bài tập nâng cao hình học lớp 7

BÀI NÂNG CAO HÌNH 7Ậ ỌBÀI Cho ∆ABC nh n. phía ngoài ∆ABC các ABD vàềACE. là giao BE và CD. Ch ng minh ng:ể ằa) ∆ABE ∆ADC b) ·0120BMC=Bài Cho tam giác ABC có ba góc nh n, ng cao AH. mi ngoàiọ ườ ềc tam giác ABC ta các tam giác vuông cân ABE và ACF nh Aủ ậlàm nh góc vuông. EM, FN cùng vuông góc AH (M, thu cỉ ộAH). a) Ch ng minh: EM HC NH.ứ b) Ch ng minh: EN // FM.ứBài 3: Cho nh hình vuông ABCD có dài là 1. Trên các nh AB, ADạ ạl các đi P, sao cho chu vi APQ ng 2. ằCh ng minh ng ằ·045PCQ= .Bài 4: Cho tam giác vuông cân ABC (AB AC), tia phân giác các góc Bủvà AC và AB và D.ắ ượ ạa) Ch ng minh ng: BE CD; AD AE.ứ ằb) là giao đi BE và CD. AI BC M, ch ng minhọ ứr ng các MAB; MAC là tam giác vuông cân.c) và các ng th ng vuông góc BE, các ngừ ườ ườth ng này BC và H. Ch ng minh ng KH KC.ẳ ượ ằBài Cho tam giác cân ABC (AB AC ). Trên nh BC đi D, trênạ ểtia tia CB đi sao cho BD CE. Các ng th ng vuôngố ườ ẳgóc BC và AB, AC M, N. Ch ng minh ng:ớ ượ ằa) DM ENb) ng th ng BC MN trung đi MN.ườ ủc) ng th ng vuông góc MN luôn đi qua đi cườ ốđ nh khi thay trên nh BC.ị ạBài 6: Cho tam giác vuông ABC: µ090A= ng cao AH, trung tuy ườ ếAM. Trên tia tia MA đi sao cho DM MA. Trên tia tia ốCD đi sao choấ CI CA, qua ng th ng song song AC ng th ng AH ườ ườ ẳt E. ạCh ng minh: AE BC.ứBài Cho ba B, H, th ng hàng, BC 13 cm, BH cm, HC 9ể ẳcm. tia Hx vuông góc đư ng th ng BC. ẳL thu tia Hx sao cho HA cm.ấ ộa) ∆ABC là gì Ch ng minh ó.b) Trên tia HC sao cho HD HA. đư ng th ngờ ẳsong song AH AC E. Ch ng minh: AE ABứBài Cho tam giác ABC, là trung đi BC. Trên tia ủtia MA đi sao cho ME MA. Ch ng minh ng:ấ ằa) AC EB và AC // BEb) là đi trên AC là đi trên EB sao cho AI EK ểCh ng minh ba đi th ng hàngứ ẳc) ẻEH BC^ ()H BCÎ Bi ế·HBE 50 ·MEB =25 Tính ·HEM và ·BMEBài Cho tam giác ABC cân có ạµ0A 20= tam giác DBC (D ền trong tam giác ABC). Tia phân giác góc ABD AC M. ạCh ng minh:ứa) Tia AD là phân giác góc BAC b) AM BCủBài 10 Cho hình vuông ABCD, đi thu nh CD. Tia phân giác ủgóc ABE AD K. Ch ng minh AK CE BE.ắ ứĐáp ánBÀI Cho ∆ABC nh n. phía ngoài ∆ABC các ABD vàềACE. là giao BE và CD. Ch ng minh ng:ể ằa) ∆ABE ∆ADC b) ·0120BMC=Gi i:ảa) Xét ∆ABE và ∆ADC AB AD; AE AC vì tam giác u)ề ···060BAE DAC BAC= +nên ∆ABE ∆ADC c)b) Ta có ···BMC MCE MEC= t/c góc ngoài) ···MCA ACE MEC+ +T ∆ABE ∆ADC ừ··MCA MEA= góc ng ng)ặ ươ ứnên ······BMC ACE MEC MEA ACE AEC= 60 60 120 0Bài Cho tam giác ABC có ba góc nh n, ng cao AH. mi ngoàiọ ườ ềc tam giác ABC ta các tam giác vuông cân ABE và ACF nh Aủ ậlàm nh góc vuông. EM, FN cùng vuông góc AH (M, thu cỉ ộAH). a) Ch ng minh: EM HC NH.ứ b) Ch ng minh: EN // FM.