50 đề thi học sinh giỏi toán 7

§Ò sè 1: Bµi 1. T×m gi¸ trÞ nguyªn ¬ng: a) 1.16 28n n= b) 27 243Bµi 2. Thùc hiÖn phÐp tÝnh: ... 49( ... )4.9 9.14 14.19 44.49 89- -+ +Bµi 3. a) T×m biÕt: 2x3x2+=+ b) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña =x20072006x-+- Khi thay ®æiBµi 4. HiÖn nay hai kim ®ång hå chØ 10 giê. Sau Ýt nhÊt bao l©u th× kim ®ång hå n»m ®èidiÖn nhau trªn mét êng th¼ng.Bµi 5. Cho tam gi¸c vu«ng ABC 1v), êng cao AH, trung tuyÕn AM. Trªn tia ®èi tiaMA lÊy ®iÓm sao cho DM MA. Trªn tia ®èi tia CD lÊy ®iÓm sao cho CI CA, qua vÏ® êng th¼ng song song víi AC c¾t êng th¼ng AH t¹i E. Chøng minh: AE BC§Ò sè 2: Bài 1:(4 điểm)a) Thực hiện phép tính: ()()12 10 26 39 32 52 .3 .9 .7 25 .49A125.7 .142 .3 .3- -= -++b) Chứng minh rằng Với mọi số nguyên dương thì 23 2n n+ +- -chia hết cho 10Bài 2:(4 điểm)Tìm biết:a ()1 23, 23 5x- +b ()()1 117 0x xx x+ +- =Bài 3: (4 điểm)a) Số được chia thành số tỉ lệ theo 1: :5 Biết rằng tổng các bình phương của ba số đó bằng 24309. Tìm số A.b) Cho cc b= Chứng minh rằng: 22 2a ab b+=+Bài 4: (4 điểm)Cho tam giác ABC, là trung điểm của BC. Trên tia đối của của tia MA lấy điểm sao cho ME MA. Chứng minh rằng:a) AC EB và AC // BE1b) Gọi là một điểm trên AC là một điểm trên EB sao cho AI EK Chứng minh ba điểm thẳng hàngc) Từ kẻ EH BC^ ()H BCÎ Biết ·HBE 50 ·MEB =25 .Tính ·HEM và ·BMEBài 5: (4 điểm)Cho tam giác ABC cân tại có µ0A 20= vẽ tam giác đều DBC (D nằm trong tam giác ABC). Tia phân giác của góc ABD cắt AC tại M. Chứng minh:a) Tia AD là phân giác của góc BACb) AM BC……………………………… Hết ………………………………§Ò sè 3:C©u 1: T×m tÊt c¶ c¸c sè nguyªn biÕt 4£C©u 2: T×m ph©n sè cã tö lµ biÕt nã lín h¬n 910- vµ nhá h¬n 911-C©u 3. Cho ®a thøc ()x x2 2mx m2 vµ Q()x x2 (2m+1)x m2 T×m biÕt (1) (-1)C©u 4: T×m c¸c cÆp sè (x; y) biÕt:== =x ya xy=843 71+3y 1+5y 1+7yb/ 12 5x 4xC©u 5: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt hoÆc lín nhÊt cña c¸c biÓu thøc sau 1+x +5 31522++xx C©u 6: Cho tam gi¸c ABC cã 90 0. VÏ ra phÝa ngoµi tam gi¸c ®ã hai ®o¹n th¼ng AD vu«nggãc vµ b»ng AB; AE vu«ng gãc vµ b»ng AC.a. Chøng minh: DC BE vµ DC BEb. Gäi lµ trung ®iÓm cña DE. Trªn tia ®èi cña tia NA lÊy sao cho NA NM. Chøngminh: AB ME vµ ABC EMA c. Chøng minh: MA BC§Ò sè 4: C©u ®iÓm) Thùc hiÖn phÐp tÝnh :2a- )131(:131.331.62--+---b- ()32200323125.521.43.32---C©u ®iÓm)a- T×m sè nguyªn ®Ó 132+++aaa lµ sè nguyªnb- T×m sè nguyªn x,y sao cho 2xy 0C©u ®iÓm)a- Chøng minh r»ng nÕu 2b vµ 2bd (b+d) th× dcba= víi b,d kh¸c 0b- CÇn bao nhiªu sè h¹ng cña tæng 1+2+3+ ®Ó ®… îc mét sè cã ba ch÷ sè gièngnhau .C©u ®iÓm Cho tam gi¸c ABC cã gãc b»ng 45 gãc b»ng 120 0. Trªn tia ®èi cña tia CB lÊy®iÓm sao cho CD 2CB TÝnh gãc ADEC©u 1®iÓm)T×m mäi sè nguyªn tè tho¶ m·n 2y =1§¸p ¸n- ®Ò to¸n 7Bµi 1. T×m gi¸ trÞ nguyªn ¬ng: (4 ®iÓm mçi c©u ®iÓm) a) 1.16 28n n= => 4n-3 => 4n => b) 27 243 => => 4Bµi 2. Thùc hiÖn phÐp tÝnh: (4 ®iÓm) ... 49( ... )4.9 9.14 14.19 44.49 89- -+ (1 ... 49)( ... ).5 14 14 19 44 49 12- +- (12.50 25) 5.9.7.89 9( ).5 49 89 5.4.7.7.89 28- +- -Bµi 3. (4 ®iÓm mçi c©u ®iÓm) a) T×m biÕt: 2x3x2+=+ Ta cã: => 2. NÕu 23 th× 2x3x2+=+ => 2x => (Tho¶ m·n) NÕu 23 Th× 2x3x2+=+ => 2x => 35 (Tho¶ m·n) NÕu Kh«ng cã gi¸ trÞ cña tho¶ m·n b) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña =x20072006x-+- Khi thay ®æi3+ NÕu 2006 th×: 2006 2007 2x 4013 Khi ®ã: -2006 => 2x 4013 4012 4013 => NÕu 2006 2007 th×: 2006 2007 NÕu 2007 th× 2006 2007 2x 4013 Do 2007 => 2x 4013 4014 4013 => 1. VËy ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt lµ khi 2006 2007Bµi 4. HiÖn nay hai kim ®ång hå chØ 10 giê. Sau Ýt nhÊt bao l©u th× kim ®ång hå n»m ®èi diÖn nhau trªn mét êng th¼ng. (4 ®iÓm mçi) Gäi x, lµ sè vßng quay cña kim phót vµ kim giê khi 10giê ®Õn lóc kim ®èi nhau trªn mét êng th¼ng, ta cã: 31 (øng víi tõ sè 12 ®Õn sè trªn ®«ng hå) vµ 12 (Do kim phót quay nhanh gÊp 12 lÇn kim giê) Do ®ã: 33111:3111yx1y12x112yx==-==== 114x)vòng(3312== (giê) VËy thêi gian Ýt nhÊt ®Ó kim ®ång hå tõ khi 10 giê ®Õn lóc n»m ®èi diÖn nhau trªn mét êng th¼ng lµ 114 giêBµi 5. Cho tam gi¸c vu«ng ABC 1v), êng cao AH, trung tuyÕn AM. Trªn tia ®èi tia MA lÊy ®iÓm sao cho DM MA. Trªn tia ®èi tia CD lÊy ®iÓm sao cho CI CA, qua vÏ êng th¼ng song song víi AC c¾t êng th¼ng AH t¹i E. Chøng minh: AE BC (4 ®iÓm mçi) êng th¼ng AB c¾t EI t¹i ABM DCM v×: AM DM (gt), MB MC (gt), ·AMB DMC (®®) => BAM CDM =>FB // ID => ID^ AC Vµ FAI CIA (so le trong) (1) IE // AC (gt) => FIA CAI (so le trong) (2) Tõ (1) vµ (2) => CAI FIA (AI chung) => IC AC AF (3) vµ FA 1v (4) MÆt kh¸c EAF BAH (®®), BAH ACB cïng phô ABC) => EAF ACB (5) Tõ (3), (4) vµ (5) => AFE CAB =>AE BC§Ò sè :Bài 1:(4 điểm)a) Thực hiện phép tính: ()()12 10 26 39 32 52 .3 .9 .7 25 .49A125.7 .142 .3 .3- -= -++b) Chứng minh rằng Với mọi số nguyên dương thì 4D M2 23 2n n+ +- -chia hết cho 10Bài 2:(4 điểm)Tìm biết:a ()1 23, 23 5x- +b ()()1 117 0x xx x+ +- =Bài 3: (4 điểm)c) Số được chia thành số tỉ lệ theo 1: :5 Biết rằng tổng các bình phương của ba số đó bằng 24309. Tìm số A.d) Cho cc =. Chứng minh rằng: 22 2a ab b+=+Bài 4: (4 điểm)Cho tam giác ABC, là trung điểm của BC. Trên tia đối của của tia MA lấy điểm sao cho ME MA. Chứng minh rằng:a) AC EB và AC // BEb) Gọi là một điểm trên AC là một điểm trên EB sao cho AI EK Chứng minh ba điểm thẳng hàngc) Từ kẻ EH BC^ ()H BCÎ Biết ·HBE 50 ·MEB =25 .Tính ·HEM và ·BMEBài 5: (4 điểm)Cho tam giác ABC cân tại có µ0A 20= vẽ tam giác đều DBC (D nằm trong tam giác ABC). Tia phân giác của góc ABD cắt AC tại M. Chứng minh:c) Tia AD là phân giác của góc BACd) AM BC§¸p ¸n ®Ò to¸n Bài 1: (4 điểm):()()()()()()()1012 10 12 12 10 46 312 12 39 32 512 10 312 59 310 312 412 32 .3 .9 .7 25 .49 .3 .3 .7 .72 .3 .3 .7 .2 .7125.7 .142 .3 .32 .3 .7 72 .3 15 .7 25 .7 62 .3 .22 .3 .4 .7 .91 10 76 2A- -= -+ +++- -= -++-= --= =b) (2 điểm) 23 2n n+ +- 23 2n n+ ++ =2 23 (3 1) (2 1)n n+ =13 10 10 10n n-× 10( -2 n)5Vậy 23 2n n+ +- -M 10 với mọi là số nguyên dương.Bài 2: (4 điểm)a) (2 điểm)()1231231 723 31 523 31 16 23, 23 51 143 5123xxxxx xxx- =- =-= =-=- =-- +Û =Û ÛÛb) (2 điểm) ()()()()1 111 107 07 0x xxx xx x+ ++- = Û = ()()()1 101107 01 7) 07 7( 7) 87 010xxxxx xx xx x+   +- =- =- =- = Û = ÛÛ Bài 3: (4 điểm)a) (2,5 điểm)Gọi a, b, là ba số được chia ra từ số A.Theo đề bài ta có: 1: :5 (1) và +b +c 24309 (2)Từ (1) Þ2 15 6a c= == Þ2 3; ;5 6ka c= =6Do đó (2) Û24 1( 2430925 16 36k+ =Þk 180 và =180-+ Với =180, ta được: 72; 135; 30. Khi đó ta có số 237.+ Với 180-, ta được: 72-; 135-; 30-Khi đó ta có só =72- +( 135- (30- 237- b) (1,5 điểm)Từ cc suy ra 2.c b= khi đó 22 2..a bb b+ +=+ )( )a ab +=+Bài 4: (4 điểm)a/ (1điểm) Xét AMC và EMB có AM EM (gt )·AMC ·EMB (đối đỉnh )BM MC (gt )Nên AMC EMB (c.g.c 0,5 điểmÞ AC EBVì AMC EMB ·MACÞ ·MEB(2 góc có vị trí so le trong được tạo bởi đường thẳng AC và EB cắt đường thẳng AE Suy ra AC // BE 0,5 điểmb/ (1 điểm )Xét AMI và EMK có AM EM (gt )·MAI ·MEK vì AMC EMB )AI EK (gt )Nên AMI EMK c.g.c Suy ra ·AMI ·EMK Mà ·AMI ·IME 180 tính chất hai góc kề bù )Þ ·EMK ·IME 180 7KHEMBACIÞ Ba điểm I;M;K thẳng hàng c/ (1,5 điểm )Trong tam giác vuông BHE µH 90 có ·HBE 50 ·HBEÞ 90 ·HBE 90 50 =40 ·HEMÞ ·HEB ·MEB 40 25 15 ·BME là góc ngoài tại đỉnh của HEM Nên ·BME ·HEM ·MHE 15 90 105 định lý góc ngoài của tam giác Bài 5: (4 điểm)a) Chứng minh ADB ADC (c.c.c) suy ra ··DAB DAC=Do đó 020 10DAB =b) ABC cân tại A, mà µ020A= (gt) nên·0 0(180 20 80ABC= = ABC đều nên ·060DBC=Tia BD nằm giữa hai tia BA và BC suy ra·0 080 60 20ABD= =. Tia BM là phân giác của góc ABD nên ·010ABM=Xét tam giác ABM và BAD có:AB cạnh chung ····0 020 10BAM ABD ABM DAB= =Vậy: ABM BAD (g.c.g) suy ra AM BD, mà BD BC (gt) nên AM BC§¸p ¸n ®Ò to¸n 7C©u 1: T×m tÊt c¶ c¸c sè nguyªn biÕt 4£0£ 4£=>a 0; 1; 2; 4* => 0* => hoÆc 1* => hoÆc 2* => hoÆc 3* => hoÆc 4C©u 2: T×m ph©n sè cã tö lµ biÕt nã lín h¬n 910- vµ nhá h¬n 911-Gäi mÉu ph©n sè cÇn t×m lµ xTa cã:8200MABCD9 910 11x- -< => 63 63 6370 77x< <- => -77 9x -70. V× 9x => 9x -72 => 8VËy ph©n sè cÇn t×m lµ 78-C©u 3. Cho ®a thøc ()x x2 2mx m2 vµ Q()x x2 (2m+1)x m2 T×m biÕt (1) (-1)P(1) 2m.1 2m 1Q(-1) 2m +m 2m §Ó P(1) Q(-1) th× 2m 2m 4m -1 -1/4C©u 4: T×m c¸c cÆp sè (x; y) biÕt:=x ya xy=843 => 28449 49 3.7 21x xy= ==> 4.49 196 => 14=> 4.4 16 => 4Do x,y cïng dÊu nªn: 6; 14 -6; -14= =1+3y 1+5y 1+7yb/ 12 5x 4x¸p dông tÝnh chÊt d·y tØ sè b»ng nhau ta cã:+ -= =- -1+3y 1+5y 1+7y 7y 5y 2y 5y 3y 2y12 5x 4x 4x 5x 5x 12 5x 12=> 25 12y yx x=- -=> -x 5x -12=> 2. Thay vµo trªn ta îc:1 212 2y yy+= --=>1+ 3y -12y=> -15y=> 115 -VËy 2, 115 tho¶ m·n ®Ò bµiC©u 5: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt hoÆc lín nhÊt cña c¸c biÓu thøc sau : 1+x +5 Ta cã 1+x 0. DÊu x¶y ra x= -1.9Þ 5.DÊu x¶y ra x= -1.VËy: Min x= -1. 31522++xx ()312322+++xx 3122+xTa cã: x2 0. DÊu x¶y ra 0Þ x2 vÕ ¬ng )Þ3122+x 312 3122+x 1+ 3122+x 1+ 4Þ 5DÊu x¶y ra VËy Max 0. C©u 6: a/ XÐt ADC vµ BAF ta cã:DA BA(gt)AE AC (gt)DAC BAE cïng b»ng 90 BAC )=> DAC BAE(c.g.c )=> DC BEXÐt AIE vµ TICI1 I2 ®®)E1 C1 do DAC BAE)=> EAI CTI=> CTI 90 => DC BEb/ Ta cã: MNE AND (c.g.c)=> D1 MEN, AD MEmµ AD AB gt) => AB ME (®pcm) (1)V× D1 MEN => DA//ME => DAE AEM 180 trong cïng phÝa )mµ BAC DAE 180 0=> BAC AEM )Ta l¹i cã: AC AE (gt) 3). Tõ (1),(2) vµ (3) => ABC EMA ®pcm)c/ KÐo dµi MA c¾t BC t¹i H. Tõ h¹ EP MHXÐt AHC vµ EPA cã:CAH AEP do cïng phô víi gPAE )AE CA gt)PAE HCA do ABC EMA c©u b)=> AHC EPA=> EPA AHC10