Bài 7 (SGK trang 126)

Gửi bởi: Sách Giáo Khoa Vào 26 tháng 12 2018 lúc 11:13:41

Câu hỏi

Xét hình phẳng D giới hạn bởi $y=2\sqrt{1-x^2}$ và $y=2\left(1-x\right)$

a) Tính diện tích hình D

b) Quay hình D xung quanh trục Ox. Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành

Hướng dẫn giải

Ta có:

$\begin{aligned} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos 2 x s i n^{2} x d x = \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos 2 x (1 - \cos 2 x) d x \\ = \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{2}} [\cos 2 x - \frac{1 + \cos 4 x}{2}] d x = \frac{1}{4} \int_{0}^{\frac{π}{2}} (2 \cos 2 x - \cos 4 x - 1) d x \\ = \frac{1}{4} {[\sin 2 x - \frac{\sin 4 x}{4} - x]}_{0}^{\frac{π}{2}} = - \frac{1}{4} . \frac{π}{2} = \frac{- π}{8} \end{aligned}$

Ta có: Xét 2^x – 2^-x ≥ 0 ⇔ x ≥ 0.

Ta tách thành tổng của hai tích phân:

$\begin{aligned} \int_{- 1}^{1} | 2^{x} - 2^{- x} | d x = - \int_{- 1}^{0} (2^{x} - 2^{- x}) d x + \int_{0}^{1} (2^{x} - 2^{- x}) d x \\ = - (\frac{2^{x}}{\ln 2} + \frac{2^{- x}}{\ln 2}) |_{- 1}^{0} + (\frac{2^{x}}{\ln 2} + \frac{2^{- x}}{\ln 2}) |_{0}^{1} \\ = \frac{1}{\ln 2} \end{aligned}$

$\begin{aligned} \int_{1}^{2} \frac{(x + 1) (x + 2) (x + 3)}{x^{2}} d x = \int_{1}^{2} \frac{x^{3} + 6 x^{2} + 11 x + 6}{x^{2}} d x \\ = \int_{1}^{2} (x + 6 + \frac{11}{x} + \frac{6}{x^{2}}) d x = [\frac{x^{2}}{2} + 6 x + 11 \ln | x | - \frac{6}{x}] |_{1}^{2} \\ = (2 + 12 + 11 \ln 2 - 3) - (\frac{1}{2} + 6 - 6) = \frac{21}{2} + 11 \ln 2 \end{aligned}$

$\begin{aligned} \int_{0}^{2} \frac{1}{x^{2} - 2 x - 3} d x = \int_{0}^{2} \frac{1}{(x + 1) (x - 3)} d x = \frac{1}{4} \int_{0}^{2} (\frac{1}{x - 3} - \frac{1}{x + 1}) d x \\ = \frac{1}{4} [\ln | x - 3 | - \ln | x + 1 |] |_{0}^{2} = \frac{1}{4} [1 - \ln 2 - \ln 3] \\ = \frac{1}{4} (1 - \ln 6) \end{aligned}$

$\begin{aligned} \int_{0}^{\frac{π}{2}} {(s i n x + cosx)}^{2} d x = \int_{0}^{\frac{π}{2}} (1 + \sin 2 x) d x \\ = [x - \frac{\cos 2 x}{2}] |_{0}^{\frac{π}{2}} = \frac{π}{2} + 1 \end{aligned}$

$\begin{aligned} I = \int_{0}^{π} {(x + s i n x)}^{2} d x \int_{0}^{π} (x^{2} + 2 x \sin x + \sin^{2} x) d x \\ = [\frac{x^{3}}{3}] |_{0}^{π} + 2 \int_{0}^{π} x \sin x d x + \frac{1}{2} \int_{0}^{π} (1 - \cos 2 x) d x \end{aligned}$

Tính : $J = \int_{0}^{π} x \sin x d x$

Đặt u = x ⇒ u’ = 1 và v’ = sinx ⇒ v = -cos x

Suy ra:

$J = [- x cosx] |_{0}^{π} + \int_{0}^{π} cosxdx = π + [s i n x] |_{0}^{π} = π$

Do đó:

$\begin{aligned} I = \frac{π^{3}}{3} + 2 π + \frac{1}{2} [x - \frac{\sin 2 x}{2}] |_{0}^{\frac{π}{3}} \\ = \frac{π^{3}}{3} + 2 π + \frac{π}{2} = \frac{2 π^{3} + 15 π}{6} \end{aligned}$

Update: 26 tháng 12 2018 lúc 14:56:56

Các câu hỏi cùng bài học

Có thể bạn quan tâm

Hỏi đáp

MÔN HỌC

Bài 7 (SGK trang 126)

Câu hỏi

Hướng dẫn giải

Các câu hỏi cùng bài học

Có thể bạn quan tâm