DÃY SỐ LỒI.
Gửi bởi: Nguyễn Trần Thành Đạt 31 tháng 1 2021 lúc 5:59:06 | Được cập nhật: hôm qua lúc 11:15:42 Kiểu file: PDF | Lượt xem: 305 | Lượt Download: 0 | File size: 0.557903 Mb
Nội dung tài liệu
Tải xuống
Link tài liệu:
Các tài liệu liên quan
- Đề thi học kì 2 môn Sinh học lớp 12 năm học 2017 - 2018 trường THPT Tiến Thịnh - Hà Nội
- Đề thi học kì 1 Toán 12 năm 2015-2016 ĐỀ THAM KHẢO SỐ 1
- Đề thi học kì 1 Toán 12 năm 2015-2016 ĐỀ THAM KHẢO SỐ 20
- Đề thi học kì 1 Toán 12 năm 2015-2016 ĐỀ THAM KHẢO SỐ 19
- Đề thi học kì 1 Toán 12 năm 2015-2016 ĐỀ THAM KHẢO SỐ 18
- Đề thi học kì 1 Toán 12 năm 2015-2016 ĐỀ THAM KHẢO SỐ 17
- Đề thi học kì 1 Toán 12 năm 2015-2016 ĐỀ THAM KHẢO SỐ 14
- Đề thi học kì 1 Toán 12 năm 2015-2016 ĐỀ THAM KHẢO SỐ 16
- Đề thi học kì 1 Toán 12 năm 2015-2016 ĐỀ THAM KHẢO SỐ 15
- Đề thi học kì 1 Toán 12 năm 2015-2016 ĐỀ THAM KHẢO SỐ 13
Có thể bạn quan tâm
Thông tin tài liệu
TÌM HIỂU SÂU THÊM TOÁN SƠ CẤP
DÃY SỐ LỒI
Kiều Đình Minh – Nguyễn Tiến Long, THPT chuyên Hùng Vương, Phú thọ
Dãy số lồi đã từng xuất hiện trong những năm 70 của thế kỷ trước nhưng chưa được
quan tâm đúng mức, mặc dù dãy số này cũng có những ứng dụng nhất định. Ngày nay
người ta cũng đã nghiên cứu khá nhiều về dãy số lồi và các mở rộng của nó. Trong bài
báo này chúng tôi muốn trình bày một cách cơ bản, có hệ thống và tương đối đầy đủ
các kiến thức cơ sở về dãy số lồi cũng như những áp dụng của nó trong việc giải các
bài toán thi Olympic.
1. ĐỊNH NGHĨA
Định nghĩa 1. Dãy các số thực an 1 được gọi là lồi nếu ak 1 ak 1 2ak với mọi
k 2 và gọi là lõm nếu thỏa mãn ak 1 ak 1 2ak với mọi k 2.
Định nghĩa 2. Dãy số dương an 1 được gọi là lồi lôgarit nếu ak 1ak 1 ak2 , k 2 và
gọi là lõm lôgarit nếu ak 1ak 1 ak2 , k 2.
2. TÍNH CHẤT
Định lý 1. Cho dãy số lồi an , khi đó với mọi n l k 1 thì anl anl ank ank .
Chứng minh: Đặt ai ai 1 ai , i 1, suy ra ai 1 ai , i 1. Ta có
an l an k
Vì ai 1 ai , i 1, nên suy ra
n l 1
i nk
n l 1
a ; a
i nk
ai
i
n k
an l
n 1 k
a
i n l
n 1 k
a . Do đó a
i n l
i
n l
i
anl ank ank .
Định lý 2. Với mọi dãy số lồi an , thì max a1 , a2 ,..., an max a1 , an .
Chứng minh.
- Nếu với mọi k 1, ta có ak ak 1 , khi đó max a1 , a2 ,..., an a1 max a1; an .
- Nếu tồn tại k nhỏ nhất, k 1 thoả mãn ak ak 1 , ta có:
ak ak 2 2ak 1 ak 1 ak 2 ak ak 1 ak 2 ... an . Mặt khác ta có a1 a2 ... ak .
Như vậy, ta suy ra max a1 , a2 ,..., an max a1; an .
