Ôn tập chương VI

Lý thuyết

Bài 23 trang 195 Sách bài tập (SBT) Toán Đại số 10

Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào đúng, đẳng thức nào sai?

a) \(\sin (x + {\pi  \over 2}) = \cos x\)

b) \(cos(x + {\pi  \over 2}) = sinx\)

c) \(\sin (x - \pi ) = sinx\)

d) \(cos(x - \pi ) = \cos x\)

Hướng dẫn giải

a) Đúng;

b) Sai;

c) Sai;

d) Sai.

Bài 24 trang 195 Sách bài tập (SBT) Toán Đại số 10

Tồn tại hay không góc \(\alpha \) sao cho

a) \(\sin \alpha  =  - 1\)

b) \({\rm{cos}}\alpha  = 0\)

c) \(\sin \alpha  =  - 0,9\)

d) \(cos\alpha  =  - 1,2\)

e) \(\sin \alpha  = 1,3\)

g) \(\sin \alpha  =  - 2?\)

Hướng dẫn giải

a) Có;

b) Có;

c) Có;

d) Không, vì -1,2 <-1.

e) Không, vì 1,3 > 1;

g) Không, vì -2 < -1.

Bài 25 trang 195 Sách bài tập (SBT) Toán Đại số 10

Không dùng bảng số và máy tính, hãy xác định dấu của \(\sin \alpha \) và \(cos\alpha \) với

a) \(\alpha  = {135^0}\)

b) \(\alpha  = {210^0}\)

c) \(\alpha  = {334^0}\)

d) \(\alpha  = {1280^0}\)

e) \(\alpha  =  - {235^0}\)

g) \(\alpha  =  - {1876^0}\)

Hướng dẫn giải

a) \(\sin {135^0} > 0,cos{135^0} < 0\)

b) \(\sin {210^0} < 0,cos{210^0} < 0\)

c) \(\sin {334^0} < 0,cos{334^0} > 0\)

d) \(\eqalign{
& \sin {1280^0} = \sin ({3.360^0} + {120^0}) = sin{200^0} < 0, \cr 
& cos{1280^0} = \cos {200^0} < 0 \cr} \)

e) \(\eqalign{
& \sin ( - {235^0}) = \sin ( - {180^0} - {55^0}) \cr 
& = - sin( - {55^0}) = \sin {55^0} > 0,cos( - {235^0}) < 0 \cr} \)

g) \(\eqalign{
& \sin ( - {1876^0}) = \sin ( - {1800^0} - {76^0}) = \sin ( - {76^0}) = - sin{76^0} < 0, \cr 
& cos( - {1876^0}) = \cos {( - 76)^0} = \cos {76^0} > 0 \cr} \)

Bài 26 trang 195 Sách bài tập (SBT) Toán Đại số 10

Hãy viết theo thứ tự tăng dần các giá trị sau (không dùng bảng số và máy tính)

a) \(\sin {40^0},\sin {90^0},\sin {220^0},\sin {10^0}\)

b) \({\rm{cos}}{15^0},{\rm{cos}}{0^0},{\rm{cos}}{90^0},{\rm{cos}}{138^0}\)

Hướng dẫn giải

a) \(\sin {220^0} < \sin {10^0} < \sin {40^0} < \sin {90^0}\)

b) \({\rm{cos}}{138^0} < {\rm{cos}}{90^0} < {\rm{cos}}{15^0}{\rm{ < cos}}{0^0}\)

Bài 27 trang 195 Sách bài tập (SBT) Toán Đại số 10

Hãy xác định dấu của các tích (không dùng bảng số và máy tính)

a) \(\sin {110^0}cos{130^0}tan{30^0}\cot {320^0}\)

b) \(\sin ( - {50^0})\tan {170^0}{\rm{cos}}( - {91^0})\sin {530^0}\)

Hướng dẫn giải

a) Ta có: \(\sin {110^0} > 0;cos{130^0} < 0;tan{30^0} > 0;\cot {320^0} < 0\), do đó tích của chúng dương.

b) \(\sin ( - {50^0}) < 0;\tan {170^0}{\rm{ < 0;cos}}( - {91^0}) < 0;\sin {530^0} > 0\), do đó tích của chúng âm

Bài 28 trang 195 Sách bài tập (SBT) Toán Đại số 10

Cho tam giác ABC. Hỏi tổng \(\sin A + \sin B + \sin C\) âm hay dương?

Hướng dẫn giải

Vì các góc \(\widehat A,\widehat B,\widehat C\) là góc trong tam giác ABC nên sinA > 0, sinB >0, sinC >0.

Do đó sinA + sinB + sinC > 0.

