50 đề học sinh giỏi toán 7

§Ò sè 1: ®Ò thi häc sinh giái huyÖnM«n To¸n Líp (Thêi gian lµm bµi 120 phót)Bµi 1. T×m gi¸ trÞ nguyªn ¬ng: a) 1.16 28n n= b) 27 243Bµi 2. Thùc hiÖn phÐp tÝnh: ... 49( ... )4.9 9.14 14.19 44.49 89- -+ +Bµi 3. a) T×m biÕt: 2x3x2+=+ b) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña =x20072006x-+- Khi thay ®æiBµi 4. HiÖn nay hai kim ®ång hå chØ 10 giê. Sau Ýt nhÊt bao l©u th× kim ®ång hå n»m ®èidiÖn nhau trªn mét êng th¼ng.Bµi 5. Cho tam gi¸c vu«ng ABC 1v), êng cao AH, trung tuyÕn AM. Trªn tia ®èi tiaMA lÊy ®iÓm sao cho DM MA. Trªn tia ®èi tia CD lÊy ®iÓm sao cho CI CA, qua IvÏ êng th¼ng song song víi AC c¾t êng th¼ng AH t¹i E. Chøng minh: AE BC§Ò sè 2: ®Ò thi häc sinh giái huyÖnM«n To¸n Líp (Thêi gian lµm bµi 120 phót)Bài 1:(4 điểm)a) Thực hiện phép tính: ()()12 10 26 39 32 52 .3 .9 .7 25 .49A125.7 .142 .3 .3- -= -++b) Chứng minh rằng Với mọi số nguyên dương thì 23 2n n+ +- -chia hết cho 10Bài 2:(4 điểm)Tìm biết:a ()1 23, 23 5x- +b ()()1 117 0x xx x+ +- =Bài 3: (4 điểm)1a) Số được chia thành số tỉ lệ theo 1: :5 Biết rằng tổng các bình phương của ba số đóbằng 24309. Tìm số A.b) Cho cc =. Chứng minh rằng: 22 2a ab b+=+Bài 4: (4 điểm)Cho tam giác ABC, là trung điểm của BC. Trên tia đối của của tia MA lấy điểm sao cho ME= MA. Chứng minh rằng:a) AC EB và AC // BEb) Gọi là một điểm trên AC là một điểm trên EB sao cho AI EK Chứng minh ba điểm thẳng hàngc) Từ kẻ EH BC^ ()H BCÎ Biết ·HBE 50 ·MEB =25 .Tính ·HEM và ·BMEBài 5: (4 điểm)Cho tam giác ABC cân tại có µ0A 20= vẽ tam giác đều DBC (D nằm trong tam giác ABC). Tia phân giác của góc ABD cắt AC tại M. Chứng minh:a) Tia AD là phân giác của góc BACb) AM BC……………………………… Hết ………………………………§¸p ¸n ®Ò 1to¸n 7Bµi 1. T×m gi¸ trÞ nguyªn ¬ng: (4 ®iÓm mçi c©u ®iÓm) a) 1.16 28n n= => 4n-3 => 4n => b) 27 243 => => 4Bµi 2. Thùc hiÖn phÐp tÝnh: (4 ®iÓm) ... 49( ... )4.9 9.14 14.19 44.49 89- -+ (1 ... 49)( ... ).5 14 14 19 44 49 12- +- (12.50 25) 5.9.7.89 9( ).5 49 89 5.4.7.7.89 28- +- -Bµi 3. (4 ®iÓm mçi c©u ®iÓm) a) T×m biÕt: 2x3x2+=+ Ta cã: => 2. NÕu 23 th× 2x3x2+=+ => 2x => (Tho¶ m·n) NÕu 23 Th× 2x3x2+=+ => 2x => 35 (Tho¶ m·n) NÕu Kh«ng cã gi¸ trÞ cña tho¶ m·n2b) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña =x20072006x-+- Khi thay ®æi NÕu 2006 th×: 2006 2007 2x 4013 Khi ®ã: -2006 => 2x 4013 4012 4013 => NÕu 2006 2007 th×: 2006 2007 NÕu 2007 th× 2006 2007 2x 4013 Do 2007 => 2x 4013 4014 4013 => 1. VËy ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt lµ khi 2006 2007Bµi 4. HiÖn nay hai kim ®ång hå chØ 10 giê. Sau Ýt nhÊt bao l©u th× kim ®ång hå n»m ®èidiÖn nhau trªn mét êng th¼ng. (4 ®iÓm mçi) Gäi x, lµ sè vßng quay cña kim phót vµ kim giê khi 10giê ®Õn lóc kim ®èi nhau trªn mét êng th¼ng, ta cã: 31 (øng víi tõ sè 12 ®Õn sè trªn ®«ng hå) vµ 12 (Do kim phót quay nhanh gÊp 12 