50 đề thi học sinh giỏi

§Ò sè 1: ®Ò thi häc sinh giái huyÖnM«n To¸n Líp (Thêi gian lµm bµi 120 phót)Bµi 1. T×m gi¸ trÞ nguyªn ¬ng: a) 1.16 28n n= b) 27 243Bµi 2. Thùc hiÖn phÐp tÝnh: ... 49( ... )4.9 9.14 14.19 44.49 89- -+ +Bµi 3. a) T×m biÕt: 2x3x2 b) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña =x20072006x Khi thay ®æiBµi 4. HiÖn nay hai kim ®ång hå chØ 10 giê. Sau Ýt nhÊt bao l©u th× 2kim ®ång hå n»m ®èi diÖn nhau trªn mét êng th¼ng.Bµi 5. Cho tam gi¸c vu«ng ABC 1v), êng cao AH, trung tuyÕnAM. Trªn tia ®èi tia MA lÊy ®iÓm sao cho DM MA. Trªn tia ®èi tia CDlÊy ®iÓm sao cho CI CA, qua vÏ êng th¼ng song song víi AC c¾t® êng th¼ng AH t¹i E. Chøng minh: AE BC§¸p ¸n ®Ò 1Bµi 1. T×m gi¸ trÞ nguyªn ¬ng: (4 ®iÓm mçi c©u ®iÓm) a) 1.16 28n n= => 4n-3 => 4n => b) 27 243 => => 4Bµi 2. Thùc hiÖn phÐp tÝnh: (4 ®iÓm) ... 49( ... )4.9 9.14 14.19 44.49 89- -+ (1 ... 49)( ... ).5 14 14 19 44 49 12- +- (12.50 25) 5.9.7.89 9( ).5 49 89 5.4.7.7.89 28- +- =- =-1Bµi 3. (4 ®iÓm mçi c©u ®iÓm) a) T×m biÕt: 2x3x2 Ta cã: => 2. NÕu 23 th× 2x3x2 => 2x => (Tho¶ m·n) NÕu 23 Th× 2x3x2 => 2x => 35(Tho¶ m·n) NÕu Kh«ng cã gi¸ trÞ cña tho¶ m·n b) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña =x20072006x Khi thay ®æi NÕu 2006 th×: 2006 2007 2x 4013 Khi ®ã: -2006 => 2x 4013 4012 4013 => NÕu 2006 2007 th×: 2006 2007 NÕu 2007 th× 2006 2007 2x 4013 Do 2007 => 2x 4013 4014 4013 => 1. VËy ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt lµ khi 2006 2007Bµi 4. HiÖn nay hai kim ®ång hå chØ 10 giê. Sau Ýt nhÊt bao l©u th× 2kim ®ång hå n»m ®èi diÖn nhau trªn mét êng th¼ng. (4 ®iÓm mçi) Gäi x, lµ sè vßng quay cña kim phót vµ kim giê khi 10giê ®Õn lóc kim ®èi nhau trªn mét êng th¼ng, ta cã: 31 (øng víi tõ sè 12 ®Õn sè trªn ®«ng hå) vµ 12 (Do kim phót quay nhanh gÊp 12 lÇn kim giê) Do ®ã: 33111:3111yx1y12x112yx2 114x)vòng(3312 (giê) VËy thêi gian Ýt nhÊt ®Ó kim ®ång hå tõ khi 10 giê ®Õn lóc n»m ®èi diÖn nhau trªn mét êng th¼ng lµ 114 giêBµi 5. Cho tam gi¸c vu«ng ABC 1v), êng cao AH, trung tuyÕn AM. Trªn tia ®èi tia MA lÊy ®iÓm sao cho DM MA. Trªn tia ®èi tia CD lÊy ®iÓm sao cho CI CA, qua vÏ êng th¼ng song song víi AC c¾t êng th¼ng AH t¹i E. Chøng minh: AE BC (4 ®iÓm mçi) êng th¼ng AB c¾t