Cộng đồng chia sẻ tri thức Lib24.vn

Ôn tập Hệ thức lượng trong tam giác vuông

Lý thuyết
Mục lục
* * * * *

Bài 83 (Sách bài tập trang 120)

Hãy tìm độ dài cạnh đáy của một tam giác cân, nếu đường cao kẻ xuống đáy có độ dài là 5 và đường cao kẻ xuống cạnh bên có độ dài là 6 ?

Hướng dẫn giải

Ôn tập Hệ thức lượng trong tam giác vuôngÔn tập Hệ thức lượng trong tam giác vuông

Bài 99 (Sách bài tập trang 122)

Gọi AM , BN, CL là ba đường cao của tam giác ABC. Chứng minh :

a) \(\Delta ANL\)   S  \(\Delta ABC\)

b) AN.BL.CM = AB.BC.CA.cos AcosBcosC

Hướng dẫn giải

Giải:

a) \(\Delta ALC\) vuông tại \(L\) ta có:

\(\cos A=\dfrac{AL}{AC}\left(1\right)\)

\(\Delta ANB\) vuông tại \(N\) ta có:

\(\cos A=\dfrac{AN}{AB}\left(2\right)\) Hay \(AN=AB.\cos A\left(3\right)\)

Từ \(\left(1\right)\)\(\left(2\right)\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{AL}{AC}=\dfrac{AN}{AB}\\\text{A: chung}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\Delta ANL\) đồng dạng với \(\Delta ABC\left(c-g-c\right)\) (Đpcm)

b) \(\Delta BLC\) vuông tại \(L\) ta có:

\(BL=BC.\cos B\left(4\right)\)

\(\Delta AMC\) vuông tại \(M\) ta có:

\(CM=AC.\cos C\left(5\right)\)

Từ \(\left(3\right);\left(4\right)\)\(\left(5\right)\) suy ra:

\(AN.BL.CM=AB.\cos A.BC.\cos B.CA.\cos C\)

Hay \(AN.BL.CM=AB.BC.CA.\cos A.\cos B.\cos C\) (Đpcm)

Bài 82 (Sách bài tập trang 120)

Trong một tam giác với các cạnh có độ dài 6, 7, 9, kẻ đường cao đến cạnh lớn nhất. Hãy tìm độ dài đường cao này và các đoạn thẳng mà nó định ra trên cạnh lớn nhất đó ?

Hướng dẫn giải

Bài 98 (Sách bài tập trang 122)

Cho tam giác ABC có AB = 6 cm, AC = 4,5 cm, BC = 7,5 cm

a) Chứng minh tam giác ABC vuông tại A. Tính các góc \(\widehat{B},\widehat{C}\) và đường cao AH của tam giác

b) Tìm tập hợp các điểm M sao cho \(S_{ABC}=S_{BMC}\)

Hướng dẫn giải

Bài I.5 - Bài tập bổ sung (Sách bài tập trang 123)

Cho tam giác ABC vuông tại C có \(\widehat{B}=37^0\). Gọi I là giao điểm của cạnh BC với đường trung trực của AB. Hãy tính AB, AC nếu biết BI = 20

Hướng dẫn giải

Hệ thức lượng trong tam giác vuông

Bài 96 (Sách bài tập trang 122)

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH chia cạnh huyền BC thành hai đoạn BH, CH có độ dài lần lượt là 4cm, 9cm. Gọi D và E lần lượt là hình chiếu của H trên AB và AC

a) Tính độ dài đoạn thẳng DE

b) Các đường thẳng vuông góc với DE tại D và tại E lần lượt cắt BC tại M và N. Chứng minh M là trung điểm của BH và N là trung điểm của CH

c) Tính diện tích tứ giác DENM

Hướng dẫn giải

search : https://hoc24.vn/hoi-dap/question/56467.html

Bài 95 (Sách bài tập trang 122)

Cho tam giác ABC có góc B bằng \(120^0\), BC = 12 cm, AB = 6cm. Đường phân giác của góc B cắt cạnh AC tại D

a) Tính độ dài đường phân giác BD

b) Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh \(AM\perp BD\)

Hướng dẫn giải

a) Từ A kẻ AE//BD cắt đường thẳng CB tại E
=> ^BAE=^DBA=^B/2=60* và ^ABE=60* (kề bù với ^B)
=> ∆ABE đều nên AB=BE=AE=6
Do BD//AE suy ra: BD/AE=CB/CE
mà CE=CB+BE=12+6=18cm
ta có BD/6=12/18 suy ra BD=12.6/18=4 (cm)

b) Xét ∆ABM có AB=BM =6cm (do BM=MC=BC/2)
nên ∆ABM cân tại B mà BD là đường phân giác nên cũng là đường cao
do đó BD vuông góc với AM.

