§3. Công thức lượng giác
Lý thuyết
Mục lục
* * * * *
Bài 16 trang 193 Sách bài tập (SBT) Toán Đại số 10
Cho \(\cos \alpha = {1 \over 3}\) tính \(sin(\alpha + {\pi \over 6}) - \cos (\alpha - {{2\pi } \over 3})\)
Hướng dẫn giải
\(sin(\alpha + {\pi \over 6}) - \cos (\alpha - {{2\pi } \over 3})\)
= \(sin\alpha c{\rm{os}}{\pi \over 6} + \cos \alpha \sin {\pi \over 6} - \cos \alpha \cos {{2\pi } \over 3} - \sin \alpha \sin {{2\pi } \over 3}\)
\( = {{\sqrt 3 } \over 2}sin\alpha + {1 \over 2}\cos \alpha + {1 \over 2}\cos \alpha - {{\sqrt 3 } \over 2}\sin \alpha \)
\( = \cos \alpha = {1 \over 3}\)
Bài 17 trang 193 Sách bài tập (SBT) Toán Đại số 10
Cho \(\sin \alpha = {8 \over {17}},\sin \beta = {{15} \over {17}}\) với \(0 < \alpha < {\pi \over 3},0 < \beta < {\pi \over 2}\). Chứng minh rằng \(\alpha + \beta = {\pi \over 2}\)
Hướng dẫn giải
\(\eqalign{
& \cos \alpha = \sqrt {1 - {{64} \over {289}}} = \sqrt {{{225} \over {289}}} = {{15} \over {17}}; \cr
& \cos \beta = \sqrt {1 - {{225} \over {289}}} = \sqrt {{{64} \over {289}}} = {8 \over {17}} \cr} \)
Do đó:
\(\sin (\alpha + \beta ) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta \)
\({8 \over {17}}.{8 \over {17}} + {{15} \over {17}}.{{15} \over {17}} = {{289} \over {289}} = 1\)
Vì \(0 < \alpha < {\pi \over 3},0 < \beta < {\pi \over 2}\) nên từ đó suy ra \(\alpha + \beta = {\pi \over 2}\)
Bài 18 trang 193 Sách bài tập (SBT) Toán Đại số 10
Không dùng bảng số và máy tính, chứng minh rằng
a) \(\sin {20^0} + 2\sin {40^0} - \sin {100^0} = \sin {40^0}\)
b) \({{\sin ({{45}^0} + \alpha ) - c{\rm{os(}}{{45}^0} + \alpha )} \over {\sin ({{45}^0} + \alpha ) + c{\rm{os(}}{{45}^0} + \alpha )}} = \tan \alpha \)
c) \({{3{{\cot }^2}{{15}^0} - 1} \over {3 - c{\rm{o}}{{\rm{t}}^2}{{15}^0}}} = - \cot {15^0}\)
d) \(\sin {200^0}\sin {310^0} + c{\rm{os34}}{{\rm{0}}^0}{\rm{cos5}}{{\rm{0}}^0}{\rm{ = }}{{\sqrt 3 } \over 2}\)
Hướng dẫn giải
a)
\(\eqalign{
& \sin {20^0} + 2\sin {40^0} - \sin {100^0} \cr
& = (\sin {20^0} - \sin {100^0}) + 2\sin {40^0} \cr} \)
=\(2\cos {60^0}\sin ( - {40^0}) + 2\sin {40^0}\)
=\( - \sin {40^0} + 2\sin {40^0} = \sin {40^0}\)
b)
\(\eqalign{
& {{\sin ({{45}^0} + \alpha ) - c{\rm{os(}}{{45}^0} + \alpha )} \over {\sin ({{45}^0} + \alpha ) + c{\rm{os(}}{{45}^0} + \alpha )}} \cr
& = {{\sin ({{45}^0} + \alpha ) - \sin {\rm{(}}{{45}^0} - \alpha )} \over {\sin ({{45}^0} + \alpha ) + \sin {\rm{(}}{{45}^0} - \alpha )}} \cr} \)
=\({{2\cos {{45}^0}\sin \alpha } \over {2\sin {{45}^0}\cos \alpha }} = {{\sqrt 2 \sin \alpha } \over {\sqrt 2 \cos \alpha }} = \tan \alpha \)
c)
\({{3{{\cot }^2}{{15}^0} - 1} \over {3 - c{\rm{o}}{{\rm{t}}^2}{{15}^0}}} = {{{{\cot }^2}{{30}^0}{{\cot }^2}{{15}^0} - 1} \over {c{\rm{o}}{{\rm{t}}^2}{{30}^0} - {{\cot }^2}{{15}^0}}}\)
=\({{\cot {{30}^0}\cot {{15}^0} + 1} \over {c{\rm{ot}}{{30}^0} - \cot {{15}^0}}}.{{\cot {{30}^0}\cot {{15}^0} - 1} \over {c{\rm{ot}}{{30}^0} + \cot {{15}^0}}}\)