Trong cả 2 trường hợp, ta có điều phải chứng minh.
Định lý 3. Cho an 1 lồi và bị chặn. Khi đó
a) a1 a2 ;
b) an 1 hội tụ đến một giới hạn hữu hạn a ;
Chứng minh
a) Đặt a1 a2 a1 t. Giả sử t 0. Từ giả thiết ta có
an1 an an an1 an1 an2 ... a2 a1 t , suy ra an1 an t an1 2t ... a1 nt.
Do t 0 nên cho n , thì an1 , mâu thuẫn với tính bị chặn của an 1 . Vậy
t 0 hay a1 a2 .
b) Theo trên dễ suy ra an 1 giảm. Lại vì an 1 bị chặn nên nó có giới hạn hữu hạn.
1
3. MỘT SỐ THÍ DỤ MINH HỌA
Thí dụ 1. Cho an 0 là một dãy số lồi. Chứng minh rằng
a1 a3 ... a2 n 1 a0 a2 ... a2 n
n
n 1
Lời giải
Ta chứng minh bằng quy nạp. Với n 1, kết luận đúng. Giả sử khẳng định đúng với
n, ta chứng minh với n 1, hay
n 2 a1 a3 ... a2n1 n 1 a0 a2 ... a2n2
Do n 1 a1 a3 ... a2n1 n a0 a2 ... a2 n nên ta chỉ cần chứng minh
a1 a3 ... a2 n1 n 2 a2 n1 a0 a2 ... a2 n n 1 a2 n2
Điều này đúng vì theo định lý 1 và định nghĩa ta có
a1 a2 n 1 a0 a2 n 2
a a a a
2
2n2
3 2 n 1
...
a a a
2 n 2 a2 n 2
2 n 1 2 n 1
a2 n 1 a2 n 1 a2 n a2 n 2
Cộng theo vế các bất đẳng thức cùng chiều ta được điều phải chứng minh.■
Thí dụ 2. Cho ai 1
n
1 k
n
là một dãy lồi, đặt Ak ai . Chứng minh rằng Ak 1 cũng là
k i 1
một dãy lồi.
Lời giải
Cách 1: Định nghĩa f k k k 1 k 1 2 Ak Ak 1 Ak 1 , k 2,3,..., n 1. Từ giả thiết
suy ra
f k f k 1 k k 1 k 1 2 Ak Ak 1 Ak 1 k 1 k k 2 2 Ak 1 Ak Ak 2
k
k 1
k 1
k 1
k
k 2
i 1
i 1
i 1
i 1
i 1
i 1
2 k 1 k 1 ai k k 1 ai k k 1 ai 2k k 2 ai k 1 k 2 ai k k 1 ai
k k 1 2ak ak 1 ak 1 0
Tức là f k f k 1 , k 3, 4,..., n 1. Vì vậy
f k f k 1 ... f 2 6 2a2 a3 a1 0, suy ra 2 Ak Ak 1 Ak 1 , k 2,3,..., n 1. ■
Cách 2 : Chứng minh bằng quy nạp :
Với k 1 thì ta dễ dàng có điều phải chứng minh do dãy an lồi.
Giả sử khẳng định đúng đến l , ta có :
Ak 1 Ak 1 2 Ak , k l k 2 k ak 1 2 a1 a2 ... ak 1 k 2 k 2 ak , k l
Ta chứng minh Al Al 2 2 Al 1 l 2 1 al 2 2 a1 a2 ... al l 2 3l al 1.
Thật vậy, do giả thiết quy nạp :
l
2
1 al 1 2 a1 a2 ... a l 1 l 2 1 2 a1 l 2 1 a l 2 2 a1 a 2 ... a l 1 a l l 2 1 a l 1
l 2 1 al 2 al 2l 2 2l a l 1 l 2 1 a l 2 2 a 1 a 2 ... a l l 2 3l a l 1.
Vậy có điều phải chứng minh.■
n
Thí dụ 3 (Baltic Way 2014) Cho dãy số ai 0 n 3 với a0 an 0 thỏa mãn
ai 1 2ai ai 1 ai2 , i 1, 2,..., n 1.