lÇn kim giê) Do ®ã: 33111:3111yx1y12x112yx==-==== 114x)vòng(3312== (giê) VËy thêi gian Ýt nhÊt ®Ó kim ®ång hå tõ khi 10 giê ®Õn lóc n»m ®èi diÖn nhau trªn mét êng th¼ng lµ 114 giêBµi 5. Cho tam gi¸c vu«ng ABC 1v), êng cao AH, trung tuyÕn AM. Trªn tia ®èi tia MA lÊy ®iÓm sao cho DM MA. Trªn tia ®èi tia CD lÊy ®iÓm sao cho CI CA, qua vÏ êng th¼ng song song víi AC c¾t êng th¼ng AH t¹i E. Chøng minh: AE BC (4 ®iÓm mçi) êng th¼ng AB c¾t EI t¹i ABM DCM v×: AM DM (gt), MB MC (gt), ·AMB DMC (®®) => BAM CDM =>FB // ID => ID^ AC Vµ FAI CIA (so le trong) (1) IE // AC (gt) => FIA CAI (so le trong) (2) Tõ (1) vµ (2) => CAI FIA (AI chung) => IC AC AF (3) 3D Mvµ FA 1v (4) MÆt kh¸c EAF BAH (®®), BAH ACB cïng phô ABC) => EAF ACB (5) Tõ (3), (4) vµ (5) => AFE CAB =>AE BC§Ò sè 2: ®Ò thi häc sinh giái huyÖnM«n To¸n Líp (Thêi gian lµm bµi 120 phót)Bài 1:(4 điểm)a) Thực hiện phép tính: ()()12 10 26 39 32 52 .3 .9 .7 25 .49A125.7 .142 .3 .3- -= -++b) Chứng minh rằng Với mọi số nguyên dương thì 23 2n n+ +- -chia hết cho 10Bài 2:(4 điểm)Tìm biết:a ()1 23, 23 5x- +b ()()1 117 0x xx x+ +- =Bài 3: (4 điểm)c) Số được chia thành số tỉ lệ theo 1: :5 Biết rằng tổng các bình phương của ba số đóbằng 24309. Tìm số A.d) Cho cc =. Chứng minh rằng: 22 2a ab b+=+Bài 4: (4 điểm)Cho tam giác ABC, là trung điểm của BC. Trên tia đối của của tia MA lấy điểm sao cho ME= MA. Chứng minh rằng:a) AC EB và AC // BEb) Gọi là một điểm trên AC là một điểm trên EB sao cho AI EK Chứng minh ba điểm thẳng hàngc) Từ kẻ EH BC^ ()H BCÎ Biết ·HBE 50 ·MEB =25 .Tính ·HEM và ·BMEBài 5: (4 điểm)4Cho tam giác ABC cân tại có µ0A 20= vẽ tam giác đều DBC (D nằm trong tam giác ABC). Tia phân giác của góc ABD cắt AC tại M. Chứng minh:c) Tia AD là phân giác của góc BACd) AM BC……………………………… Hết ………………………………§¸p ¸n ®Ò to¸n Bài 1: (4 điểm):a) (2 điểm)()()()()()()()1012 10 12 12 10 46 312 12 39 32 512 10 312 59 310 312 412 32 .3 .9 .7 25 .49 .3 .3 .7 .72 .3 .3 .7 .2 .7125.7 .142 .3 .32 .3 .7 72 .3 15 .7 25 .7 62 .3 .22 .3 .4 .7 .91 10 76 2A- -= -+ +++- -= -++-= --= =b) (2 điểm) 23 2n n+ +- 23 2n n+ ++ =2 23 (3 1) (2 1)n n+ =13 10 10 10n n-× 10( -2 n)Vậy 23 2n n+ +- -M 10 với mọi là số nguyên dương.Bài 2: (4 điểm)a) (2 điểm)5()1231231 723 31 523 31 16 23, 23 51 143 5123xxxxx xxx- =- =-= =-=- =-- +Û =éêÛ ÛêêëéêêêëÛb) (2 điểm) ()()()()1 111 107 07 0x xxx xx x+ ++- =é ùÛ =ë ()()()1 101107 01 7) 07 7( 7) 87 010xxxxx xx xx x+æ öç ÷è ø+- =- =- =- =é ùÛ =ë ûéêÛêêëéÛêë Bài 3: (4 điểm)a) (2,5 điểm)Gọi a, b, là ba số được chia ra từ số A.Theo đề bài ta có: 1: :5 (1) và +b +c 24309 (2)Từ (1) Þ2 15 6a c= == Þ2 3; ;5 6ka c= =Do đó (2) Û24 1( 2430925 16 36k+ =6Þk 180 và 180-+ Với =180, ta được: 72; 135; 30. Khi đó ta có số 237.