§1. Đại cương về phương trình

Lý thuyết

Bài 1 (SGK trang 57)

Cho hai phương trình :

                                \(3x=2\) và \(2x=3\)

Cộng các vế tương ứng của hai phương trình đã cho. Hỏi :

a. Phương trình nhận được có tương đương với một trong hai phương trình đã cho hay không ?

b. Phương trình đó có phải là phương trình hệ quả của một trong hai phương trình đã cho hay không ?

Hướng dẫn giải

a) 3x = 2 ⇔ x = ;

2x =3 ⇔ x = .

Cộng các vế tương ứng của hai phương trình ta được 5x =5 ⇔ x = 1

Tập nghiệm của phương trình mới nhận sau phép cộng khác với các tập nghiệm của phương trình đã cho ban đầu. Vậy phương trình có được do cộng các vế tương ứng của hai phương trình đã cho không tương đương với phương trình nào.

b) Phương trình này cũng không phải là phương trình hệ quả của một trong hai phương trình. Bởi vì nghiệm của một trong hai phương trình đã cho không là nghiệm của phương trình mới.

Bài 2 (SGK trang 57)

Cho hai phương trình :

                             \(4x=5\) và \(3x=4\)

Nhân các vế tương ứng của hai phương trình đã cho. Hỏi :

a. Phương trình nhận được có tương đương với một trong hai phương trình đã cho hay không ?

b. Phương trình đó có phải là phương trình hệ quả của một trong hai phương trình đã cho hay không ?

Hướng dẫn giải

a) Nhân các vế tương ứng của hai phương trình ta được

12x² = 20 ⇔ x² = = ⇔ x= ±.

Phương tình này không tương đương với phương trình nào trong các phương trình đã cho.

Vì 4x = 5 ⇔ x = ≠ ±

Trong khi 3x = 4 ⇔ x = ≠ ±

b) Phương trình mới cũng không là phương trình hệ quả của một phương trình nào đã cho.

 

Bài 3 (SGK trang 57)

Giải các phương trình :

a. \(\sqrt{3-x}+x=\sqrt{3-x}+1\)

b. \(x+\sqrt{x-2}=\sqrt{2-x}+2\)

c. \(\dfrac{x^2}{\sqrt{x-1}}=\dfrac{9}{\sqrt{x-1}}\)

d. \(x^2-\sqrt{1-x}=\sqrt{x-2}+3\)

Hướng dẫn giải

a) ĐKXĐ: x ≤ 3.

+x = + 1 ⇔ x = 1. Tập nghiệm S = {1}.

b) ĐKXĐ: x = 2.

Giá trị x = 2 nghiệm đúng phương trình. Tập nghiệm S = {2}.

c) ĐKXĐ: x > 1.

⇔ = 0

=> x = 3 (nhận vì thỏa mãn ĐKXĐ)

x = -3 (loại vì không thỏa mãn ĐKXĐ).

Tập nghiệm S = {3}.

d) xác định với x ≤ 1, xác định với x ≥ 2.

Không có giá trị nào của x nghiệm đúng phương trình.

Do đó phương trình vô nghiệm.

Bài 4 (SGK trang 57)

Giải các phương trình :

a. \(x+1+\dfrac{2}{x+3}=\dfrac{x+5}{x+3}\)

b. \(2x+\dfrac{3}{x-1}=\dfrac{3x}{x-1}\)

c. \(\dfrac{x^2-4x-2}{\sqrt{x-2}}=\sqrt{x-2}\)

d. \(\dfrac{2x^2-x-3}{\sqrt{2x-3}}=\sqrt{2x-3}\)

Hướng dẫn giải

a) \(x+1+\dfrac{2}{x+3}=\dfrac{x+5}{x+3}\)

\(\Leftrightarrow x+\dfrac{x+5}{x+3}=\dfrac{x+5}{x+3}\)

\(\Leftrightarrow x=0\)

b) \(2x+\dfrac{3}{x-1}=\dfrac{3x}{x-1}\)

\(\Leftrightarrow x+x+\dfrac{3}{x-1}=\dfrac{3x}{x-1}\)

\(\Leftrightarrow x+\dfrac{x\left(x-1\right)+3}{x-1}=\dfrac{3x}{x-1}\)

\(\Leftrightarrow x+\dfrac{x^2-x+3}{x-1}=\dfrac{3x}{x-1}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{x^2-x+3}{x-1}=\dfrac{3x}{x-1}-x\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{x^2-x+3}{x-1}=\dfrac{3x-x\left(x-1\right)}{x-1}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{x^2-x+3}{x-1}=\dfrac{3x-x^2+x}{x-1}\)

\(\Leftrightarrow x^2-x+3=3x-x^2+x\) ( điều kiện \(x\ne1\) )

\(\Leftrightarrow2x^2-5x+3=0\)

\(\Delta=b^2-4ac\)

\(\Delta=1\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{3}{2}\\x_2=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=1\left(loại\right)\end{matrix}\right.\)

Vậy \(x=\dfrac{3}{2}\)

c) \(\dfrac{x^2-4x-2}{\sqrt{x-2}}=\sqrt{x-2}\)

\(\Leftrightarrow x^2-4x-2=\sqrt{\left(x-2\right)^2}\) ( điều kiện \(x>2\) )

\(\Leftrightarrow x^2-4x-2=x-2\)

\(\Leftrightarrow x^2-5x=0\)

\(\Leftrightarrow x\left(x-5\right)=0\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\left(loại\right)\\x=5\end{matrix}\right.\)