Bài 92 (Sách bài tập trang 121)

Cho tam giác cân ABC, AB = AC = 10 cm, BC = 16. Trên đường cao AH lấy điểm I sao cho \(AI=\dfrac{1}{3}AH\). Vẽ tia Cx song song với AH, Cx cắt tai BI tại D

a) Tính các góc của tam giác ABC

b) Tính diện tích tứ giác ABCD

Hướng dẫn giải

Xét \(\Delta\)ABC cân tại A có :

AH là đường cao

\(\Rightarrow\)AH là đường trung tuyến

\(\Rightarrow\)H là trung điểm của BC

\(\Rightarrow\)BH = HC =\(\dfrac{BC}{2}\)\(\dfrac{16}{2}=8\)

Xét \(\Delta\)AHB vuông tại H có:

\(\cos\)B=\(\dfrac{BH}{AB}=\dfrac{8}{10}\)=0.8

\(\Rightarrow\Lambda B\approx37\)độ

Ta có : góc B = góc C (Tam giác ABC cân tại A)

Mà góc B\(\approx37\)độ

\(\Rightarrow\)góc C\(\approx\)37 độ

b, Xét \(\Delta\)ABC có :

góc BAC+gócACB+góc ABC=180

\(\Rightarrow\)góc BAC=106 độ

Xét \(\Delta\)AHB vuông tại H có :

\(AB^2=AH^2+HB^2\Rightarrow AH=6\)

Ta có \(AI=\dfrac{1}{3}AH\Rightarrow HI=\dfrac{2}{3}AH\)

\(\Rightarrow\)HI=4cm

Xét tam giác BDC có

\(HI\) song song CD

\(\Rightarrow\dfrac{HI}{CD}=\dfrac{BH}{CH}=\dfrac{8}{16}=\dfrac{1}{2}\)

\(CD=8cm\)

Xét tứ giác AHCD có :

AH song somg CD

\(\Rightarrow\)AHCD là hình thang

Diện tích hình thang AHCD là :

\(\dfrac{1}{2}\left(6+8\right)\times8=56cm^2\)

Diện tích AHB là :

\(\dfrac{1}{2}\times6\times8=24cm^2\)

Diện tích tứ giác ABCD là

\(56+24=80cm^2\)

Bài 86 (Sách bài tập trang 120)

Cho hình 32 :

Biết : 

\(AD\perp DC;\widehat{DAC}=74^0;\widehat{AXB}=123^0;AD=2,8cm,AX=5,5cm,BX=4,1cm\)

a) Tính AC

b) Gọi Y là điểm trên AX sao cho DY //BX. Hãy tính XY ?

c) Tính diện tích tam giác BCX

Hướng dẫn giải

Bài 88 (Sách bài tập trang 121)

Điểm hạ cánh của một máy bay trực thăng ở giữa hai người quan sát A và B. Biết khoảng cách giữa hai người này là 300m, góc "nâng" để nhìn thấy máy bay tại ví trí A là \(40^0\) và tại vị trí B là \(30^0\) (h.34). hãy tìm độ cao của máy bay ?

Hướng dẫn giải

Gọi C là vị trí của máy bay.

