Bài 4 (SGK trang 100)

Gửi bởi: Sách Giáo Khoa Vào 26 tháng 12 2018 lúc 11:13:41

Sử dụng phương pháp tính nguyên hàm từng phần, hãy tính :

a) $\int x\ln\left(1+x\right)dx$

b) $\int\left(x^2+2x-1\right)e^xdx$

c) $\int x\sin\left(2x+1\right)dx$

d) $\int\left(1-x\right)\cos xdx$

a) Áp dụng phương pháp tìm nguyên hàm từng phần:

Đặt u= ln(1+x)

dv= xdx

=> $du=\frac{1}{1+x}dx$ , $v=\frac{x^{2}-1}{2}$

Ta có: ∫xln(1+x)dx = $\frac{1}{2}.(x^{2}-1)ln(1+x)-\frac{1}{2}\int (x-1)dx)$

= $\frac{1}{2}.(x^{2}-1)ln(1+x)-\frac{1}{4}x^{2}+\frac{x}{2}+C$

b) Cách 1: Tìm nguyên hàm từng phần hai lần:

Đặt u= (x²+2x -1) và dv=e^xdx

Suy ra du = (2x+2)dx, v = e^x

. Khi đó:

∫(x²+2x - 1)e^xdx = (x²+2x - 1)e^xdx - ∫(2x+2)e^xdx

Đặt : u=2x+2; dv=e^xdx

=> du = 2dx ;v=e^x

Khi đó:∫(2x+2)e^xdx = (2x+2)e^x - 2∫e^xdx = e^x(2x+2) – 2e^x+C

Vậy

∫(x²+2x+1)e^xdx = e^x(x²-1) + C

Cách 2: HD: Ta tìm ∫(x²-1)e^xdx. Đặt u = x²-1 và dv=e^xdx.

Đáp số : e^x(x²-1) + C

c) Đáp số: $-\frac{x}{2}cos (2x+1)+ \frac{1}{4}sin(2x+1)+C$

HD: Đặt u=x ; dv = sin(2x+1)dx

d) Đáp số : (1-x)sinx - cosx +C.

HD: Đặt u = 1 - x ;dv = cosxdx