Ôn tập chương IV

Lý thuyết

Bài 59 trang 124 Sách bài tập (SBT) Toán Đại số 10

Chứng minh rằng:

\({({x^2} - {y^2})^2} \ge 4xy{(x - y)^2},\forall x,y.\)

Hướng dẫn giải

\({({x^2} - {y^2})^2} - 4xy{(x - y)^2} = {(x - y)^2}{\rm{[(x + y}}{{\rm{)}}^2}{\rm{ - 4xy]}}\)

\( = {(x - y)^2}{(x - y)^2} \ge 0 =  > {({x^2} - {y^2})^2} \ge 4xy{(x - y)^2},\forall x,y\)

Bài 60 trang 124 Sách bài tập (SBT) Toán Đại số 10

Chứng minh rằng:

\({x^2} + 2{y^2} + 2xy + y + 1 > 0,\forall x,y.\)

Hướng dẫn giải

\({x^2} + 2{y^2} + 2xy + y + 1 = {(x + y)^2} + {(y + {1 \over 2})^2} + {3 \over 4}\forall x,y\)

Bài 61 trang 124 Sách bài tập (SBT) Toán Đai số 10

Chứng minh rằng:

\((a + 1)(b + 1)(a + c)(b + c) \ge 16abc\), với a, b, c là những số dương tùy ý.

Hướng dẫn giải

\((a + 1)(b + 1)(a + c)(b + c) \ge 2\sqrt a .2\sqrt b .2\sqrt {ac} .2\sqrt {bc} \)

\(2\sqrt a .2\sqrt b .2\sqrt {ac} .2\sqrt {bc}  = 16abc.\)

=> \((a + 1)(b + 1)(a + c)(b + c) \ge 16abc.\)

Bài 62 trang 124 Sách bài tập (SBT) Toán Đại số 10

Chứng minh rằng:

\(a + b + b \le {1 \over 2}({a^2}b + {b^2}c + {c^2}a + {1 \over a} + {1 \over b} + {1 \over c}).\)

Với a, b, c là những số dương tùy ý.

Hướng dẫn giải

Theo bài 7 ta có:

\({a^2}b + {1 \over b} \ge 2a\), do đó

\(a \le {1 \over 2}({a^2}b + {1 \over b})\)

Tương tự: \(b \le {1 \over 2}({b^2}c + {1 \over c})\)

\(c \le {1 \over 2}({c^2}a + {1 \over a})\)

Cộng từng vế ba bất đẳng thức này ta được điều phải chứng minh.

Bài 63 trang 124 Sách bài tập (SBT) Toán Đại số 10

Cho a, b, c là ba số thực thỏa mãn điều kiện \({a^3} > 36\) và abc = 1

Xét tam thức bậc hai \(f(x) = {x^2} - {\rm{a}}x - 3ac + {{{a^2}} \over 3}\)

a) Chứng minh rằng \(f(x) > 0,\forall x\);

b) Từ câu a) suy ra \({{{a^2}} \over 3} + {b^2} + {c^2} > ab + bc + ca.\)

Hướng dẫn giải

a) f(x) có

\(\eqalign{
& \Delta = {a^2} - 4( - 3bc + {{{a^2}} \over 3}) = {{ - {a^2}} \over 3} + 12bc \cr 
& = {{ - {a^2}} \over 3} + {{12abc} \over a} = {{ - {a^2}} \over 3} + {{12} \over a} \cr} \)

\( = {{36 - {a^3}} \over {3a}} < 0\) (do giả thiết \({a^3} > 36\))

=> \(f(x) > 0,\forall x\)

b) \({{{a^2}} \over 3} + {b^2} + {c^2} > ab + bc + ca\)

\( \Leftrightarrow {{{a^2}} \over 3} + {(b + c)^2} - 2bc > bc + a(b + c)\)

\( \Leftrightarrow {(b + c)^2} - a(b + c) - 3bc + {{{a^2}} \over 3} > 0\)

\( \Leftrightarrow f(b + c) > 0\) đúng vì \(f(x) > 0,\forall x.\)

Bài 64 trang 124 Sách bài tập (SBT) Toán Đại số 10

Giải và biện luận bất phương trình sau theo tham số m.

\((m - 1).\sqrt x  \le 0\)

Hướng dẫn giải

Điều kiện của bất phương trình là \(x \ge 0\)

Nếu \(m \le 1\) \(m - 1 \le 0\) , bất phương trình đã cho nghiệm đúng với mọi \(x \ge 0\)

Nếu m > 1 thì m – 1 > 0, bất phương trình đã cho tương đương với

\(\sqrt x  \le 0 \Leftrightarrow x = 0\)

Trả lời: Nếu \(m \le 1\) thì tập nghiệm của bất phương trình là \({\rm{[}}0; + \infty )\)

           Nếu m > 1 thì tập nghiệm của bất phương trình là {0}

Bài 65 trang 125 Sách bài tập (SBT) Toán Đại số 10

Tìm a và b để bất phương trình

\((x - 2a + b - 1)(x + a - 2b + 1) \le 0\)

Có tập nghiệm là đoạn [0;2].