Mặt khác ta có
\(\cot (\alpha + \beta ) = {{\cos (\alpha + \beta )} \over {\sin (\alpha + \beta )}} = {{\cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta } \over {\sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta }}\)
Chia cả tử và mẫu của biểu thức cho \(\sin \alpha \sin \beta \) ta được
\(\cot (\alpha + \beta ) = {{\cot \alpha \cot \beta - 1} \over {\cot \alpha + \cot \beta }}\)
Tương tự
\(\cot (\alpha - \beta ) = {{\cot \alpha \cot \beta + 1} \over {\cot \beta - \cot \alpha }}\)
Do đó
\(A = \cot ({15^0} - {30^0})\cot ({15^0} + {30^0}) = - \cot {15^0}\)
d)
\(\sin {200^0}\sin {310^0} + c{\rm{os34}}{{\rm{0}}^0}{\rm{cos5}}{{\rm{0}}^0}\)
= \(\sin ({180^0} + {20^0})\sin ({360^0} - {50^0}) + c{\rm{os(36}}{{\rm{0}}^0}{\rm{ - 2}}{{\rm{0}}^0}{\rm{)cos5}}{{\rm{0}}^0}\)
\( = ( - \sin {20^0})( - \sin {50^0}) + \cos {20^0}\cos {50^0}\)
\( = \cos {50^0}\cos {20^0} + \sin {50^0}\sin {20^0}\)
= \(\cos ({50^0} - {20^0}) = {{\sqrt 3 } \over 2}\)
Bài 19 trang 194 Sách bài tập (SBT) Toán Đại số 10
Chứng minh rằng các biểu thức sau là những hằng số không phụ thuộc \(\alpha ,\beta \)
a) \(\sin 6\alpha \cot 3\alpha - c{\rm{os6}}\alpha \)
b) \({{\rm{[}}\tan ({90^0} - \alpha ) - \cot ({90^0} + \alpha ){\rm{]}}^2} - {{\rm{[}}c{\rm{ot(18}}{{\rm{0}}^0} + \alpha ) + \cot ({270^0} + \alpha ){\rm{]}}^2}\)
c) \((\tan \alpha - \tan \beta )cot(\alpha - \beta ) - \tan \alpha \tan \beta \)
d) \((\cot {\alpha \over 3} - \tan {\alpha \over 3})\tan {{2\alpha } \over 3}\)
Hướng dẫn giải
a)
\(\eqalign{
& \sin 6\alpha \cot 3\alpha - c{\rm{os6}}\alpha \cr
& = 2\sin 3\alpha \cos 3\alpha .{{\cos 3\alpha } \over {\sin 3\alpha }} - (2{\cos ^2}3\alpha - 1) \cr} \)
= \(2{\cos ^2}3\alpha - 2{\cos ^2}3\alpha + 1 = 1\)
b)
\({{\rm{[}}\tan ({90^0} - \alpha ) - \cot ({90^0} + \alpha ){\rm{]}}^2} - {{\rm{[}}c{\rm{ot(18}}{{\rm{0}}^0} + \alpha ) + \cot ({270^0} + \alpha ){\rm{]}}^2}\)
= \({(\cot \alpha + \tan \alpha )^2} - {(\cot \alpha - \tan \alpha )^2}\)
= \({\cot ^2}\alpha + 2 + {\tan ^2}\alpha - {\cot ^2}\alpha + 2 - {\tan ^2}\alpha = 4\)
c)
\(\eqalign{
& (\tan \alpha - \tan \beta )cot(\alpha - \beta ) - \tan \alpha \tan \beta \cr
& = {{\tan \alpha - \tan \beta } \over {\tan (\alpha - \beta )}} - \tan \alpha \tan \beta \cr} \)
=\(1 + \tan \alpha \tan \beta - \tan \alpha \tan \beta = 1\)
d)
\(\eqalign{
& (\cot {\alpha \over 3} - \tan {\alpha \over 3})\tan {{2\alpha } \over 3} \cr
& = ({{\cos {\alpha \over 3}} \over {\sin {\alpha \over 3}}} - {{\sin {\alpha \over 3}} \over {\cos {\alpha \over 3}}}){{\sin {{2\alpha } \over 3}} \over {\cos {{2\alpha } \over 3}}} \cr} \)
= \(\eqalign{
& {{{{\cos }^2}{\alpha \over 3} - {{\sin }^2}{\alpha \over 3}} \over {\sin {\alpha \over 3}\cos {\alpha \over 3}}}.{{\sin {{2\alpha } \over 3}} \over {\cos {{2\alpha } \over 3}}} \cr
