Cộng đồng chia sẻ tri thức Lib24.vn

Bài 3: Ôn tập chương Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu

Lý thuyết
Mục lục
* * * * *

Đề toán tổng hợp - Bài 2.31 (Sách bài tập trang 66)

Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a

a) Tính diện tích xung quanh của hình trụ có đường tròn hai đáy ngoại tiếp các hình vuông ABCD và A'B'C'D'

b) Tính diện tích mặt cầu đi qua tất cả các đỉnh của hình lập phương

c) Tính diện tích xung quanh của hình nón tròn xoay nhận đường thẳng AC' làm trục và sinh ra bởi cạnh AB

Hướng dẫn giải

Mặt cầu, mặt nón tròn xoay và mặt trụ tròn xoay

Mặt cầu, mặt nón tròn xoay và mặt trụ tròn xoay

Đề toán tổng hợp - Bài 2.25 (Sách bài tập trang 65)

Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' có cạnh đáy bằng a và có đường cao h

a) Một hình trục có các đường tròn đáy tiếp xúc với các cạnh của tam giác đáy được gọi là hình trụ nội tiếp trong lăng trụ. Hãy tính diện tích xung quanh của hình trụ nội tiếp đó ?

b) Gọi I là trung điểm của cạnh BC. Đường thẳng A'I cắt hình trụ nội tiếp nói trên theo một đoạn thẳng. Tính độ dài đoạn thẳng đó ?

Hướng dẫn giải

Mặt cầu, mặt nón tròn xoay và mặt trụ tròn xoay

Ta có : \(\dfrac{KM}{AA'}=\dfrac{IK}{IA}=\dfrac{2}{3}\Rightarrow KM=\dfrac{2}{3}h\)

Xét tam giác vuông IKM ta có : \(IM^2=IK^2+KM^2=\dfrac{3a^2}{9}+\dfrac{4h^2}{9}=\dfrac{3a^2+4h^2}{9}\)

Vậy :

\(IM=\dfrac{\sqrt{3a^2+4h^2}}{3}\)

Đề kiểm tra - Đề 1 - Câu 1 (Sách bài tập trang 67)

Cho 3 điểm A, B, C nằm trên mặt cầu (S) tâm O, AB = 5a, AC = 4a, BC = 3a, khoảng cách từ O đến mặt phẳng (ABC) bằng 2a. Tính thể tích mặt cầu (S) theo a ?

Hướng dẫn giải

Mặt cầu, mặt nón tròn xoay và mặt trụ tròn xoay

Đề kiểm tra - Đề 2 - Câu 1 (Sách bài tập trang 67)

Cho hình trụ (H) có đáy là hai đường tròn tâm O và O', bán kính đáy R = OO'. Trên đáy tâm O lấy điểm A, trên đáy tâm O' lấy điểm B sao cho AB = 2R. Tính tỉ số thể tích giữa khối tứ diện ABOO' và khối trụ (H) ?

Hướng dẫn giải

Mặt cầu, mặt nón tròn xoay và mặt trụ tròn xoay

Đề kiểm tra - Đề 1 - Câu 2 (Sách bài tập trang 67)

Cho tứ diện ABCD có \(AB\perp BC;DA\perp\left(ABC\right)\). Gọi M và N theo thứ tự là chân đường vuông góc kẻ từ A đến DB và DC. Biết AB = AD = 4a; BC = 3a

a) Chứng minh rằng năm ddierm A, B, C, M. N cùng nằm trên một mặt cầu (S). Tính thể tích mặt cầu đó

b) Gọi (S') là mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ADMN. Chứng minh rằng (S) và (S') giao nhau theo một đường tròn. Tìm bán kính của đường tròn đó 

 

Hướng dẫn giải

Mặt cầu, mặt nón tròn xoay và mặt trụ tròn xoay

Đề toán tổng hợp - Bài 2.30 (Sách bài tập trang 66)

