thứ hai: Áp dụng công thức C = π.d, thay số vào ta được

d = 42,7 mm => C = $\frac{22}{7}$ .42,7 = 134,08 mm

d = 6,6 cm => C = $\frac{22}{7}$ .6,6 = 20,41 cm

d = 40 mm => C = $\frac{22}{7}$ . 40 = 125,6 mm

d = 61 mm => C = $\frac{22}{7}$ . 61 = 191,71 mm

Dòng thứ ba: ÁP dụng công thức S = S = πd², thay số vào ta được:

d = 42,7 mm => S= $\frac{22}{7}$ .42,7² = 5730,34 (mm²) ≈ 57,25 (cm²)

d = 6,5 cm => S= $\frac{22}{7}$ .6,5² = 132,65 (cm²)

d = 40 mm => S= $\frac{22}{7}$ .40² = 5024 (mm²)

d = 61 mm => S= $\frac{22}{7}$ .61² = 11683,94 (mm²)

Dòng thứ 4: áp dụng công thức V = $\frac{4}{3}$ πR³, thay số vào ta được các kết quả ghi vào bảng dưới đây:

Bài 34 (SGK trang 125)

Khinh khí cầu của nhà Mông-gôn-fi-ê.

Ngày 4 - 6 - 1783, anh em nhà Mông-gôn-fi-ê (người Pháp) phát minh ra khinh khí cầu dùng không khí nóng. Coi khinh khí cầu này là một quả cầu có đường kính 11m. Hãy tính diện tích mặt khinh khí cầu đó, (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai).

Hướng dẫn giải

Giải:

Diện tích của khinh khí cầu:

πd²= 3,14. 11. 11 = 379,94 (m²)

Bài 35 (SGK trang 126)

Một cái bồn chứa xăng gồm hai nửa hình cầu và một hình trụ (h 110).

Hãy tính thể tích của bồn chứa theo các kích thước cho trên hình vẽ.

Hướng dẫn giải

Giải:

Thể tích cần tính gồm một hình trụ và một hình cầu.

- Bán kính đáy của hình trụ là 0,9m, chiều cao là 3,62m.

- Bán kính của hình cầu là 0,9 m

Thể tích của hình trụ là :

Vtrụ = πr²h = 3,14 (0,9)².3,62= 9,215 (m³)

Thể tích của hình cầu là:

Vcầu= $\frac{4}{3}$ πR³= $\frac{4}{3}$ 3,14(0,9)³ = 3,055 (m³)

Thể tích của bồn chứa xăng:

V= V trụ + V cầu = 9,215 + 3,055 = 12,27 (m³)

Bài 36 (SGK trang 126)

Một chi tiết máy gồm một hình trụ và hai nửa hình cầu với các kích thước đã cho trên hình 111 (đơn vị cm).

a) Tìm một hệ thức giữa x và h khi AA' có độ dài không đổi và bằng 2a.

b) Với điều kiện ở a), hãy tính diện tích bề mặt và thể tích của chi tiết máy theo x và a.

Hướng dẫn giải

Giải:

a) Ta có h + 2x = 2a

b) - Diện tích cần tính gồm diện tích xung quanh của hình trụ có bán kính đáy là x, chiều cao là h và diện tích mặt cầu có bán kính là x.

- Diện tích xung quanh của hình trụ: Strụ = 2πxh

- Diện tích mặt cầu: Sc= 4πx²

Nên diện tích bề mặt của chi tiết máy là:

S = Strụ + Sc = 2πxh + 4πx²= 2πx(h+2x) = 4πax

Thể tích cần tình gồm thể tích hình trù và thể tích hình cầu. Ta có:

Vtrụ = πx²h

Vcầu = V = $\frac{4}{3}$ πx³

Nên thể tích của chi tiết máy là:

V = Vtrụ + Vcầu = πx²h + $\frac{4}{3}$ πx³

= 2πx²a - (2/3)πx³

Bài 37 (SGK trang 126)

Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB = 2R, Ax và By là hai tiếp tuyến vởi nửa đường tròn tại A và B. Lấy trên tia Ax điểm M rồi vẽ tiếp tuyến MP cắt By tại N.

a) Chứng minh rằng MON và APB là hai tam giác vuông đồng dạng.

b) Chứng minh $AM.BN=R^2.$

c) Tính tỉ số $\dfrac{S_{MON}}{S_{APB}}$ khi $AM=\dfrac{R}{2}.$

d) Tính thể tích của hình do nửa hình tròn APB quay quanh AB sinh ra.