Vậy \(x=5\)

d) \(\dfrac{2x^2-x-3}{\sqrt{2x-3}}=\sqrt{2x-3}\)

\(\Leftrightarrow2x^2-x-3=\sqrt{\left(2x-3\right)^2}\) ( điều kiện \(x>\dfrac{3}{2}\) )

\(\Leftrightarrow2x^2-x-3=2x-3\)

\(\Leftrightarrow2x^2-3x=0\)

\(\Leftrightarrow x\left(2x-3\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\2x-3=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\left(loại\right)\\x=\dfrac{3}{2}\left(loại\right)\end{matrix}\right.\)

Vậy phương trình vô nghiệm

Bài 1 (SBT trang 57)

Viết điều kiện của các phương trình sau :

a) \(\sqrt{2x+1}=\dfrac{1}{x}\)

b) \(\dfrac{x+2}{\sqrt{2x^2+1}}=3x^2+x+1\)

c) \(\dfrac{x}{\sqrt{x-1}}=\dfrac{2}{\sqrt{x+3}}\)

d) \(\dfrac{2x+3}{x^2-4}=\sqrt{x+1}\)

Hướng dẫn giải

a) đkxđ: \(\left\{{}\begin{matrix}2x+1\ge0\\x\ne0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\ge\dfrac{-1}{2}\\x\ne0\end{matrix}\right.\)
b) đkxđ: \(2x^2+1\ge0\) (luôn thỏa mãn \(\forall x\in R\) )
c) đkxđ: \(\left\{{}\begin{matrix}x-1>0\\x+3>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x>1\\x>-3\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow x>1\)
d) đkxđ: \(\left\{{}\begin{matrix}x^2-4\ne0\\x+1\ge0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\ne\pm2\\x\ge-1\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\ne2\\x\ge-1\end{matrix}\right.\)

Bài 2 (SBT trang 57)

Xác định tham số m để các cặp phương trình sau tương đương :

a) \(x+2=0\) và \(\dfrac{mx}{x+3}+3m-1=0\)

b) \(x^2-9=0\) và \(2x^2+\left(m-5\right)x-3\left(m+1\right)=0\)

Hướng dẫn giải

a) \(x+2=0\Leftrightarrow x=-2\)
Phương trình: \(\dfrac{mx}{x+3}=3m-1\) (*) có đkxđ: \(x\ne-3\)
Vì cặp phương trình tương đương nên phương trình (*) có nghiệm là x = -2:
\(\dfrac{2m}{2+3}+3m-1=0\) \(\Leftrightarrow\dfrac{2m}{5}+3m=1\)\(\Leftrightarrow m\left(\dfrac{2}{5}+3\right)=1\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{17}{5}m=1\) \(m=\dfrac{5}{17}\)
Vậy \(m=\dfrac{5}{17}\) thì hai phương trình tương đương.

Bài 3 (SBT trang 57)

Giải các phương trình :

a) \(\sqrt{x+1}+x=\sqrt{x+1}+2\)

b) \(x-\sqrt{3-x}=\sqrt{x-3}+3\)

c) \(x^2-\sqrt{2-x}=3+\sqrt{x-4}\)

d) \(x^2+\sqrt{-x-1}=4+\sqrt{-x-1}\)

Hướng dẫn giải

a) \(đkxđ:x\ge-1\)
\(\sqrt{x+1}+x=\sqrt{x+1}+2\Leftrightarrow x=2\left(tm\right)\).
b) đkxđ: \(\)\(\left\{{}\begin{matrix}3-x\ge0\\x-3\ge0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\le3\\x\ge3\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow x=3\)
Thay x = 3 vào phương trình ta có:
\(3-\sqrt{3-3}=\sqrt{3-3}+3\Leftrightarrow3=3\left(tm\right)\)
Vậy x = 3 là nghiệm của phương trình.

Bài 4 (SBT trang 57)

Giải các phương trình :

a) \(\dfrac{3x^2+1}{\sqrt{x-1}}=\dfrac{4}{\sqrt{x-1}}\)

b) \(\dfrac{x^2+3x+4}{\sqrt{x+4}}=\sqrt{x+4}\)

c) \(\dfrac{3x^2-x-2}{\sqrt{3x-2}}=\sqrt{3x-2}\)

d) \(2x+3+\dfrac{4}{x-1}=\dfrac{x^2+3}{x-1}\)

Hướng dẫn giải

a) \(\dfrac{3x^2+1}{\sqrt{x-1}}=\dfrac{4}{\sqrt{x-1}}\)

ĐKXĐ: \(x>1\)

\(3x^2+1=4\)

\(3x^2=3\)

\(x^2=1\)

\(x=\pm1\)

=> Pt vô nghiệm

 

Bài 5 (SBT trang 57)

Xác định m để mỗi cặp phương sau tương đương :

a) \(3x-2=0\) và \(\left(m+3\right)x-m+4=0\)

b) \(x+2=0\) và \(m\left(x^2+3x+2\right)+m^2x+2=0\)

Hướng dẫn giải

a) \(3x-2=0\Leftrightarrow x=\dfrac{2}{3}\)

Thay \(x=\dfrac{2}{3}\)

\(\left(m+3\right)\)\(\dfrac{2}{3}-m+4=0\)

\(\dfrac{2}{3}m+2-m+4=0\)

\(\dfrac{-1}{3}m+6=0\)

\(\dfrac{-1}{3}m=-6\)

\(m=18\)