Bài 4: Ôn tập chương nguyên hàm, tích phân và ứng dụng

Lý thuyết

Mục lục

* * * * *

Bài 7 (SGK trang 126)

Xét hình phẳng D giới hạn bởi $y=2\sqrt{1-x^2}$ và $y=2\left(1-x\right)$

a) Tính diện tích hình D

b) Quay hình D xung quanh trục Ox. Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành

Hướng dẫn giải

Ta có:

$\begin{aligned} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos 2 x s i n^{2} x d x = \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos 2 x (1 - \cos 2 x) d x \\ = \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{2}} [\cos 2 x - \frac{1 + \cos 4 x}{2}] d x = \frac{1}{4} \int_{0}^{\frac{π}{2}} (2 \cos 2 x - \cos 4 x - 1) d x \\ = \frac{1}{4} {[\sin 2 x - \frac{\sin 4 x}{4} - x]}_{0}^{\frac{π}{2}} = - \frac{1}{4} . \frac{π}{2} = \frac{- π}{8} \end{aligned}$

Ta có: Xét 2^x – 2^-x ≥ 0 ⇔ x ≥ 0.

Ta tách thành tổng của hai tích phân:

$\begin{aligned} \int_{- 1}^{1} | 2^{x} - 2^{- x} | d x = - \int_{- 1}^{0} (2^{x} - 2^{- x}) d x + \int_{0}^{1} (2^{x} - 2^{- x}) d x \\ = - (\frac{2^{x}}{\ln 2} + \frac{2^{- x}}{\ln 2}) |_{- 1}^{0} + (\frac{2^{x}}{\ln 2} + \frac{2^{- x}}{\ln 2}) |_{0}^{1} \\ = \frac{1}{\ln 2} \end{aligned}$

$\begin{aligned} \int_{1}^{2} \frac{(x + 1) (x + 2) (x + 3)}{x^{2}} d x = \int_{1}^{2} \frac{x^{3} + 6 x^{2} + 11 x + 6}{x^{2}} d x \\ = \int_{1}^{2} (x + 6 + \frac{11}{x} + \frac{6}{x^{2}}) d x = [\frac{x^{2}}{2} + 6 x + 11 \ln | x | - \frac{6}{x}] |_{1}^{2} \\ = (2 + 12 + 11 \ln 2 - 3) - (\frac{1}{2} + 6 - 6) = \frac{21}{2} + 11 \ln 2 \end{aligned}$

$\begin{aligned} \int_{0}^{2} \frac{1}{x^{2} - 2 x - 3} d x = \int_{0}^{2} \frac{1}{(x + 1) (x - 3)} d x = \frac{1}{4} \int_{0}^{2} (\frac{1}{x - 3} - \frac{1}{x + 1}) d x \\ = \frac{1}{4} [\ln | x - 3 | - \ln | x + 1 |] |_{0}^{2} = \frac{1}{4} [1 - \ln 2 - \ln 3] \\ = \frac{1}{4} (1 - \ln 6) \end{aligned}$

$\begin{aligned} \int_{0}^{\frac{π}{2}} {(s i n x + cosx)}^{2} d x = \int_{0}^{\frac{π}{2}} (1 + \sin 2 x) d x \\ = [x - \frac{\cos 2 x}{2}] |_{0}^{\frac{π}{2}} = \frac{π}{2} + 1 \end{aligned}$

$\begin{aligned} I = \int_{0}^{π} {(x + s i n x)}^{2} d x \int_{0}^{π} (x^{2} + 2 x \sin x + \sin^{2} x) d x \\ = [\frac{x^{3}}{3}] |_{0}^{π} + 2 \int_{0}^{π} x \sin x d x + \frac{1}{2} \int_{0}^{π} (1 - \cos 2 x) d x \end{aligned}$

Tính : $J = \int_{0}^{π} x \sin x d x$

Đặt u = x ⇒ u’ = 1 và v’ = sinx ⇒ v = -cos x

Suy ra:

$J = [- x cosx] |_{0}^{π} + \int_{0}^{π} cosxdx = π + [s i n x] |_{0}^{π} = π$

Do đó:

$\begin{aligned} I = \frac{π^{3}}{3} + 2 π + \frac{1}{2} [x - \frac{\sin 2 x}{2}] |_{0}^{\frac{π}{3}} \\ = \frac{π^{3}}{3} + 2 π + \frac{π}{2} = \frac{2 π^{3} + 15 π}{6} \end{aligned}$

Bài 5 (SGK trang 126)

Tính :

a) $\int\limits^3_0\dfrac{x}{\sqrt{1+x}}dx$

b) $\int\limits^{64}_1\dfrac{1+\sqrt{x}}{\sqrt[3]{x}}dx$

c) $\int\limits^2_0x^2e^{3x}dx$

d) $\int\limits^{\pi}_0\sqrt{1+\sin2x}dx$

Hướng dẫn giải

Giải bài 5 trang 127 sgk Giải tích 12 | Để học tốt Toán 12

Bài 6 (SGK trang 126)

