Bài 2: Phép tịnh tiến

Lý thuyết

Câu hỏi 1 trang 5 SGK Hình học 11

Cho hai tam giác đều ABE và BCD bằng nhau trên hình 1.5. Tìm phép tịnh tiến biến ba điểm A, B, E theo thứ tự thành ba điểm B, C, D.

Hướng dẫn giải

Phép tịnh tiến biến ba điểm A, B, E theo thứ tự thành ba điểm B, C, D là phép tịnh tiến theo v→như hình vẽ trên

Câu hỏi 2 trang 7 SGK Hình học 11

Nêu cách xác định ảnh của đường thẳng d qua phép tịnh tiến theo vecto v.

Hướng dẫn giải

Lấy 2 điểm A và B thuộc đường thẳng d

Lần lượt thực hiện phép tịnh tiến A, B theo vecto v→ ta được 3 điểm A’và B’

Đường thẳng đi qua 2 điểm A’ và B’là đường thẳng d’ hay d’là ảnh của đường thẳng d

Câu hỏi 3 trang 7 SGK Hình học 11

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho vecto \(\overrightarrow v  = (1;\,2)\). Tìm tọa độ của điểm M’ là ảnh của điểm M(3; -1) qua phép tịnh tiến \(T\overrightarrow v \)

Hướng dẫn giải

Ta có M(x',y') là ảnh của M qua phép tịnh tiến theo vecto v

\(\eqalign{
& \Rightarrow \left\{ \matrix{
x' = 3 + 1 = 4 \hfill \cr 
y' = - 1 + 2 = 1 \hfill \cr} \right. \cr 
& \Rightarrow M(4;1) \cr} \)

Bài 1 trang 7 SGK Hình học 11

Chứng minh rằng: \(M'\) = \(T_{\vec{v}}\)(M) \(⇔ M =  T_{\vec{-v}}(M')\)

Hướng dẫn giải

\(M'\) = \(T_{\vec{v}}\)\( (M)\) ⇔ \(\overrightarrow{MM'}\) = \(\overrightarrow{v}\) 

⇔\(\overrightarrow{M'M}\) =\(\vec{-v} ⇔ M = T_{\vec{-v}} (M')\)

Bài 2 trang 7 SGK Hình học 11

Cho tam giác ABC có G là trọng tâm. Xác định ảnh của tam giác ABC qua phép tịnh tiến theo vectơ \(\overrightarrow{AG}\). Xác định điểm D sao cho phép tịnh tiến theo vectơ \(\overrightarrow{AG}\) biến D thành A.

Hướng dẫn giải

- Dựng hình bình hành ABB'G và ACC'G. Khi đó ta có \(\overrightarrow{AG}\) = \(\overrightarrow{BB'}\) = \(\overrightarrow{CC'}\).

Suy ra \(T_{\vec{AG}} (A) = G\), \(T_{\vec{AG}} (B) = B'\), \(T_{\vec{AG}} (C)= C'\).

Do đó ảnh của tam giác ABC qua phép tịnh tiến theo vectơ \(\overrightarrow{AG}\) là tam giác GB'C'.

- Trên tia GA lấy điểm D sao cho A là trung điểm của GD. Khi đó ta có \(\overrightarrow{DA}\) = \(\overrightarrow{AG}\). Do đó, \(T_{\vec{AG}} (D) = A\)

Bài 3 trang 7 SGK Hình học 11

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho vectơ \(v = ( -1;2)\), hai điểm \(A(3;5)\), \(B( -1; 1)\) và đường thẳng d có phương trình \(x-2y+3=0\).

a) Tìm tọa độ của các điểm A', B' theo thứ tự là ảnh của A, B qua phép tịnh tiến theo \(\overrightarrow{v}\)

b) Tìm tọa độ của điểm C sao cho A là ảnh của C qua phép tịnh tiến theo \(\overrightarrow{v}\)

c) Tìm phương trình của đường thẳng d' là ảnh của d qua phép tịnh tiến theo \(\overrightarrow{v}\)