& = {{\cos {{2\alpha } \over 3}} \over {{1 \over 2}\sin {{2\alpha } \over 3}}}.{{\sin {{2\alpha } \over 3}} \over {\cos {{2\alpha } \over 3}}} = 2 \cr} \)
Bài 20 trang 194 Sách bài tập (SBT) Toán Đại số 10
Không sử dụng bảng số và máy tính, hãy tính
a) \({\sin ^4}{\pi \over {16}} + {\sin ^4}{{3\pi } \over {16}} + {\sin ^4}{{5\pi } \over {16}} + {\sin ^4}{{7\pi } \over {16}}\)
b) \(\cot 7,{5^0} + \tan 67,{5^0} - \tan 7,{5^0} - \cot 67,{5^0}\)
Hướng dẫn giải
a) \({\sin ^4}{\pi \over {16}} + {\sin ^4}{{3\pi } \over {16}} + {\sin ^4}{{5\pi } \over {16}} + {\sin ^4}{{7\pi } \over {16}}\)
\( = {\left( {{{1 - \cos {\pi \over 8}} \over 2}} \right)^2} + {\left( {{{1 - \cos {{3\pi } \over 8}} \over 2}} \right)^2} + {\left( {{{1 - \cos {{5\pi } \over 8}} \over 2}} \right)^2} + {\left( {{{1 - \cos {{7\pi } \over 8}} \over 2}} \right)^2}\)
\( = {1 \over 4}\left( {1 - 2\cos {\pi \over 8} + {{\cos }^2}{\pi \over 8} + 1 - 2\cos {{3\pi } \over 8} + {{\cos }^2}{{3\pi } \over 8} + 1 - 2\cos {{5\pi } \over 8} + {{\cos }^2}{{5\pi } \over 8} + 1 - 2\cos {{7\pi } \over 8} + {{\cos }^2}{{7\pi } \over 8}} \right)\)
\( = 1 - {1 \over 2}\left( {\cos {\pi \over 8} + \cos {{3\pi } \over 8} + \cos {{5\pi } \over 8} + \cos {{7\pi } \over 8}} \right) + {1 \over 4}\left( {{{1 + \cos {\pi \over 4}} \over 2} + {{1 + \cos {{3\pi } \over 4}} \over 2} + {{1 + \cos {{5\pi } \over 4}} \over 2} + {{1 + \cos {{7\pi } \over 4}} \over 2}} \right)$\)
=\(1 - {1 \over 2}\left( {\cos {\pi \over 8} + \cos {{3\pi } \over 8} - \cos {{3\pi } \over 8} - \cos {\pi \over 8}} \right) + {1 \over 8}\left( {4 + {{\sqrt 2 } \over 2} - {{\sqrt 2 } \over 2} - {{\sqrt 2 } \over 2} + {{\sqrt 2 } \over 2}} \right)\)
= \({3 \over 2}\)
b) \(\cot 7,{5^0} + \tan 67,{5^0} - \tan 7,{5^0} - \cot 67,{5^0}\)
= \({{\cos 7,{5^0}} \over {\sin 7,{5^0}}} - {{\sin 7,{5^0}} \over {\cos 7,{5^0}}} + {{\sin 67,{5^0}} \over {\cos 67,{5^0}}} - {{\cos 67,{5^0}} \over {\sin 67,{5^0}}}\)
= \({{{{\cos }^2}7,{5^0} - {{\sin }^2}7,{5^0}} \over {\sin 7,{5^0}\cos 7,{5^0}}} + {{{{\sin }^2}67,{5^0} - {{\cos }^2}67,{5^0}} \over {sin67,{5^0}\cos 67,{5^0}}}\)
= \(\eqalign{
& {{\cos {{15}^0}} \over {{1 \over 2}\sin {{15}^0}}} - {{\cos {{135}^0}} \over {{1 \over 2}\sin {{135}^0}}} \cr
& = {{2(\sin {{135}^0}\cos {{15}^0} - \cos {{135}^0}\sin {{15}^0})} \over {\sin {{15}^0}\sin {{135}^0}}} \cr} \)
= \({{\sin ({{135}^0} - {{15}^0})} \over {\sin ({{45}^0} - {{30}^0})\sin ({{180}^0} - {{45}^0})}}\)
= \({{2\sin {{120}^0}} \over {(\sin {{45}^0}\cos {{30}^0} - \cos {{45}^0}\sin {{30}^0})sin{{45}^0}}}\)
\(\eqalign{
& = {{\sqrt 3 } \over {{{\sqrt 2 } \over 2}({{\sqrt 3 } \over 2} - {1 \over 2}).{{\sqrt 2 } \over 2}}} \cr
& = {{4\sqrt 3 } \over {\sqrt 3 - 1}} = 6 + 2\sqrt 3 \cr} $\)
Bài 21 trang 194 Sách bài tập (SBT) Toán Đại số 10
Rút gọn các biểu thức