2
Chứng minh rằng ai 0, i 1, 2,..., n 1.
Lời giải
Giả thiết suy ra dãy đã cho lồi. Áp dụng định lý 2 ta có ngay ai 0, i 0,1, 2,..., n. ■
Thí dụ 4 (IMO SL 1988). Cho ak 1 là dãy các số thực lồi không âm sao cho
k
a
j 1
j
1, k 1, 2,.... Chứng minh rằng
0 ak ak 1
2
, k 1, 2,...
k2
Lời giải
Từ giả thiết suy ra dãy an bị chặn, từ đó áp dụng định lý 3 , ta suy ra ak ak+1, mọi k.
Vì vậy ak ak 1 0, k.
2
. Thế thì với i k , ta có
k2
2k 1 i
ai
, i 1, 2,..., k.
k2
Giả sử tồn tại k sao cho ak ak 1
Suy ra
a1 a2 ... ak
2 4
2k k k 1
2 ... 2
1, điều này là không thể.
2
k
k
k
k2
Vì vậy
2
, k . ■
k2
n
Thí dụ 5 (IMO LL 1978) Tìm một số c 0 sao cho với mọi dãy lõm dương ak k 1
ak ak 1
ta đều có
2
n
n
a
c
n
1
ak2
k
k 0
k 0
Lời giải
Bất đẳng thức trong đề bài tương đương với
n
ak2 2
k 0
Trong 2
1i j n
1i j n
n
ai a j c n 1 ak2
k 0
ai a j chứa các số có dạng
ai ai j ai j
a
i j
ai j
2
2
1
1
ai2 j ai2 j , i j 1.
2
2
Với mọi i, ta xét có bao nhiêu cặp dạng trên
n
+) 1 i . Có các cặp ai 1 , ai 1 , ai 2 , ai 2 ,..., a0 , a2i . Suy ra
2
ai2 ai ai 1 ai 1 ... ai a0 a2i ai2
1 2
1
1
ai 1 ai21 ... a02 a22i ai2 a02 a12 ... a 2 n
2
2
2
2
2
n
+) 1 i n 1. Có các cặp an , a2i n , an1 , a2i n1 ,..., ai 1 , ai 1 . Suy ra
2
3
ai2 ai ai 1 ai 1 ... ai an a2i n
1 2 1 2
ai a2i n ... an2
2
2
Vậy
n
2
1 n
1 2
1
2
2
2
a
a
a
a
...
a
a22i n ... an2
k
k
0
1
2
i
2
2 i 1
2 i n 1
k 0
k 0
2
2
n
n
2
Nếu n chẵn thì ta có
n
1 n
1 2
1 n
1 n
1 n n
n2 n 2
VP ak2 a02 a12 ... a22i a22i n ... an2 ak2 . ak2
ak
2 k 0
2 i 1
2 i n 1
2 k 0
2 2 k 0
4 k 0
2
Nếu n lẻ thì ta có
n 1
1 n
1 2
1 n
1 n
1 n 1 n 2 n 1 n 2
VP ak2 a02 a12 ... a22i a22i n ... an2 ak2 .
ak
ak 4
2 k 0
2 i 1
2 i n 1
2 k 0
2 2 k 0
k 0
2
1
Do đó, ta có thể chọn c . ■
4
n
f n bé nhất sao cho với mọi k 1, 2,..., n , ta có ak
n
a 0. Tìm biểu thức
f n max a ; a .
Thí dụ 6 (China 2009) Cho dãy số lồi ak 1 n 3 sao cho
i 1
i
1
n
Lời giải
Trước hết, định nghĩa dãy ak như sau :
a1 1, a2
2n k 2
n 1
n 1
, k 3, 4,..., n.
và ak
n 1
n 1 n 1 n 2
Thì a1 a2 ... an 0 và 2ak ak 1 ak 1 , k 2,3,..., n 1. Trong trường hợp này, dễ kiểm
n 1
.
