Đề thi HSG Toán 7 huyện Nga Sơn năm 2011-2012

Phßng gi¸o dôc & ®µo t¹o HuyÖn nga s¬n ®Ò thi häc sinh giái líp 7 thcs cÊp huyÖn n¨m häc: 2011 - 2012 §Ò chÝnh thøc (§Ò thi gåm cã 01 trang) M«n thi: To¸n Thêi gian lµm bµi: 150 phót Ngµy thi: 13/ 04/ 2012 C©u 1 (4 ®iÓm ): TÝnh gi¸ trÞ c¸c biÓu thøc sau: a. A= b. B= c. C = C©u 2 (4 ®iÓm): T×m x biÕt: a. b. c. ( x-2)(x+3) < 0 C©u 3 (2 ®iÓm): Cho tØ lÖ thøc d. . Chøng minh r»ng: . C©u 4 (4 ®iÓm): Cho 3 sè x < y < z tháa m·n: x + y + z = 51. BiÕt r»ng 3 tæng cña 2 trong 3 sè ®· cho tØ víi 9, 12, 13. T×m x, y, z. C©u 5 (5 ®iÓm): Cho tam gi¸c ABC vu«ng c©n t¹i A. Gäi D lµ mét ®iÓm bÊt kú trªn c¹nh BC ( D kh¸c B vµ C). VÏ hai tia Bx; Cy vu«ng gãc víi BC vµ n»m trªn cïng mét nöa mÆt ph¼ng cã bê chøa BC vµ ®iÓm A. Qua A vÏ ®êng th¼ng vu«ng gãc víi AD c¾t Bx t¹i M vµ c¾t Cy t¹i N. Chøng minh: a. AMB = ADC. b. A lµ trung ®iÓm cña MN. C©u 6: (1 ®iÓm): Cho tam gi¸c ABC c©n t¹i A cã gãc A = 1000. Gäi M lµ mét ®iÓm n»m trong tam gi¸c sao cho TÝnh = 100 ; = 200. . ------------------------------HÕt------------------------------- Hä vµ tªn thÝ sinh:…………………….…………………..Sè b¸o danh:….. ……….. Híng dÉn chÊm Kú thi chän häc sinh giái líp 6,7,8 n¨m häc 2011 - 2012 M«n thi: To¸n líp 7 C© Tãm t¾t lêi gi¶i u C© u1 4.0 ® a) A= = . §iÓm 0.75 0.75 = b) B = 0.75 0.75 c) C = = = = C© u2 4.0 ® 0.5 = = a) 2x - 1 = 9 hoÆc 2x - 1 = - 9 x = 5 hoÆc x = - 4 0.5 0.5 0.5 b) x + 2 = 0 hoÆc x2 + 4 = 0 * NÕu x + 2 = 0 x=-2 2 * NÕu x + 4 = 0 x2 = -4 ( V« lý) VËy x = -2 c) ( x-2)(x+3) < 0 V× ( x-2)(x+3) < 0 Nªn x - 2 vµ x + 3 kh¸c dÊu.Mµ: x+3 > x-2 víi mäi x nªn suy ra: x - 2 < 0 vµ x + 3 > 0 -3 < x < 2. VËy: -3 < x < 2. d) x=7 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 C© u3 2.0 ® Ta cã: 0.75 0.75 . C© u4 4.0 ® 0.5 Theo ®Ò bµi x < y < z Suy ra: x+y < x+z < y+z. 0.5 Do 3 tæng cña 2 trong ba sè tØ lÖ víi 9, 12, 13 mµ: 9 < 12 <13 víi 0.5 x < y < z th× chØ cã x+y < x+z < y+z. 0.5 Tõ ®ã suy ra: (x+y): (x+z ):( y+z ) = 9: 12: 13 Hay: 0. 5 . ¸p dông tÝnh chÊt cña d·y tØ sè 0.5 b»ng nhau ta cã: 0.5 y x M A N 0. 5 x+y = 27; x+z = 36 ; x+z = 39 z = 51-27 = 24; = 12 y = 51 -36 = 15 ; B 0. 5 z = 51 -39 D C VËy x= 12; y = 15 vµ z = 24 C© u5 5.0 ® a) Theo gi¶ thiÕt ABC vu«ng c©n t¹i A Suy ra: . Mµ: Bx  BC Nªn XÐt AMB vµ ADC cã: + + AB = AC( c¹nh cña ABC c©n) + ( cïng phô víi ) AMB = ADC ( g.c,g) b) Theo c©u a) AMB = ADC AM = AD. Chøng minh t¬ng tù c©u a) ta còng cã: ANC = ADB AN = AD. AM = AN Suy ra A lµ trung ®iÓm cña MN. 0.5 0.5 0.75 0.5 0.75 1 1 C© u6 1.0 ® Trªn tia ®èi cña tia AC lÊy ®iÓm E A E sao cho CE = CB. Suy ra CBE c©n ®Ønh C. Mµ ABC c©n ®Ønh A cã = 100 suy ra Mµ M 0 B C 0.25 ( gt) L¹i cã: ( V× CMB = CME ( c.g.c) ) ME = MB ( hai c¹nh t¬ng øng) 0.25 Mµ EMB ®Òu MÆt kh¸c. Do: BE = BM (1) mµ 0.25 (2) Tõ (1) vµ (2) Suy ra EBA = MBA ( c.g.c) . Mµ 0.25 . VËy: Ghi chó: - Bµi h×nh häc nÕu häc sinh kh«ng vÏ h×nh hoÆc h×nh sai c¬ b¶n th× kh«ng chÊm ®iÓm. - Mäi c¸ch gi¶i kh¸c, nÕu ®óng vÉn cho ®iÓm tèi ®a t¬ng øng. ---------------------HÕt------------------------