a) \({{\sin 2\alpha + \sin \alpha } \over {1 + c{\rm{os2}}\alpha {\rm{ + cos}}\alpha }}\)
b) \({{4{{\sin }^2}\alpha } \over {1 - c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}{\alpha \over 2}}}\)
c) \({{1 + c{\rm{os}}\alpha - \sin \alpha } \over {1 - c{\rm{os}}\alpha - {\rm{sin}}\alpha }}\)
d) \({{1 + \sin \alpha - 2{{\sin }^2}({{45}^0} - {\alpha \over 2})} \over {4c{\rm{os}}{\alpha \over 2}}}\)
Hướng dẫn giải
a) \({{\sin 2\alpha + \sin \alpha } \over {1 + c{\rm{os2}}\alpha {\rm{ + cos}}\alpha }} = {{\sin \alpha (2\cos \alpha + 1)} \over {2c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}\alpha {\rm{ + cos}}\alpha }}\)
= \({{\sin \alpha (2\cos \alpha + 1)} \over {c{\rm{os}}\alpha (2{\rm{cos}}\alpha + 1)}} = \tan \alpha \)
b) \({{4{{\sin }^2}\alpha } \over {1 - c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}{\alpha \over 2}}} = {{16{{\sin }^2}{\alpha \over 2}{{\cos }^2}{\alpha \over 2}} \over {{{\sin }^2}{\alpha \over 2}}} = 16{\cos ^2}{\alpha \over 2}\)
c) \({{1 + c{\rm{os}}\alpha - \sin \alpha } \over {1 - c{\rm{os}}\alpha - {\rm{sin}}\alpha }} = {{2{{\cos }^2}{\alpha \over 2} - 2\sin {\alpha \over 2}\cos {\alpha \over 2}} \over {2si{n^2}{\alpha \over 2} - 2\sin {\alpha \over 2}\cos {\alpha \over 2}}}\)
= \({{2\cos {\alpha \over 2}(\cos {\alpha \over 2} - \sin {\alpha \over 2})} \over {2\sin {\alpha \over 2}(sin{\alpha \over 2} - \cos {\alpha \over 2})}} = - \cot {\alpha \over 2}\)
d) \({{1 + \sin \alpha - 2{{\sin }^2}({{45}^0} - {\alpha \over 2})} \over {4c{\rm{os}}{\alpha \over 2}}} = {{\sin \alpha + \cos ({{90}^0} - \alpha )} \over {4\cos {\alpha \over 2}}}\)
=\({{\sin \alpha + \sin \alpha } \over {4\cos {\alpha \over 2}}} = {{4\sin {\alpha \over 2}\cos {\alpha \over 2}} \over {4\cos {\alpha \over 2}}} = \sin {\alpha \over 2}\)
Bài 22 trang 194 Sách bài tập (SBT) Toán Đại số 10
Cho hình thang cân ABCD có đáy nhỏ AB = AD. Biết \(\tan \widehat {BDC} = {3 \over 4}\) tính các giá trị lượng giác của \(\widehat {BAD}\)
Hướng dẫn giải
Ta có (h.64)
\(\widehat {ABD} = \widehat {ADB}\)
\(\widehat {ABD} = \widehat {BDC}\)
=> \(\widehat {BDC} = \widehat {ADB}\)
Suy ra \(\widehat {BAD} = \pi - 2\widehat {BDC}\)
Từ đó ta có:
\(\eqalign{
& \tan \widehat {BAD} = - \tan 2\widehat {BDC} = - {{2\tan \widehat {BDC}} \over {1 - {{\tan }^2}\widehat {BDC}}} \cr
& = - {{2.{3 \over 4}} \over {1 - {9 \over {16}}}} = - {3 \over 2}.{{16} \over 7} = - {{24} \over 7} \cr} \)
Vì \({\pi \over 2} < \widehat {BAD} < \pi \) nên \(\cos \widehat {BAD} < 0\). Do đó
\(\eqalign{
& \cos \widehat {BAD} = - {1 \over {\sqrt {1 + {{\tan }^2}\widehat {BAD}} }} \cr
& = - {1 \over {\sqrt {1 + {{576} \over {49}}} }} = - {7 \over {25}} \cr} \)
\(\eqalign{
& \sin \widehat {BAD} = \cos \widehat {BAD}.\tan \widehat {BAD} \cr
& = {{ - 7} \over {25}}.{{ - 24} \over 7} = {{24} \over {25}} \cr} \)
Có thể bạn quan tâm
Có thể bạn quan tâm