Kẻ CH⊥ABCH⊥AB

Trong tam giác vuông ACH, ta có:

AH=CH.cotgˆA(1)AH=CH.cot⁡gA^(1)

Trong tam giác vuông BCH, ta có:

BH=CH.cotgˆB(2)BH=CH.cot⁡gB^(2)

Từ (1) và (2) suy ra:

(AH+BH)=CH.cotgˆA+CH.cotgˆB(AH+BH)=CH.cot⁡gA^+CH.cot⁡gB^

Suy ra:

CH=ABcotgˆA+cotgˆB=ABcotg40∘+cotg30∘≈102,606(cm)



Bài 1 (Sách bài tập trang 102)

Hãy tính x và y trong các hình sau :

Hướng dẫn giải

a)Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác ta có:

72 = y(x+y)

52 = x(x+y)

=> (x+y)2=52+72=25+49=74

Do x,y là độ dài cạnh tam giác nên x>0 y>0

=>x+y=\(\sqrt{74}\)

=>x = \(25:\sqrt{74}=\dfrac{25\sqrt{74}}{74}\)

y = \(49:\sqrt{74}=\dfrac{49\sqrt{74}}{74}\)

b)Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác ta có:

y(x+y) = 142 = 196

x+y=16(giả thiết)

=> y = 196:16 = 12,25

=> x = 16-12,25=3,75

Bài 93 (Sách bài tập trang 121)

Cho tam giác ABC, biết AB = 21cm, AC = 28cm, BC = 35cm

a) Chứng minh tam giác ABC vuông

b) Tính sin B, sin C

 

Hướng dẫn giải

a,Ta có AB2+ AC2=212+282 = 1225

Lại có BC2 = 352 = 1225

=> AB2+AC2=BC2 ( Đinh lí py ta go đảo )

=> tam giác ABC là tam giác vuông

b,Ta có sin B = \(\dfrac{AC}{BC}=\dfrac{28}{35}=0,8\)

sin C = \(\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{21}{35}=0,6\)

Bài 90 (Sách bài tập trang 121)

Cho tam giác ABC vuông ở A, AB = 6cm, AC = 8cm

a) Tính \(BC,\widehat{B},\widehat{C}\)

b) Phân giác của góc A cắt BC tại D. Tính BD, CD

c) Từ D kẻ DE và DF lần lượt vuông góc với AB và AC. Tứ giác AEDF là hình gì ? Tính chu vi và diện tích của tứ giác AEDF

Hướng dẫn giải

Ôn tập Hệ thức lượng trong tam giác vuông

a/

Áp dụng định lí Pitago vào ∆ABC vuông tại A ta được

\(BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10\left(cm\right)\)

\(\sin B=\dfrac{AC}{BC}=\dfrac{8}{10}=\dfrac{4}{5}\Rightarrow\)B^\(\approx53^0\)

C^\(=90^0-53^0\approx37^0\)

b/

Vì AD là tia phân giác A^ nên \(\dfrac{DB}{DC}=\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{3}{4}\)

\(DB=BC-DC=10-DC\)

Suy ra \(\dfrac{10-DC}{DC}=\dfrac{4}{6}\Rightarrow60-6.DC=4.DC\)

\(\Leftrightarrow10.DC=60\Leftrightarrow DC=6\left(cm\right)\)

Suy ra \(DB=10-6=4\left(cm\right)\)

Bài I.2 - Bài tập bổ sung (Sách bài tập trang 123)

Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 2a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC, CD. Tính \(\cos\widehat{MAN}\) ?

Hướng dẫn giải

Ôn tập Hệ thức lượng trong tam giác vuông

Bài I.4 - Bài tập bổ sung (Sách bài tập trang 123)

Hình bình hành ABCD có \(\widehat{A}=120^0,AB=a,BC=b\). Các đường phân giác của bốn góc A, B, C, D cắt nhau tạo thành tứ giác MNPQ. Tính diện tích tứ giác MNPQ ?

Hướng dẫn giải

A D M N P Q B C

Giải:

Ta có: \(\widehat{DAB}=120^0\left(gt\right)\) nên \(\widehat{ADC}=60^0\)

Đường phân giác của \(\widehat{A}\) cắt đường phân giác của \(\widehat{D}\) tại \(M\) thì \(\Delta ADM\) có hai góc bằng \(60^0\)\(30^0\) nên các đường phân giác đó vuông góc với nhau.

Lập luận tương tự chứng tỏ tứ giác \(MNPQ\)\(4\) góc vuông nên nó là hình chữ nhật.