Bài 29 trang 195 Sách bài tập (SBT) Toán Đại số 10

Tính các giá trị lượng giác của cung \(\alpha \) biết

a) \(\sin \alpha  = 0,6\) khi \(0 < \alpha  < {\pi  \over 2}\)

b) \({\rm{cos}}\alpha  =  - 0,7\) khi \({\pi  \over 2} < \alpha  < \pi \)

c) \(\tan \alpha  = 2\) khi \(\pi  < \alpha  < {{3\pi } \over 2}\)

d) \(\cot \alpha  =  - 3\) khi \({{3\pi } \over 2} < \alpha  < 2\pi \)

Hướng dẫn giải

a) \(0 < \alpha  < {\pi  \over 2} =  > \cos \alpha  > 0\), do đó

\(\cos \alpha  = \sqrt {1 - si{n^2}\alpha }  = \sqrt {1 - 0,36}  = \sqrt {0,64}  = 0,8\)

=> \(\tan \alpha  = {3 \over 4},\cot \alpha  = {4 \over 3}\)

b) \({\pi  \over 2} < \alpha  < \pi  =  > \sin \alpha  > 0\), do đó

\(\sin \alpha  = \sqrt {1 - {{\cos }^2}\alpha }  = \sqrt {1 - 0,49}  = \sqrt {0,51}  \approx 0,71\)

Suy ra: \(\tan \alpha  =  - {{0,7} \over {0,71}} \approx  - 0,98,\cot \alpha  \approx  - 1,01\)

c) \(\pi  < \alpha  < {{3\pi } \over 2} =  > \cos \alpha  < 0\), do đó

\(\eqalign{
& \cos \alpha = - {1 \over {\sqrt {1 + {{\tan }^2}\alpha } }} = - {1 \over {\sqrt 5 }} = - {{\sqrt 5 } \over 5}, \cr 
& \sin \alpha = - {{2\sqrt 5 } \over 5},\cot \alpha = {1 \over 2} \cr} \)

d) \({{3\pi } \over 2} < \alpha  < 2\pi  =  > \sin \alpha  < 0\), do đó

\(\eqalign{
& \sin \alpha = - {1 \over {\sqrt {1 + {{\cot }^2}\alpha } }} = - {1 \over {\sqrt {10} }} = - {{\sqrt {10} } \over {10}}, \cr 
& cos\alpha = {{3\sqrt {10} } \over {10}},tan\alpha = - {1 \over 3} \cr} \)

Bài 30 trang 196 Sách bài tập (SBT) Toán Đại số 10

Chứng minh rằng

a) \(\sin ({270^0} - \alpha ) =  - c{\rm{os}}\alpha \)

b) \({\rm{cos}}({270^0} - \alpha ) =  - \sin \alpha \)

c) \(\sin ({270^0} + \alpha ) =  - c{\rm{os}}\alpha \)

d) \({\rm{cos}}({270^0} + \alpha ) = \sin \alpha \)

Hướng dẫn giải

a) \(\eqalign{
& \sin ({270^0} - \alpha ) = \sin ({360^0} - ({90^0} + \alpha ) \cr 
& = - sin({90^0} + \alpha ) = - c{\rm{os}}\alpha \cr}\)

b) \(\eqalign{
& \cos ({270^0} - \alpha ) = \cos ({360^0} - ({90^0} + \alpha )) \cr 
& = \cos ({90^0} + \alpha ) = - {\rm{sin}}\alpha \cr} \)

c) \(\eqalign{
& \sin ({270^0} + \alpha ) = \sin ({360^0} - ({90^0} - \alpha )) \cr 
& = - \sin ({90^0} - \alpha ) = - c{\rm{os}}\alpha \cr} \)

d) \(\eqalign{
& {\rm{cos}}({270^0} + \alpha ) = \cos ({360^0} - ({90^0} - \alpha ) \cr 
& = cos({90^0} - \alpha ) = \sin \alpha \cr} \)

Bài 31 trang 196 Sách bài tập (SBT) Toán Đại số 10

Rút gọn các biểu thức (không dùng bảng số và máy tính)

a) \({\sin ^2}({180^0} - \alpha ) + ta{n^2}({180^0} - \alpha ){\tan ^2}({270^0} - \alpha ) + \sin ({90^0} + \alpha )cos(\alpha  - {360^0})\)

b) \({{\cos (\alpha  - {{90}^0})} \over {\sin ({{180}^0} - \alpha )}} + {{\tan (\alpha  - {{180}^0})c{\rm{os(18}}{{\rm{0}}^0} + \alpha )\sin ({{270}^0} + \alpha )} \over {\tan ({{270}^0} + \alpha )}}\)

c) \({{\cos ( - {{288}^0})cot{{72}^0}} \over {tan( - {{162}^0})\sin {{108}^0}}} + \tan {18^0}\)

d) \({{\sin {{20}^0}\sin {\rm{3}}{{\rm{0}}^0}\sin {{40}^0}\sin {{50}^0}\sin {{60}^0}\sin {{70}^0}} \over {cos{{10}^0}{\rm{cos5}}{{\rm{0}}^0}}}\)

