Bài 3: Hàm số liên tục

Lý thuyết

• Bài 1 (SGK trang 140)
• Bài 2 (SGK trang 141)
• Bài 3 (SGK trang 141)
• Bài 4 (SGK trang 141)
• Bài 5 (SGK trang 141)
• Bài 6 (SGK trang 141)

Bài 1 (SGK trang 140)

Dùng định nghĩa xét tính liên tục của hàm số \(f\left(x\right)=x^3+2x-1\) tại \(x_o=3\) ?

Hướng dẫn giải

Hàm số f(x) = x³ + 2x - 1 xác định trên R và x₀ = 3 ∈ R.

f(x) = (x³ + 2x - 1) = 3³ + 2.3 - 1 = f(3)
nên hàm số đã cho liên tục tại điểm x₀ = 3.

Bài 2 (SGK trang 141)

a) Xét tính liên tục của hàm số \(y=g\left(x\right)\) tại \(x_0=2\) biết :

              \(g\left(x\right)=\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{x^3-8}{x-2};\left(x\ne2\right)\\5;\left(x=2\right)\end{matrix}\right.\)

b) Trong biểu thức xác định \(g\left(x\right)\) ở trên, cần thay số 5 bởi số nào để hàm số liên tục tại \(x_0=2\)

Hướng dẫn giải

a) Ta có = 22 +2.2 +4 = 12.

Vì nên hàm số y = g(x) gián đoạn tại x0 = 2.

b) Để hàm số y = f(x) liên tục tại x0 = 2 thì ta cần thay số 5 bởi số 12

Bài 3 (SGK trang 141)

Cho hàm số \(f\left(x\right)=\left\{{}\begin{matrix}3x+2;\left(x< -1\right)\\x^2-1;\left(x\ge-1\right)\end{matrix}\right.\)

a) Vẽ đồ thị hàm số \(y=f\left(x\right)\). Từ đó nêu nhận xét về tính liên tục của hàm số trên tập xác định của nó ?

b) Khẳng định nhận xét trên bằng một chứng minh ?

Hướng dẫn giải

a) Các bạn tự vẽ hình nhé . Đồ thị hàm số y = f(x) là một đường không liền nét mà bị đứt quãng tại x0 = -1. Vậy hàm số đã cho liên tục trên khoảng (-∞; -1) và (- 1; +∞).

b) +) Nếu x < -1: f(x) = 3x + 2 liên tục trên (-∞; -1) (vì đây là hàm đa thức).

+) Nếu x> -1: f(x) = x2 – 1 liên tục trên (-1; +∞) (vì đây là hàm đa thức).

+) Tại x = -1;

Ta có == 3(-1) +2 = -1.

= (-1)2 – 1 = 0.

Vì nên không tồn tại . Vậy hàm số gián đoạn tại
x0 = -1.

Bài 4 (SGK trang 141)

Cho hàm số \(f\left(x\right)=\dfrac{x+1}{x^2+x-6}\) và \(g\left(x\right)=\tan x+\sin x\)

Với mỗi hàm số, hãy xác định các khoảng trên đó hàm số liên tục ?

Hướng dẫn giải

+) Hàm số xác định khi và chỉ khi x2+ x – 6 ≠ 0 <=> x ≠ -3 và x ≠ 2.

Hàm số f(x) liên tục trên các khoảng (-∞; -3), (-3; 2) và (2; +∞)

+) Hàm số g(x) = tanx + sinx xác định khi và chỉ khi

tanx ≠ 0 <=> x ≠ π/2 +kπ với k ∈ Z.

Hàm số g(x) liên tục trên các khoảng ( – π/2+kπ; π/2 +kπ) với k ∈ Z.

Bài 5 (SGK trang 141)

Ý kiến sau đúng hay sai ?

"Nếu hàm số \(y=f\left(x\right)\) liên tục tại điểm \(x_0\) còn hàm số \(y=g\left(x\right)\) không liên tục tại \(x_0\), thì \(y=f\left(x\right)+g\left(x\right)\) là một hàm số không liên tục tại \(x_0\)"

Hướng dẫn giải

Ý kiến đúng

Giả sử ngược lại y = f(x) + g(x) liên tục tại x0. Đặt h(x) = f(x) + g(x). Ta có g(x) = h(x) – f(x).

Vì y = h(x) và y = f(x) liên tục tại x0 nên hiệu của chúng là hàm số y = g(x) phải liên tục tại x0. Điều này trái với giả thiết là y = g(x) không liên tục tại x0.

Bài 6 (SGK trang 141)

Chứng minh rằng phương trình :

a) \(2x^2-6x+1=0\) có ít nhất hai nghiệm

b) \(\cos x=x\) có nghiệm

Hướng dẫn giải

a) Hàm số f(x) = 2x3 + 6x + 1 là hàm đa thức nên liên tục trên R.

Mặt khác vì f(0).f(1) = 1.(-3) < 0 nên phương trình có nghiệm trong khoảng (1; 2).

Vậy phương trình f(x) = 0 có ít nhất hai nghiệm.

b) Hàm số g(x) = cosx – x xác định trên R nên liên tục trên R.

Mặt khác, ta có g(0).g(π/2) = 1. (-π/2) < 0 nên phương trình đã cho có nghiệm trong khoảng (0; π/2).