EI t¹i ABM DCM v×: AM DM (gt), MB MC (gt), ·AMB DMC (®®) => BAM CDM =>FB // ID => ID AC Vµ FAI CIA (so le trong)(1) IE // AC (gt) => FIA CAI (so letrong) (2) Tõ (1) vµ (2) => CAI FIA (AIchung) => IC AC AF(3) vµ FA 1v(4) MÆt kh¸c EAF BAH (®®), BAH ACB cïng phô ABC) => EAF ACB(5)3D MTõ (3), (4) vµ (5) => AFE CAB =>AE BC§Ò sè 2: ®Ò thi häc sinh giái huyÖnM«n To¸n Líp (Thêi gian lµm bµi 120 phót)B 1:(4 m)a) Th hi ph nh: ()()12 10 26 39 32 52 .3 .9 .7 25 .49A125.7 .142 .3 .3- -= -++b) Ch ng minh ng nguy ươ ng th 23 2n n+ +- -chia cho 10B 2:(4 m)Tìm bi t:a ()1 23, 23 5x- +b ()()1 117 0x xx x+ +- =4B 3: (4 m)a) đượ chia th nh theo 1: :5 Bi ng ng nh ph ươ ngc ba ng 24309. A.b) Cho cc =. Ch ng minh ng: 22 2a ab b+=+B 4: (4 m)Cho tam giác ABC, trung BC. Tr tia đố tia MA Esao cho ME MA. Ch ng minh ng:a) AC EB AC // BEb) tr AC tr EB sao cho AI EK Ch ng minh ba th ng ngc) EH BC^ ()H BCÎ Bi ·HBE 50 ·MEB =25 .Tính ·HEM ·BMEB 5: (4 m)Cho tam giác ABC cân µ0A 20= tam gi đề DBC (D trong tam gi ABC). Tia ph gi ABD AC M. Ch ng minh:a) Tia AD ph gi BACb) AM BC……………………………… ………………………………§Ò sè 2: ®Ò thi häc sinh giái huyÖnM«n To¸n Líp (Thêi gian lµm bµi 120 phót)B 1:(4 m)a) Th hi ph nh: ()()12 10 26 39 32 52 .3 .9 .7 25 .49A125.7 .142 .3 .3- -= -++b) Ch ng minh ng nguy ươ ng th 23 2n n+ +- -chia cho 10B 2:(4 m)Tìm bi t:a ()1 23, 23 5x- +b ()()1 117 0x xx x+ +- =5B 3: (4 m)c) đượ chia th nh theo 1: :5 Bi ng ng nh ph ươ ngc ba ng 24309. A.d) Cho cc =. Ch ng minh ng: 22 2a ab b+=+B 4: (4 m)Cho tam giác ABC, trung BC. Tr tia đố tia MA Esao cho ME MA. Ch ng minh ng:a) AC EB AC // BEb) tr AC tr EB sao cho AI EK Ch ng minh ba th ng ngc) EH BC^ ()H BCÎ Bi ·HBE 50 ·MEB =25 .Tính ·HEM ·BMEB 5: (4 m)Cho tam giác ABC cân µ0A 20= tam gi đề DBC (D trong tam gi ABC). Tia ph gi ABD AC M. Ch ng minh:c) Tia AD ph gi BACd) AM BC……………………………… ………………………………§¸p ¸n ®Ò to¸n 1: (4 m):a) (2 m)6()()()()()()()1012 10 12 12 10 46 312 12 39 32 512 10 312 59 310 312 412 32 .3 .9 .7 25 .49 .3 .3 .7 .72 .3 .3 .7 .2 .7125.7 .142 .3 .32 .3 .7 72 .3 15 .7 25 .7 62 .3 .22 .3 .4 .7 .91 10 76 2A- -= -+ +++- -= -++-= --= =b) (2 m) 23 2n n+ +- 23 2n n+ ++ =2 23 (3 1) (2 1)n n+ =13 10 10 10n n-× 10( -2 n)V 23 2n n+ +- -M 10 nguy ươ ng.B 