Bài 3: Ứng dụng của tích phân trong hình học
Bài 1 (SGK trang 121)
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường :
a) \(y=x^2;y=x+2\)
b) \(y=\left|\ln x\right|;y=1\)
c) \(y=\left(x-6\right)^2;y=6x-x^2\)
Hướng dẫn giải
Bài 4 (SGK trang 121)
Tính thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường sau quay quanh trục Ox :
a) \(y=1-x^2;y=0\)
b) \(y=\cos x;y=0;x=0;x=\pi\)
c) \(y=\tan x;y=0;x=0;x=\dfrac{\pi}{4}\)
Hướng dẫn giải
a) Phương trình hoành độ giao điểm
1 - x2 = 0 ⇔ x = ±1.
Thể tích cần tìm là :
b) Thể tích cần tìm là :
c) Thể tích cần tìm là :
.
Bài 2 (SGK trang 121)
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong \(y=x^2+1\), tiếp tuyến với đường này tại điểm \(M\left(2;5\right)\) và trục Oy ?
Hướng dẫn giải
Bài 5 (SGK trang 121)
Cho tam giác vuông OPM có cạnh OP nằm trên trục Ox. Đặt \(\widehat{POM}=\alpha;OM=R\left(0\le\alpha\le\dfrac{\pi}{3};R>0\right)\)
Gọi V là khối tròn xoay thu được khi quay tam giác đó xung quanh trục Ox (H.63)
a) Tính thể tích của V theo \(\alpha\) và R
b) Tìm \(\alpha\) sao cho thể tích của V lớn nhất
Hướng dẫn giải
a) Hoành độ điểm P là :
xp = OP = OM. cos α = R.cosα
Phương trình đường thẳng OM là y = tanα.x. Thể tích V của khối tròn xoay là:
b) Đặt t = cosα => t ∈ . (vì α ∈ ), α = arccos t.
Ta có :
V' = 0 ⇔
hoặc (loại).
Từ đó suy ra V(t) lớn nhất ⇔ , khi đó : .
Bài 3 (SGK trang 121)
Parabol \(y=\dfrac{x^2}{2}\) chia hình tròn có tâm tại gốc tọa độ, bán kính \(2\sqrt{2}\) thành hai phần. Tìm tỉ số diện tích của chúng ?