Cho đường tròn tâm O bán kính r'. Xét hình chóp S.ABCF có SA vuông góc với mặt phẳng đáy, S và A cố định, SA = h cho trước và có đáy ABCD là một tứ giác tùy ý nội tiếp đường tròn đã cho, trong đó các đường chéo AC và BD luôn luôn vuông góc với nhau

a) Tính bán kính r của mặt cầu đi qua 5 đỉnh của hình chóp

b) Hỏi đáy ABCD là hình gì để thể tích hình chóp đạt giá trị lớn nhất

Hướng dẫn giải

Mặt cầu, mặt nón tròn xoay và mặt trụ tròn xoay

Đề kiểm tra - Đề 1 - Câu 2 (Sách bài tập trang 67)

Cho hình trụ (H) có chiều cao h, bán kính đường tròn đáy bằng R, O và O' là tâm của hai đáy. Gọi AB là đường kính thuộc đường tròn đáy (O), CD là đường kính thuộc đường tròn đáy (O'), góc giữa AB và CD bằng \(\alpha,\left(0< \alpha\le90^0\right)\). Tính tỉ số thể tích giữa khối tứ diện ABCD và khối trụ (H). Xác định \(\alpha\) để tỉ số đó là lớn nhất ?

Hướng dẫn giải

Mặt cầu, mặt nón tròn xoay và mặt trụ tròn xoay

Do đó bán kính đường tròn \(\left(S\right)\cap\left(S'\right)\) bằng \(\dfrac{10\sqrt{41}}{41}a\)

Đề kiểm tra - Đề 1 - Câu 1 (Sách bài tập trang 67)

Cho hình nón (H) có chiều cao bằng h, đường sinh tạo với mặt phẳng đáy một góc bằng \(60^0\)

a) Tính thể tích khối nón (H)

b) Tính thể tích khối cầu nội tiếp hình nón (H)

Hướng dẫn giải

Mặt cầu, mặt nón tròn xoay và mặt trụ tròn xoay

Đề kiểm tra - Đề 2 - Câu 2 (Sách bài tập trang 67)

a) Cho hình hộp chữ nhật có 3 kích thước là a, y, z. Tính thể tích hình cầu (S) ngoại tiếp hình hộp chữ nhật đó ?

b) Trong số những hình hộp chữ nhật nội tiếp hình cầu (S) cho trước hình hộp nào có thể tích lớn nhất ?

Hướng dẫn giải

Mặt cầu, mặt nón tròn xoay và mặt trụ tròn xoay

Đề toán tổng hợp - Bài 2.26 (Sách bài tập trang 65)

Cho hình chóp S.ABC và biết rằng có một mặt cầu tiếp xúc với tất cả các cạnh bên của hình chóp đồng thời tiếp xúc với ba cạnh của đáy tại trung điểm của mỗi cạnh đáy. Chứng minh hình chóp đó là hình chóp đều ?

Hướng dẫn giải

Mặt cầu, mặt nón tròn xoay và mặt trụ tròn xoay

Đề toán tổng hợp - Bài 2.32 (Sách bài tập trang 66)

Hình trụ tròn xoay có bán kính đáy bằng r, có chiều cao bằng 2r và có trục là OO'

a) Chứng minh rằng mặt cầu đường kính OO' tiếp xúc với hai mặt đáy của hình trụ và tiếp xúc với tất cả các đường sinh của mặt trụ

b) Cắt hình trụ bởi một mặt phẳng song song với trục OO' và cách trục một khoảng bằng \(\dfrac{r}{2}\). Tính diện tích thiết diện thu được

c) Thiết diện nói trên cắt mặt cầu đường kính OO' theo thiết diện là một đường tròn. Tính bán kính của đường tròn đó 

Hướng dẫn giải

Mặt cầu, mặt nón tròn xoay và mặt trụ tròn xoay

Đề toán tổng hợp - Bài 2.24 (Sách bài tập trang 65)

Cho tứ diện ABCD có \(AD\perp\left(ABC\right);BD\perp BC\)

Khi quay tất cả các cạnh của tứ diện đó quanh cạnh AB có những hình nón nào được tạo thành ? Hãy kể tên các hình nón đó ?