Hướng dẫn giải

a) \({\sin ^2}({180^0} - \alpha ) + ta{n^2}({180^0} - \alpha ){\tan ^2}({270^0} - \alpha ) + \sin ({90^0} + \alpha )cos(\alpha  - {360^0})\)

= \({\sin ^2}\alpha  + {\tan ^2}\alpha {\cot ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha  = 2\)

b) \({{\cos (\alpha  - {{90}^0})} \over {\sin ({{180}^0} - \alpha )}} + {{\tan (\alpha  - {{180}^0})c{\rm{os(18}}{{\rm{0}}^0} + \alpha )\sin ({{270}^0} + \alpha )} \over {\tan ({{270}^0} + \alpha )}}\)

= \({{\sin \alpha } \over {\cos \alpha }} + {{\tan \alpha ( - \cos \alpha )( - \cos \alpha )} \over { - \cot \alpha }} = 1 - {\sin ^2}\alpha  = {\cos ^2}\alpha \)

c) \({{\cos ( - {{288}^0})cot{{72}^0}} \over {tan( - {{162}^0})\sin {{108}^0}}} + \tan {18^0}\)

\( = {{\cos ({{72}^0} - {{360}^0})\cot {{72}^0}} \over {\tan ({{18}^0} - {{180}^0})\sin ({{180}^0} - {{72}^0})}} - \tan {18^0}\)

= \({{{\rm{cos7}}{{\rm{2}}^0}\cot {{72}^0}} \over {\tan {{18}^0}\sin {{72}^0}}} - \tan {18^0}\)

= \({{{{\cot }^2}{{72}^0}} \over {\tan {{18}^0}}} - \tan {18^0} = {{{{\tan }^2}{{18}^0}} \over {\tan {{18}^0}}} - \tan {18^0} = 0\)

d) Ta có: \(\sin {70^0} = \cos {20^0},\sin {50^0} = cos4{{\rm{0}}^0};\sin {40^0} = cos{50^0}\). Vì vậy

\({{\sin {{20}^0}\sin {\rm{3}}{{\rm{0}}^0}\sin {{40}^0}\sin {{50}^0}\sin {{60}^0}\sin {{70}^0}} \over {cos{{10}^0}{\rm{cos5}}{{\rm{0}}^0}}}\)

= \(\eqalign{
& {{{1 \over 2}.{{\sqrt 3 } \over 2}.\sin {{20}^0}\cos {\rm{2}}{{\rm{0}}^0}\cos {{50}^0}\cos {{40}^0}} \over {cos{{10}^0}{\rm{cos5}}{{\rm{0}}^0}}} \cr 
& = {{{1 \over 2}.{{\sqrt 3 } \over 4}\sin {{40}^0}.cos{{40}^0}} \over {{\rm{cos1}}{{\rm{0}}^0}}} \cr} \)

= \({{{{\sqrt 3 } \over {16}}\sin {{80}^0}} \over {cos{{10}^0}}} = {{\sqrt 3 } \over {16}}\)

Bài 32 trang 196 Sách bài tập (SBT) Toán Đại số 10

Cho \({0^0} < \alpha  < {90^0}\).

a) Có giá trị nào của \(\alpha \) sao cho \(\tan \alpha  < \sin \alpha \) hay không?

b) Chứng minh rằng \(\sin \alpha  + \cos \alpha  > 1\)

Hướng dẫn giải

a) Với \({0^0} < \alpha  < {90^0}\) thì \(0 < \cos \alpha  < 1\) hay \({1 \over {\cos \alpha }} > 1\)

Nhân hai vế với \(\sin \alpha  > 0\) ta được \(tan\alpha  > \sin \alpha \).

Vậy không có giá trị nào của \(\alpha ({0^0} < \alpha  < {90^0})\) để \(tan\alpha  < \sin \alpha \)

b) Ta có \(\sin \alpha  + \cos \alpha  > 0\) và \(\sin \alpha \cos \alpha  > 0\). Do đó

\(\eqalign{
& {(\sin \alpha + \cos \alpha )^2} = {\sin ^2}\alpha + c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}\alpha + 2\sin \alpha c{\rm{os}}\alpha \cr 
& {\rm{ = 1 + 2}}\sin \alpha c{\rm{os}}\alpha > 1 \cr} \)

Từ đó suy ra: \(\sin \alpha  + \cos \alpha  > 1\)