2: (4 m)a) (2 m)()1231231 723 31 523 31 16 23, 23 51 143 5123xxxxx xxx- =- =-= =-=- =-- +Û =éêÛ ÛêêëéêêêëÛb) (2 m) ()()()()1 111 107 07 0x xxx xx x+ ++- =é ùÛ =ë û7()()()1 101107 01 7) 07 7( 7) 87 010xxxxx xx xx x+æ öç ÷è ø+- =- =- =- =Þ =é ùÛ =ë ûéêÛêêëéÛêë 3: (4 m)a) (2,5 m)G a, b, ba đượ chia ra A.Theo đề ta 1: :5 (1) +b +c 24309 (2)T (1) Þ2 15 6a c= == Þ2 3; ;5 6ka c= =Do (2) Û24 1( 2430925 16 36k+ =Þk 180 180-+ =180, ta đượ c: 72; 135; 30. Khi ta 237.+ 180-, ta đượ c: 72-; 135-; 30-Khi ta 72-+( 135-) 30-) 237-. b) (1,5 m)T cc suy ra 2.c b= khi 22 2..a bb b+ +=+ )( )a ab +=+B 4: (4 m)8KHEMBACIa/ (1 m) AMCD EMBD có AM EM (gt )·AMC ·EMB đố đỉ nh )BM MC (gt )Nên AMCD EMBD (c.g.c 0,5 mÞ AC EBVì AMCD EMBD ·MACÞ ·MEB(2 góc có tr so le trong đượ đườ ng th ng AC EB đườ ng th ng AE Suy ra AC // BE 0,5 mb/ (1 )Xét AMID EMKD có AM EM (gt )·MAI ·MEK vì AMC EMBD =D )AI EK (gt )Nên AMI EMKD =D c.g.c Suy ra ·AMI ·EMK ·AMI ·IME 180 tính ch hai góc )Þ ·EMK ·IME 180 Ba I;M;K th ng ng c/ (1,5 )Trong tam giác vuông BHE µH 90 có ·HBE 50 ·HBEÞ 90 ·HBE 90 50 =40 ·HEMÞ ·HEB ·MEB 40 25 15 ·BME góc ngo đỉ nh HEMD Nên ·BME ·HEM ·MHE 15 90 105 đị nh ngo tam gi 5: (4 m)a) Ch ng minh DADB DADC (c.c.c) suy ra ··DAB DAC=Do 020 10DAB =b) DABC cân A, µ020A= (gt) nên·0 0(180 20 80ABC= =DABC đề ·060DBC=Tia BD gi hai tia BA BC suy ra·0 080 60 20ABD= =. Tia BM ph gi ABD 9200MABCDnên ·010ABM=Xét tam giác ABM BAD :AB nh chung ····0 020 10BAM ABD ABM DAB= =V y: DABM DBAD (g.c.g) suy ra AM BD, BD BC (gt) AM BC§Ò sè 3: ®Ò thi häc sinh giái M«n To¸n Líp (Thêi gian lµm bµi 120 phót)C©u 1: T×m tÊt c¶ c¸c sè nguyªn biÕt 4£C©u 2: T×m ph©n sè cã tö lµ biÕt nã lín h¬n 910- vµ nhá h¬n 911-C©u 3. Cho ®a thøc x x2 2mx m2 vµ Qx x2 (2m+1)x m2 T×m biÕt (1) (-1)C©u 4: T×m c¸c cÆp sè (x; y) biÕt:== =x ya/ xy=843 71+3y 1+5y 1+7yb/ 12 5x 4xC©u 5: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt hoÆc lín nhÊt cña c¸c biÓu thøc sau 1x +5 31522xx C©u 6: Cho tam gi¸c ABC cã 90 0. VÏ ra phÝa ngoµi tam gi¸c ®ã hai®o¹n th¼ng AD vu«ng gãc vµ b»ng AB; AE vu«ng gãc vµ b»ng AC.a. Chøng minh: DC BE vµ DC BEb. Gäi lµ trung ®iÓm cña DE. Trªn tia ®èi cña tia NA lÊy sao choNA NM. Chøng minh: AB ME vµ ABC EMA c. Chøng minh: MA BC10