Hướng dẫn giải

a) Giả sử \(A'=(x'; y')\). Khi đó

\(T_{\vec{v}} (A) = A'\) ⇔ \(\left\{\begin{matrix} {x}'= 3 - 1 = 2\\ {y}'= 5 + 2 = 7 \end{matrix}\right.\)  \(\Rightarrow A' = (2;7)\)

Tương tự ta tìm được \(B' =(-2;3)\)

b) Ta có \(A = T_{\vec{v}} (C)\) ⇔ \(C= T_{\vec{-v}} (A) \) (với \( - \overrightarrow v  = \left( {1; - 2} \right)\))

\( \Rightarrow \left\{ \matrix{x' = 3 + 1 = 4 \hfill \cr y' = 5 - 2 = 3 \hfill \cr} \right. \Rightarrow C\left( {4;3} \right)\)

c) Cách 1. Dùng biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến

Gọi \(M(x;y)\), \(M' = T_{\vec{v}} =(x'; y')\). Khi đó 

\( \Rightarrow \left\{ \matrix{x' = x - 1 \hfill \cr y' = y + 2 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{x = x' + 1 \hfill \cr y = y' - 2 \hfill \cr} \right.\)

Ta có \(M ∈ d ⇔ x-2y +3 = 0\)\( ⇔ (x'+1) - 2(y'-2)+3=0 ⇔ x' -2y' +8=0 \)

\(⇔ M' ∈ d'\) có phương trình \(x-2y+8=0\).

Vậy \(T_{\vec{v}}(d) = d':\,\, x-2y+8=0\)

Cách 2. Dùng tính chất của phép tịnh tiến

Gọi \(T_{\vec{v}}(d) =d'\).

Khi đó \(d'\) song song hoặc trùng với \(d\) nên phương trình của nó có dạng \(x-2y+C=0\) \(\left( {C \ne 3} \right)\).

Lấy một điểm thuộc \(d\) chẳng hạn \(B(-1;1)\), khi đó gọi \(B' = {T_{\overrightarrow v }}\left( B \right) \Rightarrow \left\{ \matrix{x' = - 1 - 1 = - 2 \hfill \cr y' = 1 + 2 = 3 \hfill \cr} \right. \) \(\Rightarrow B'\left( { - 2;3} \right) \in d'\)

\( \Rightarrow  - 2 - 2.3 + C = 0 \Leftrightarrow C = 8\)

Vậy phương trình đường thẳng \(\left( {d'} \right):\,\,x - 2y + 8 = 0\).

Bài 4 trang 8 SGK Hình học 11

Cho hai đường thẳng \(a\) và \(b\) song song với nhau. Hãy chỉ ra một phép tịnh tiến biến \(a\) thành \(b\). Có bao nhiêu phép tịnh tiến như thế?

Hướng dẫn giải

Giả sử \(a\) và \(b\) có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow{v}\).

Lấy điểm \(A\) bất kì thuộc \(a\) và điểm \(B\) bất kì thuộc \(b\). Với mỗi điểm \(M\), gọi \(M'\) = \(T_{\vec{AB}}\) \((M)\). Khi đó \(\overrightarrow{MM'}\)= \(\overrightarrow{AB}\). Suy ra \(\overrightarrow{AM}\) = \(\overrightarrow{BM'}\)

Ta có:

\(M ∈ a ⇔\) \(\overrightarrow{AM}\) cùng phương với \(\overrightarrow{v}\) ⇔ \(\overrightarrow{BM'}\)  cùng phương với \(\overrightarrow{v}\) \(⇔ M' ∈  b\).

Từ đó suy ra phép tịnh tiến theo \(\overrightarrow{AB}\) biến \(a\) thành \(b\).

Vì \(A,B\) là các điểm bất kì  ( trên \(a\) và \(b\) tương ứng) nên có vô số phép tịnh tiến biến \(a\) thành \(b\).