ứGi i: ảa) Ta có AHB EMAD =D ch gn)Vì ··090AHB EMA= AB AE gt) ··BAH AEM= cùng ph ớ·MAE )Suy ra EM AH (1) ng ươ ựAHC FNAD =D ch gn)HC NAÞ (2) (1) và (2). Suy ra EM HC AH NA NHừb) ừAHC FNAD =D AH NFÞ 3)T (1) và (3). Ta có EM MF ừm khác EM // NF cùng vuông góc AH)ặ ớTa suy ra EN // FMBài Cho nh hình vuông ABCD có dài là 1. Trên các nh AB, ADạ ạl các đi P, sao cho chu vi APQ ng 2. ằCh ng minh ng ằ·045PCQ= .Gi i:ả Trên nh AB đi kì.ạ ấV ng tròn(P; PB) và ng tròn C;CB) ườ ườC nhau I. ọPI ADÇ Ta có APQD có chu vi ng cm.ằTh y: ậ( )PBC BIC cD =D ··ICP BCPÞ (*)Nên ··090PIC PBC= =Suy ra )QIC QDC ch cgvD =D -··;IQ QD ICQ DCQÞ (**)V Chu vi ậAPQ AP PQ AQ AP PI IQ AQD AP+ PB QD AQ AB AD 2T (*) và (**). Ta có ừ······0090452 2ICB ICD BCDPCQ PCI ICQ+= =Bài 4: Cho tam giác vuông cân ABC (AB AC), tia phân giác các góc Bủvà AC và AB và D.ắ ượ ạa) Ch ng minh ng: BE CD; AD AE.ứ ằb) là giao đi BE và CD. AI BC M, ch ng minhọ ứr ng các MAB; MAC là tam giác vuông cân.c) và các ng th ng vuông góc BE, các ngừ ườ ườth ng này BC và H. Ch ng minh ng KH KC.ẳ ượ ằGi i:a) Ta có: ả··004522, 52ABE ACD= =Nên )ACD ABE gD =D -BE CDÞ =; AD AE.b) Vì ABCD vuông cân Aạnên AM là ng trung tuy thì ườ ếAM cũng là ng cao.ườSuy ra MAB; MAC là các tam giác vuông Có góc ng 45ằ là tam giác vuông cân.c) ABKD có BE là ng cao, là ng ườ ườtrung tuy nên ếABKD cân B.ạSuy ra BE cũng là ng trung tr ườ ựNên EK EA )AEB KEB cÞ =D -·090EKCÞ =; ·045KCE= nên EKCD vuông cân nên KC KE và ·045CEK= (*)nên EK // AM Suy ra EKHD vuông cân Kạ( Vì µ090 ;K=Bài Cho tam giác cân ABC (AB AC0. Trên nh BC đi D, trênạ ểtia tia CB đi sao cho BD CE. Các ng th ng vuôngố ườ ẳg?c BC t? và AB, AC M, N. Ch ng minh ng:ớ ượ ằa) DM ENb) ng th ng BC MN trung đi MN.ườ ủc) ng th ng vuông góc MN luôn đi qua đi cườ ốđ nh khi thay trên nh BC.ị ạGi i: a) Ta có ảDMB ENCD =D g-c-g) Vì ··MBD NCE= cùng ng ằ·ACB )Nên MD NE.b) Xét DMID và ENID µµ090D E= MD NE cmt) ··MID NIE= Hai góc nh)ố ỉNên DMID ENID cgv gn)MI NIÞ =c) và các ng th ng vuông ườ ượGóc AB và AC nhau J.ớ ạTa có CJ( )ABJ gD =D -JB JCÞ =Nên thu AL ng trung tr ng BCộ ườ ớM khác ừDMB ENCD =D Câu a)Ta có BM CN BJ CJ cm trên) ··090MBJ NCJ= =Nên BMJ CNJD =D c-g-c)MJ NJÞ hay ng trung tr MNườ ủLuôn đi qua đi nh.ể ịBài 6: Cho tam giác vuông ABC: µ090A= ng cao AH, trung tuy ườ ếAM. Trên tia tia MA đi sao cho DM MA. ểTrên tia tia CD đi sao choố CI CA, qua ng th ng song songẽ ườ AC ng th ng AH E. ườ ạCh ng minh: AE BC.ứa) Ta có )AMB DMC cD =D -AB DCÞ =Suy ra )ABC CDA cD =D -M khác ặ·0: 90 ;ACI ACI AC CID vuông cânACJ ICJD =D( CH -CGV)·¶ACJ ICJÞ hay CJ là phân giác ủ·ACI hay ACJD vuông cân J.ạNên AJ ACXét JAED và ABCD ··090BAC JAE= AJ AC cmt); ···( )EAJ BAC BAH= =Nên JAED ABCD g-c-g) )AE BCÞ