n 1
Tiếp theo, giả sử ak là dãy thỏa mãn bài toán. Ta sẽ chứng minh bất đẳng thức sau
tra rằng f n
thỏa mãn
n 1
max a1 , an , k 1, 2,..., n
n 1
lồi nên an an1 an1 an2 ... a2 a1. Suy ra
ak
Do ak
k 1 an a1 k 1 an an1 an1 an2 ... a2 a1
n 1 ak ak 1 ak 1 ak 2 ... a2 a1 n 1 ak a1
Suy ra
k 1
1
k 1 an n k a1 1
an a1 a1
n 1
n 1
Tương tự, với k cố định tùy ý, k 1, n và với j 1, 2,..., k tùy ý, ta có
ak
aj
1
j 1 ak k j a1
k 1
Vì vậy, với j k , k 1,..., n , ta có
aj
1
j k an n j ak
n 1
4
Hệ quả, ta có
k
1 k
k
j 1 ak k j a1 a1 ak ,
k 1 j 1
2
j 1
n
n
1
n 1 k
aj
j k an n j ak
ak an .
n k j k
2
j k
aj
Lấy tổng của hai bất đẳng thức trên, ta được
k
n
j 1
j k
ak a j a j
k
n 1 k
k
n 1
n 1 k
ak
an .
a1 ak
ak an a1
2
2
2
2
2
Vì vậy, ta có
an
1
ka1 n 1 k an
n 1
2
Từ 1 & 2 , với k 2,3,..., n 1, ta được
1
1
n 1
ak max
ka1 n 1 k an
max a1 ; an
k 1 an n k a1 ;
n 1
n 1
n 1
n 1
.■
Tóm lại : f n bé nhất bằng
n 1
Thí dụ 7 (USA MO 1993) Cho a0 , a1 , a2 ,... là dãy lõm lôgarit. Chứng minh rằng
a0 a1 ... an a1 a2 ... an 1 a0 a1 ... an 1 a1 a2 ... an
.
.
, n 1
n 1
n 1
n
n
Lời giải
Bổ đề 1 :
k 1
k
k
k 1
a
a
a0 , k
Chứng minh : Ta chứng minh bổ đề bằng quy nạp. Với k 1 thì hiển nhiên đúng
a12 a0 a2 . Giả sử bất đẳng thức đúng đến k j , ta chứng minh bất đẳng thức cũng
đúng đến k j 1.
Thật vậy
a jj 1
a jj1
a0 a
j 2
j 1
a 2j 1j 1
a jj 1
a0 a
j 2
j 1
j 1
j 2 0
a a
a jj12
a jj12
a0 .
n 1
Bổ đề 2 : a1 a2 a3 ...an1 a0 an 2 , n 2
Chứng minh : Ta chứng minh bổ đề bằng quy nạp.
1
Với n 2 thì a12 a0 a2 a1 a0 a2 2 . Giả sử khẳng định đúng đến n m. Ta chứng
minh khẳng định đúng đến n m 1. Thật vậy
a1a2 a3 ...am1 a0 am
m 1
2
m 1
m 1
a1a2a3 ...am1am a0 2 am2
1
Theo bổ đề 1 ta có
m 1
1
m
1
amm 1
am 2
a02 am21
2
a
a
0
0 1
m
m 1
m
am 1
2
am 1
am 2
2
Lấy 1 và 2 nhân vế theo vế, ta được
m
m
a1a2 a3 ...am a02 am21 a0 am1
m11
2
.
Quay trở lại bài toán : Ta viết kết quả bổ đề 2 như sau
5
2
2n
n
1
2n
a1a2 a3 ...an1 n1 a0 an a1a2 a3 ...an1 n 1 a0an n1 a0an n1 a1a2 ...an1 n 1 a0an
2
n
2
1
2
a0n 1a12 n a22 n a32 n ...an2n1ann 1 a0 an
Theo bất đẳng thức AM – GM, suy ra
a0 a1 ... an a1 a2 ... an1 a a
n2 1
a0 a1 ... an1 a1 a2 ... an1
0 n
n 2 n 2 1
a0 an an a1 ... an 1
n2
n 2 n 2 1
a0 a1 ... an1 a1 a2 ... an1 a0 an an a1 ... an1 an a1 a2 ... an1
a0 a1 ... an1 a1 a2 ... an1 an a1 ... an1 a0 ... an1 a1 ... an1 an a0 ... an1
n 2 n 2 1
n2
n2
n2 1
n2 1
n2 1
n2
a a ... an 1 a0 ... an 1 a1 ... an 1 an
a ... an 1
0
n 1
n 1
n 1
n 1
n
n
n
a a ... an a1 a2 ... an 1 a0 ... an 1 a1 ... an
0 1
.