Hướng dẫn giải

Mặt cầu, mặt nón tròn xoay và mặt trụ tròn xoay

Đề toán tổng hợp - Bài 2.27 (Sách bài tập trang 65)

Trong mặt phẳng \(\left(\alpha\right)\), cho tam giác ABC vuông tại A có cạnh AC = a và có cạnh huyền BC = 2a. Cũng trong mặt phẳng \(\left(\alpha\right)\) đó cho nửa đường tròn đường kính AB cẳ BC tại M

a) Chứng minh rằng khi quay mặt phẳng \(\left(\alpha\right)\) xung quanh AB có một mặt nón tròn xoay và một mặt cầu được tạo thành. Hãy xác định các mặt tròn xoay đó ?

b) Chứng minh rằng giao tuyến của hai mặt tròn xoay đó là một đường tròn. Hãy xác định bán kính của đường tròn đó ?

c) So sánh diện tích toàn phần của hình nón và diện tích của mặt cầu nói trên

Hướng dẫn giải

Mặt cầu, mặt nón tròn xoay và mặt trụ tròn xoay

Mặt cầu, mặt nón tròn xoay và mặt trụ tròn xoay

Đề toán tổng hợp - Bài 2.28 (Sách bài tập trang 65)

Cho hai đường thăng \(\Delta\) và \(\Delta'\) chéo nhau nhận AA' làm đoạn vuông góc chung, trong đó A thuộc \(\Delta\)  và A' thuộc \(\Delta'\). Gọi (P) là mặt phẳng qua A vuông góc với \(\Delta'\) và d là hình chiếu vuông góc của \(\Delta\) trên mặt phẳng (P). Đặt AA' = a, góc nhọn giữa \(\Delta\) và d là \(\alpha\). Mặt phẳng (Q) song song với mặt phẳng (P) cắt \(\Delta\) và \(\Delta'\) lần lượt tại M và M'. Gọi \(M_1\) là hình chiếu vuông góc của M trên mặt phẳng (P)

a) Chứng minh 5 điểm A, A', M, M', \(M_1\) cùng nằm trên mặt cầu (S). Xác định tâm O của (S). Tính bán kính của (S) theo \(a,\alpha\) và khoảng cách x giữa hai mặt phẳng (P), (Q) ?

b) Khi x thay đổi, tâm O mặt cầu (S) di động trên đường nào ? Chứng minh rằng khi (Q) thay đổi mặt cầu (S) luôn luôn đi qua một đường tròn cố định

Hướng dẫn giải

Mặt cầu, mặt nón tròn xoay và mặt trụ tròn xoay

Mặt cầu, mặt nón tròn xoay và mặt trụ tròn xoay

Đề toán tổng hợp - Bài 2.29 (Sách bài tập trang 66)

Cho tam giác vuông cân ABC có cạnh AB = 2a. Trên đường thẳng d đi qua A và vuông góc với mặt phẳng (ABC), lấy một điểm S khác K, ta được tứ diện SABC

a) Xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABC

b) Tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABC trong trường hợp mặt phẳng  (SBC) tạo với mặt phẳng (ABC ) một góc bằng \(30^0\)

Hướng dẫn giải

Mặt cầu, mặt nón tròn xoay và mặt trụ tròn xoay

Vậy \(SB^2=\dfrac{6a^2}{9}+4a^2=\dfrac{42a^2}{9}\)

Do đó \(SB=\dfrac{a\sqrt{42}}{3}\)

Ta suy ra :

\(r=\dfrac{SB}{2}=\dfrac{a\sqrt{42}}{6}\)

Có thể bạn quan tâm


Có thể bạn quan tâm