Trong tam giác vuông \(ADM\) có:

\(DM=AD\sin\widehat{DAM}=b\sin60^0=\dfrac{b\sqrt{3}}{2}\)

Trong tam giác vuông \(DCN\) và có:

\(DN=DC\sin\widehat{DCN}=a\sin60^0=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\)

\(\Rightarrow MN=DN-DM=\left(a-b\right)\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)

Trong tam giác vuông \(DCN\)\(CN=CD\cos60^0=\dfrac{a}{2}\)

Trong tam giác vuông \(BCP\)\(CP=CB\cos60^0=\dfrac{b}{2}\)

Vậy \(NP=CN-CP=\dfrac{a-b}{2}\)

Suy ra diện tích hình chữ nhật \(MNPQ\) là:

\(MN.NP=\left(a-b\right)^2\dfrac{\sqrt{3}}{4}\left(đvdt\right)\)

Bài 94 (Sách bài tập trang 122)

Cho hình thang ABCD. Biết hai đáy AB = a, CD = 2a, cạnh bên AD = a, \(\widehat{A}=90^0\)

a) Chứng minh tg C = 1

b) Tính tỉ số diện tích tam giác DBC và diện tích hình thang ABCD

c) Tính tỉ số diện tích tam giác ABC và diện tích tam giác DBC

Hướng dẫn giải

Bài 85 (Sách bài tập trang 120)

Hình 31

Tính góc \(\alpha\) tạo bởi hai mái nhà, biết rằng mỗi mái nhà dài 2,34m và cao 0,8m ?

Hướng dẫn giải

\(cos\dfrac{\alpha}{2}=\dfrac{0,8}{2,34}\Rightarrow\dfrac{\alpha}{2}\approx70^0\Rightarrow\alpha\approx140^0\)

Bài 97 (Sách bài tập trang 122)

Cho tam giác ABC vuông ở A, \(\widehat{C}=30^0,BC=10cm\)

a) Tính AB, AC

b) Từ A kẻ AM, AN lần lượt vuông góc với các đường phân giác trong và ngoài của góc B. Chứng minh

MN // BC và MN = AB

c) Chứng minh hai tam giác MAB và ABC đồng dạng. Tìm tỉ số đồng dạng

Hướng dẫn giải

Bài 89 (Sách bài tập trang 121)

Cho hình thanh với đáy nhỏ là 15cm, hai cạnh bên bằng nhau và bằng 25cm, góc tù bằng 120 độ. Tính chu vi và diện tích của hình thang đó ?

Hướng dẫn giải

gọi hình thang đó là ABCD (AB//CD),AB=15, AD=BC=25
góc DAB=góc ABC=120 độ.
kẻ AH, BK vuông góc với CD (H,K thộc CD)
=>HK=AB=15 (cm)
xét tam giác AHD có: AD=25, góc D=60 độ
=>DH=AD.cos=AD/2=12.5 (cm)
tương tự ta có CK=12.5 (cm)
=>CD=CK+DH+HK=12.5+12.5+15=40 (cm)
=>chu vi ABCD=AB+BC+CD+DA=105 (cm)

Bài I.1 - Bài tập bổ sung (Sách bài tập trang 123)

Tam giác ABC có \(\widehat{A}=105^0;\widehat{B}=45^0;CB=4cm\). Tính độ dài các cạnh AB, AC ?

Hướng dẫn giải

Ôn tập Hệ thức lượng trong tam giác vuông

Bài 87 (Sách bài tập trang 120)

Tam giác ABC có \(\widehat{A}=20^0,\widehat{B}=30^0;AB=60cm\). Đường vuông góc kẻ từ C đến AB cắt AB tại P (h.33)

Hãy tìm :

a) AP, BP

b) CP

Hướng dẫn giải

Đặt AP=x suy ra BP=60-x.Ta có phương trình

xtg\(20^0\)=(60-x)tg\(30^0\)

Đ/s:AP ≈36,801cm;BP=23,119cm;CP=13,396cm

Tham khảo nha

Bài 84 (Sách bài tập trang 120)

Tam giác ABC vuông tại A, AB = a, AC = 3a. Trên cạnh AC lấy các điểm D, E sao cho AD = DE = EC

a) Chứng minh :

                      \(\dfrac{DE}{DB}=\dfrac{DB}{DC}\)

b) Chứng minh :

