Bài 2: Mặt cầu

Lý thuyết

Bài 2.20 (Sách bài tập trang 64)

Hình tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a và có đường cao AH. Gọi O là trung điểm của AH. Xác định tâm và bán kính của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OBCD ?

Hướng dẫn giải

tại I. Ta có I là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OBCD. Mặt cầu này có bán kính là IC và \(IC^2=\dfrac{1}{2}OH\) (vì \(HC'=\dfrac{1}{2}HC\))

Do đó :

\(IC^2=\dfrac{a^2}{24}+\dfrac{a^2}{3}=\dfrac{9a^2}{24}\)

hay \(IC=\dfrac{a\sqrt{6}}{4}\)

Bài 2.23 (Sách bài tập trang 64)

Cho hình cầu đường kính \(AA'=2r\). Gọi H là một điểm trên đoạn AA' sao cho \(AH=\dfrac{4r}{3}\). Mặt phẳng  \(\left(\alpha\right)\) qua H và vuông góc với AA' cắt hình cầu theo đường tròn (C)

a) Tính diện tích của hình tròn (C)

b) Gọi BDC là tam giác đều nội tiếp trong (C), hãy tính thể tích hình chóp A.BCD và hình chóp A'.BCD

Hướng dẫn giải

Bài 2.14 (Sách bài tập trang 63)

Hình chóp tam giác S.ABC có SA = SB = SB = a và có chiều cao bằng h. Xác định tâm và bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. Tính diện tích của mặt cầu đó ?

Hướng dẫn giải

Bài 2.17 (Sách bài tập trang 64)

Cho mặt cầu tâm O, bán kính r. Gọi \(\left(\alpha\right)\) là mặt phẳng cách tâm O một khoảng h \(\left(0< h< r\right)\) và cắt mặt cầu theo đường tròn (C). Đường thẳng d đi qua một điểm A cố định trên (C) và vuông góc với mặt phẳng \(\left(\alpha\right)\) cắt mặt cầu tại một điểm B. Gọi CD là một đường kính di động của (C)

a) Chứng minh các tổng \(AD^2+BC^2\) và \(AC^2+BD^2\) có giá trị không đổi

b) Với vị trí nào của CD thì diện tích tam giác BCD lớn nhất

c) Tìm tập hợp các điểm H, hình chiếu vuông góc của B trên CD khi CD chuyển động trên đường tròn (C)

Hướng dẫn giải

Bài 2.19 (Sách bài tập trang 64)

Chứng minh rằng nếu có một mặt cầu tiếp xúc với 6 cạnh của một hình tứ diện thì hình tứ diện có tổng các cặp cạnh đối diện bằng nhau ?

Hướng dẫn giải

Bài 2.18 (Sách bài tập trang 64)

Hình chóp S.ABC là hình chóp tam giác đều, có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng \(a\sqrt{2}\). Một mặt cầu đi qua đỉnh A và tiếp xúc với hai cạnh SB, SC tại trung điểm của mỗi cạnh

a) Chứng minh rằng mặt cầu đó đi qua trung điểm của AB và AC

b) Gọi giao điểm thứ hai của mặt cầu với đường thẳng SA là D. Tính độ dài của AD và SD 

Hướng dẫn giải

Do đó, \(SD=\dfrac{a^2}{2}:a\sqrt{2}=\dfrac{a\sqrt{2}}{4}\)

và \(AD=SA-SD=\dfrac{3a\sqrt{2}}{4}\)

Bài 2.16 (Sách bài tập trang 63)

Cho tứ diện SABC có cạnh SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) có SA = a, AB = b, AC = c. Xác định tâm và bán kính hình cầu ngoại tiếp tứ diện trong các trường hợp sau :

a) \(\widehat{BAC}=90^0\)

b) \(\widehat{BAC}=60^0\) và b = c

c) \(\widehat{BAC}=120^0\) và b = c

Hướng dẫn giải

Bài 2.21 (Sách bài tập trang 64)

Hình chóp S.ABCD có SA = a là chiều cao của hình chóp và đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B có AB = BC = a và AD = 2a. Gọi E là trung điểm của cạnh AD. Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.CDE ?

Hướng dẫn giải

Bài 2.13 (Sách bài tập trang 63)

Trong mặt phẳng  \(\left(\alpha\right)\) cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. Trên đường thẳng \(Ax\) vuông góc \(\left(\alpha\right)\) ta lấy một điểm S tùy ý, dựng mặt phẳng \(\left(\beta\right)\) đi qua A và vuông góc với đường thẳng SC. Mặt phẳng  \(\left(\beta\right)\) cắt SB, SC, SD lần lượt tại B', C' , C'.

a) Chứng minh rằng các điểm A, B, C, D, B', C', D' luôn luôn thuộc một mặt cầu cố định

b) Tính diện tích của mặt cầu đó và tính thể tích khối cầu được tạo thành

Hướng dẫn giải

Vậy \(S=4\pi r^2=4\pi\left(\dfrac{a\sqrt{2}}{2}\right)^2=2\pi a^2\) và \(V=\dfrac{4}{3}\pi r^3=\dfrac{4}{3}\pi\left(\dfrac{a\sqrt{2}}{2}\right)^3=\dfrac{1}{3}\pi a^3\sqrt{2}\)

Bài 2.15 (Sách bài tập trang 63)

Cho hai đường thẳng chéo nhau \(\Delta\) và  \(\Delta\)' có AA' là đoạn vuông góc chung, trong đó \(A\in\Delta\) và \(A'\in\Delta'\). Gọi \(\left(\alpha\right)\) là mặt phẳng chứa AA' và vuông góc với \(\Delta'\) và cho viết AA'=a. Một đường thẳng thay đổi luôn luôn song song với mặt phẳng  \(\left(\alpha\right)\) lần lượt cắt  \(\Delta\) và  \(\Delta\)' tại M và M'. Hình chiếu vuông góc của M trên mặt phẳng  \(\left(\alpha\right)\) là \(M_1\)

a) Xác định tâm O bán kính r của mặt cầu đi qua 5 điểm A, A', M, M', \(M_1\)

    Tính diện tích của mặt cầu tâm O nói trên theo a, x = A'M' và góc \(\varphi=\left(\Delta,\Delta'\right)\)

b) Chứng minh rằng khi x thay đổi mặt cầu tâm O luôn luôn chứa một đường tròn cố định

Hướng dẫn giải

Bài 2.22 (Sách bài tập trang 64)

Cho hình cầu tâm O bán kính r. Lấy một điểm A trên mặt cầu và gọi \(\left(\alpha\right)\) là mặt phẳng đi qua A sao cho góc giữa OA và  \(\left(\alpha\right)\) bằng \(30^0\)

a) Tính diện tích của thiết diện tạo bơi  \(\left(\alpha\right)\) và hình cầu

b) Đường thẳng \(\Delta\) đi qua A vuông góc với mặt phẳng  \(\left(\alpha\right)\) cắt mặt cầu tại B. Tính độ dài đoạn AB ?

Hướng dẫn giải

a) Gọi H là hình chiếu vuông góc của tâm O trên mặt phẳng \(\left(\alpha\right)\).

Theo giả thiết ta có \(\widehat{OAH}=30^0\)

Do đó : \(HA=OA\cos30^0=r\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)