Hướng dẫn giải

Tập nghiệm của bất phương trình đã cho là đoạn \({\rm{[}}2a - b + 1; - a + 2b - 1]\) (nếu \(2a - b + 1 \le  - a + 2b - 1\)) hoặc là đoạn \({\rm{[}} - a + 2b - 1;2a - b + 1]\) (nếu \( - a + 2b - 1 \le 2a - b - 1\))

Do đó để tập nghiệm của bất phương trình đã cho là đoạn [0;2], điều kiện cần và đủ là:

\((1)\,\left\{ \matrix{
2a - b + 1 = 2 \hfill \cr 
- a + 2b - 1 = 0 \hfill \cr} \right.\)

hoặc 

\((2)\,\left\{ \matrix{
2a - b + 1 = 0 \hfill \cr 
- a + 2b - 1 = 2. \hfill \cr} \right.\)

Giải (1) ta được a = b = 1. Giải hệ (2) ta được \(a = {1 \over 3},b = {5 \over 3}\)

Đáp số: a = b = 1 hoặc \(a = {1 \over 3},b = {5 \over 3}\)

Bài 66 trang 125 Sách bài tập (SBT) Toán Đại số 10

Tìm a và b (b > -1) để hai bất phương trình sau tương đương

\((x - a + b)(x + 2a - b - 1) \le 0\) (1) 

Và \(\left| {x + a - 2} \right| \le b + 1.\) (2)

Hướng dẫn giải

(1) \( \Leftrightarrow x \in {\rm{[}}\alpha ;\beta {\rm{]}}\), trong đó

\(\left\{ \matrix{
\alpha = a - b \hfill \cr 
\beta = - 2a + b + 1 \hfill \cr} \right.\)

hoặc

\(\left\{ \matrix{
\alpha = - 2a + b + 1 \hfill \cr 
\beta = a - b. \hfill \cr} \right.\)

(2) \( \Leftrightarrow  - (b + 1) \le x + a - 2 \le b + 1\)

\(\Leftrightarrow  - b - a + 1 \le x \le  - a + b + 3\)

\(\Leftrightarrow x \in {\rm{[}} - b - a + 1; - a + b + 3]\)

(1) và (2) tương đương khi và chỉ khi \({\rm{[}}\alpha ;\beta {\rm{]}} = {\rm{[}} - b - a + 1; - a + b + 3]\), tức là:

\(\left\{ \matrix{
\alpha = - b - a + 1 \hfill \cr 
\beta = - a + b + 3 \hfill \cr} \right.\)

\( \Leftrightarrow (3)\left\{ \matrix{
a - b = - b - a + 1 \hfill \cr 
- 2a + b + 1 = - a + b + 3 \hfill \cr} \right.\)

hoặc

\(\left\{ \matrix{
- 2a + b + 1 = - b - a + 1 \hfill \cr 
a - b = - a + b + 3 \hfill \cr} \right.\)

Hệ phương trình (3) vô nghiệm. Hệ phương trình (4) có nghiệm duy nhất \(a = 3,b = {3 \over 2}\)

Đáp số: \(a = 3,b = {3 \over 2}\).

Bài 67 trang 125 Sách bài tập (SBT) Toán Đại số 10

a) Vẽ trên cùng một hệ trục tọa độ đồ thị của các hàm số sau

\(y = f(x) = \left| {x + 3} \right| - 1\);

\(y = g(x) = \left| {2x - m} \right|\); trong đó m là tham số

Xác định hoành độ các giao điểm của mỗi đồ thị với trục hoành.

b) Tìm các giá trị của tham số m để bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi giá trị của x

\(\left| {2x - m} \right| > \left| {x + 3} \right| - 1\)

Hướng dẫn giải

a) Đồ thị hàm số y = f(x) là đường gấp khúcu’Eu, cắt Ox tại A(-4; 0) và B(-2;0).

Đồ thị hàm số y = g(x) là đường gấp khúc v’Cv, cắt Ox tại \(C({m \over 2};0)\)

Khi m thay đổi, điểm C chạy trên Ox; tia Cv luông song song với đường thẳng y = 2x; tia Cv’ luôn song song với đường thẳng y = -2x.

b) Bất phương trình đã cho đúng với mọi x khi và chỉ khi đồ thị của hàm số y = g(x) nằm hoàn toàn phía trên đồ thị của hàm số y = f(x) hay C nằm giữa A và B nghĩa là \( - 4 < {m \over 2} <  - 2 \Leftrightarrow  - 8 < m <  - 4\)

Đáp số: \( - 8 < m <  - 4\)