.
.
n 1
n 1
n
n
n2
.■
Trên đây là một số thí dụ cơ bản về dãy số lồi. Để hiểu thêm về vấn đề này xin mời
bạn đọc luyện tập qua một số bài tập sau
4. BÀI TẬP VẬN DỤNG
Bài 1 (IMO SL 1975) Cho an 1 là dãy số lồi sao cho 0 an 1. Chứng minh rằng
0 n 1 an an1 2, n 1, 2,3,...
Bài 2 (IMO LL 1978) Giả sử bn n 0,1,... là một dãy các số dương sao cho
nbn n 0,1,... lồi với cách chọn 0 tùy ý. Chứng minh rằng dãy
log bn n 0,1,... là lồi.
Bài 3 (IMO LL 1978) Chứng minh rằng c
3
là hằng số tốt nhất thỏa mãn
4
2
N
N
a
c
N
1
an2 với mọi dãy dương lõm an n 0,1,..., N .
n
n 0
n 0
Bài 4 (IMO SL 1976) Cho a0 , a1 ,..., an , an1 là dãy các số thực thỏa mãn điều kiện sau
a0 an1 0 và ak 1 2ak ak 1 1, k 1, 2,..., n.
k n 1 k
, k 0,1,..., n 1.
2
Bài 5 (Baltic Way 1994) Cho a1 , a2 ,..., a9 là các số thực không âm và a1 a9 0 và ít
Chứng minh rằng ak
nhất một trong các số này khác 0. Chứng minh rằng có chỉ số i, 2 i 8 sao cho
ai 1 ai 1 2ai . Phát biểu còn đúng không khi thay số 2 trong bất đẳng thức bởi 1,9?
Bài 6 (China TST 2008) Tìm hằng số M lớn nhất sao cho với số nguyên n 3 tùy
ý, tồn tại hai dãy các số thực dương a1 , a2 ,..., an và b1 , b2 ,..., bn thỏa mãn đồng thời
n
a)
b
k 1
k
1; 2bk bk 1 bk 1 , k 2,3,..., n 1;
6
k
b) ak2 1 ai bi , k 1, 2,..., n; an M .
i 1
Bài 7 (China TST 2009) Cho số nguyên n 2. Tìm hằng số n lớn nhất có tính
chất sau: Nếu dãy các số thực lõm a0 , a1 ,..., an thỏa mãn 0 a0 a1 a2 ... an thì
2
n
n
ia
n
ai2
i
i 1
i 1
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1]. Chikkanna R. Selvaraj, Suguna Selvaraj, Summability Matrices and Mean – Convex Sequense,
Int. J. Contemp. Math. Sciences, Vol.8, 2013, No. 19
[2]. Feng Qi, Bainiguo, Monotonicity of Sequences Involving Convex Function and Sequence, 2000
Mathematics Subject Classification.
[3]. Katarina Nicova, A Note On Higher – Order Convexity of Sequences, Int. J. of Pure and Applied
Mathematics, Volume 83 No. 1, 2013
[4]. Lily L.Liu, Yi Wang, On the log – Convexity of Combinatorial Sequenses, Partially Supported by
NSF of China 10471016
[5]. A. McD. Mercer, Polynomials and Convex Sequence Inequalities, Journal of Inequalities In Pure
and Applied Mathematics, Volume 6, Issue 1, Article 8, 2005
[6]. Moussa Ahmia, Hacine Belbachir, Preserving log – convexity for Generalized Pascal triangles,
The Electronic Journal of Combinatorics 19(2) (2012)
[7]. Shanhe Wu, Lokenath Debnath, A Computers and Mathematics with Applications 54 (2007)
[8]. Zinelabidine LaTreuch, Benharrat Belaidi, New Inequalities for Convex Sequences
[9]. IMO Shortlist (1959 – 2016)
[10]. Diễn đàn AoPS.
7