Tính :

a) $\int\limits^{\dfrac{\pi}{2}}_0\cos2x.\sin^2dx$

b) $\int\limits^1_{-1}\left|2^x-2^{-x}\right|dx$

c) $\int\limits^2_1\dfrac{\left(x+1\right)\left(x+2\right)\left(x+3\right)}{x^2}dx$

d) $\int\limits^2_0\dfrac{1}{x^2-2x-3}dx$

e) $\int\limits^{\dfrac{\pi}{2}}_0\left(\sin x+\cos x\right)^2dx$

g) $\int\limits^{\pi}_0\left(x+\sin x\right)^2dx$

Hướng dẫn giải

Ta có:

Ta có: Xét 2x – 2-x ≥ 0 ⇔ x ≥ 0.

Ta tách thành tổng của hai tích phân:

$\begin{aligned} \int_{0}^{\frac{π}{2}} {(s i n x + cosx)}^{2} d x = \int_{0}^{\frac{π}{2}} (1 + \sin 2 x) d x \\ = [x - \frac{\cos 2 x}{2}] |_{0}^{\frac{π}{2}} = \frac{π}{2} + 1 \end{aligned}$

Tính : $J = \int_{0}^{π} x \sin x d x$

Đặt u = x ⇒ u’ = 1 và v’ = sinx ⇒ v = -cos x

Suy ra:

$J = [- x cosx] |_{0}^{π} + \int_{0}^{π} cosxdx = π + [s i n x] |_{0}^{π} = π$

Do đó:

$\begin{aligned} I = \frac{π^{3}}{3} + 2 π + \frac{1}{2} [x - \frac{\sin 2 x}{2}] |_{0}^{\frac{π}{3}} \\ = \frac{π^{3}}{3} + 2 π + \frac{π}{2} = \frac{2 π^{3} + 15 π}{6} \end{aligned}$

Bài 4 (SGK trang 126)

Tính :

a) $\int\left(2-x\right)\sin xdx$

b) $\int\dfrac{\left(x+1\right)^2}{\sqrt{x}}dx$

c) $\int\dfrac{3^{3x}+1}{e^x+1}dx$

d) $\int\dfrac{1}{\left(\sin x+\cos x\right)^2}dx$

e) $\int\dfrac{1}{\sqrt{1+x}+\sqrt{x}}dx$

g) $\int\dfrac{1}{\left(1+x\right)\left(2-x\right)}dx$

Hướng dẫn giải

Giải bài 4 trang 126 sgk Giải tích 12 | Để học tốt Toán 12

Bài 3 (SGK trang 126)

Tìm nguyên hàm của các hàm số sau :

a) $f\left(x\right)=\left(x-1\right)\left(1-2x\right)\left(1-3x\right)$

b) $f\left(x\right)=\sin4x\cos^22x$

c) $f\left(x\right)=\dfrac{1}{1-x^2}$

d) $f\left(x\right)=\left(e^x-1\right)^3$

Hướng dẫn giải

Giải bài 3 trang 126 sgk Giải tích 12 | Để học tốt Toán 12

Bài 1 (SGK trang 126)

a) Phát biểu định nghĩa nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)$ trên một khoảng

b) Nêu phương pháp tính nguyên hàm từng phần. Cho ví dụ minh họa

Hướng dẫn giải

Hỏi đáp Toán

Bài 2 (SGK trang 126)

a) Phát biểu định nghĩa tích phân của hàm số $f\left(x\right)$ trên một đoạn

b) Nêu các tính chất của tích phân. Cho ví dụ minh họa

Hướng dẫn giải

Lời giải:

Cho hàm số y= f(x) liên tục trên [a; b] , F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên [a; b]. Hiệu số F(b) – F(a) được gọi là tích phân từ a đến b của hàm số f(x), kí hiệu là ∫_a^bf(x)dx.

Ta có: ∫_a^bf(x)dx=F(x)_a^b=F(b)-F(a)

Ta gọi ∫_a^b là dấu tích phân, a là cận dưới, b là cận trên, f(x)dx biểu thức dưới dấu tích phân, f(x) là hàm số dưới dấu tích phân.

2.Các tính chất

1. ∫_a^af(x)dx=0

2. ∫_a^bf(x)dx=- ∫_b^af(x)dx

3. ∫_b^akf(x)dx=k. ∫_b^af(x)dx ( k là hằng số)

4. ∫_a^b[f(x)±g(x)]dx= ∫_a^bf(x)dx± ∫_a^bg(x)dx

5. ∫_a^bf(x)dx= ∫_a^cf(x)dx+ ∫_a^bf(x)dx(a<c<b)

Có thể bạn quan tâm