                      \(\Delta BDE\)  S  \(\Delta CDB\)

c) Tính tổng \(\widehat{AEB}+\widehat{BCD}\) bằng hai cách :

                    Cách 1 : Sử dụng kết quả ở câu b)

                    Cách 2 : Dùng máy tính bỏ túi hoặc bảng lượng giác 

Hướng dẫn giải

Ôn tập Hệ thức lượng trong tam giác vuông

Ôn tập Hệ thức lượng trong tam giác vuông

Bài 98 (Sách bài tập trang 122)

Cho tam giác ABC có AB = 6 cm, AC = 4,5 cm, BC = 7,5 cm

a) Chứng minh tam giác ABC vuông tại A. Tính các góc \(\widehat{B},\widehat{C}\) và đường cao AH của tam giác

b) Tìm tập hợp các điểm M sao cho \(S_{ABC}=S_{BMC}\)

Hướng dẫn giải

Bài I.3 - Bài tập bổ sung (Sách bài tập trang 123)

Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao BH. Hãy tính góc A và các cạnh AB, BC, nếu biết BH = h, \(\widehat{C}=\alpha\) ?

Hướng dẫn giải

Ôn tập Hệ thức lượng trong tam giác vuông

Bài 81 (Sách bài tập trang 119)

Hãy đơn giản biểu thức :

a) \(1-\sin^2\alpha\)

b) \(\sin^4\alpha+\cos^4\alpha+2\sin^2\alpha\cos^2\alpha\)

c) \(\left(1-\cos\alpha\right)\left(1+\cos\alpha\right)\)

d) \(tg^2\alpha-\sin^2\alpha.tg^2\alpha\)

e) \(1+\sin^2\alpha+\cos^2\alpha\)

g) \(\cos^2\alpha+tg^2\alpha.\cos^2\alpha\)

h) \(\sin\alpha-\sin\alpha.\cos^2\alpha\)

i) \(tg^2\alpha\left(2\cos^2\alpha+\sin^2\alpha-1\right)\)

Hướng dẫn giải

đáp án :

a) \(cos^2\alpha\)

b) 1

c) \(sin^2\alpha\)

d) \(sin^2\alpha\)

e) 2

g) 1

h) \(sin^3\alpha\)

i) \(sin^2\alpha\)

Bài 91 (Sách bài tập trang 121)

Cho hình thang ABCD có hai cạnh bên là AD và BC bằng nhau, đường chéo AC vuông góc với cạnh bên BC. Biết AD = 5a, AC = 12 a

a) Tính :

                 \(\dfrac{\sin B+\cos B}{\sin B-\cos B}\)

b) Tính chiều cao của hình thang ABCD

Hướng dẫn giải

C A B D H

a, \(\Delta ABC\)\(\widehat{C}=90^o\).

Áp dụng pytago có: \(AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{\left(12a\right)^2+\left(5a\right)^2}=13a\)

\(\Delta ABC\)\(\widehat{C}=90^o\)\(\Rightarrow\)\(\left\{{}\begin{matrix}\sin B=\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{12a}{13a}=\dfrac{12}{13}\\cosB=\dfrac{BC}{AB}=\dfrac{5a}{13a}=\dfrac{5}{13}\end{matrix}\right.\)

Ta có: \(\dfrac{sinB+cosB}{sinB-cosB}=\dfrac{\dfrac{12}{13}+\dfrac{5}{13}}{\dfrac{12}{13}-\dfrac{5}{13}}=\dfrac{\dfrac{17}{13}}{\dfrac{7}{13}}=\dfrac{17}{7}\)

b, Có SABCD= \(\dfrac{CH.AB}{2}=\dfrac{CB.AC}{2}\Rightarrow CH.AB=BC.AC\Rightarrow CH=\dfrac{AC.BC}{AB}=\dfrac{12a.5a}{13a}=\dfrac{60a}{13}\approx4,615a\)

Bài 80 (Sách bài tập trang 119)

Hãy tính \(\sin\alpha\) và \(tg\alpha\) nếu :

a) \(\cos\alpha=\dfrac{5}{13}\)

b) \(\cos\alpha=\dfrac{15}{17}\)

c) \(\cos\alpha=0,6\)

Hướng dẫn giải

Có thể bạn quan tâm