+ Với 180-, ta được: 72-; 135-; 30-Khi đó ta có só 72-+( 135-) 30-) 237-. b) (1,5 điểm)Từ cc b= suy ra 2.c b= khi đó 22 2..a bb b+ +=+ )( )a ab +=+Bài 4: (4 điểm)a/ (1điểm) Xét AMC và EMB có AM EM (gt )·AMC ·EMB (đối đỉnh )BM MC (gt )Nên AMC EMB (c.g.c 0,5 điểmÞ AC EBVì AMC EMB ·MACÞ ·MEB(2 góc có vị trí so le trong được tạo bởi đường thẳng AC và EB cắt đường thẳng AE Suy ra AC // BE 0,5 điểmb/ (1 điểm )Xét AMI và EMK có AM EM (gt )·MAI ·MEK vì AMC EMB )AI EK (gt )Nên AMI EMK c.g.c Suy ra ·AMI ·EMK Mà ·AMI ·IME 180 tính chất hai góc kề bù )Þ ·EMK ·IME 180 Ba điểm I;M;K thẳng hàng c/ (1,5 điểm )Trong tam giác vuông BHE µH 90 có ·HBE 50 ·HBEÞ 90 ·HBE 90 50 =40 7KHEMBACI·HEMÞ ·HEB ·MEB 40 25 15 ·BME là góc ngoài tại đỉnh của HEM Nên ·BME ·HEM ·MHE 15 90 105 định lý góc ngoài của tam giác Bài 5: (4 điểm)a) Chứng minh ADB ADC (c.c.c) suy ra ··DAB DAC=Do đó 020 10DAB =b) ABC cân tại A, mà µ020A= (gt) nên·0 0(180 20 80ABC= =ABC đều nên ·060DBC=Tia BD nằm giữa hai tia BA và BC suy ra·0 080 60 20ABD= =. Tia BM là phân giác của góc ABD nên ·010ABM=Xét tam giác ABM và BAD có:AB cạnh chung ····0 020 10BAM ABD ABM DAB= =Vậy: ABM BAD (g.c.g) suy ra AM BD, mà BD BC (gt) nên AM BC§Ò sè 3: ®Ò thi häc sinh giái M«n To¸n Líp (Thêi gian lµm bµi 120 phót)C©u 1: T×m tÊt c¶ c¸c sè nguyªn biÕt 4C©u 2: T×m ph©n sè cã tö lµ biÕt nã lín h¬n 910- vµ nhá h¬n 911-C©u 3. Cho ®a thøc ()x x2 2mx m2 vµ Q()x x2 (2m+1)x m2 T×m biÕt (1) (-1)C©u 4: T×m c¸c cÆp sè (x; y) biÕt:8200MABCD== =x ya xy=843 71+3y 1+5y 1+7yb/ 12 5x 4xC©u 5: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt hoÆc lín nhÊt cña c¸c biÓu thøc sau 1+x +5 31522++xx C©u 6: Cho tam gi¸c ABC cã 90 0. VÏ ra phÝa ngoµi tam gi¸c ®ã hai ®o¹n th¼ng ADvu«ng gãc vµ b»ng AB; AE vu«ng gãc vµ b»ng AC.a. Chøng minh: DC BE vµ DC BEb. Gäi lµ trung ®iÓm cña DE. Trªn tia ®èi cña tia NA lÊy sao cho NA NM.Chøng minh: AB ME vµ ABC EMA c. Chøng minh: MA BC§¸p ¸n ®Ò to¸n 7C©u 1: T×m tÊt c¶ c¸c sè nguyªn biÕt 40 4=>a 0; 1; 2; 4* => 0* => hoÆc 1* => hoÆc 2* => hoÆc 3* => hoÆc 4C©u 2: T×m ph©n sè cã tö lµ biÕt nã lín h¬n 910- vµ nhá h¬n 911-Gäi mÉu ph©n sè cÇn t×m lµ xTa cã:9 910 11x- -< => 63 63 6370 77x< <- => -77 9x -70. V× 9x => 9x -72 => 8VËy ph©n sè cÇn t×m lµ 78-C©u 3. Cho ®a thøc ()x x2 2mx m2 vµ Q()x x2 (2m+1)x m2 T×m biÕt (1) (-1)9P(1) 2m.1 2m 1Q(-1) 2m +m 2m §Ó P(1) Q(-1) th× 2m 2m 4m -1 -1/4C©u 4: T×m c¸c cÆp sè (x; y) biÕt:=x ya xy=843 => 28449 49 3.7 21x xy= ==> 4.49 196 => 14=> 4.4 16 => 4Do x,y cïng dÊu nªn: 6; 14 -6; -14= =1+3y 1+5y 1+7yb/ 12 5x 4x¸p dông tÝnh chÊt d·y tØ sè b»ng nhau ta cã:+ -= =- -1+3y 1+5y 1+7y 7y 5y 2y 5y 3y 2y12 5x 4x 4x 5x 5x 12 5x 12=> 25 12y yx x=- -=> -x 5x -12=> 2. Thay vµo trªn ta îc:1 212 2y yy+= --=>1+ 3y -12y=> -15y=> 115 -VËy 2, 115 tho¶ m·n ®Ò bµiC©u 5: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt hoÆc lín nhÊt cña c¸c biÓu thøc sau : 1+x +5 Ta cã 1+x 0. DÊu x¶y ra x= -1. 5.DÊu x¶y ra x= -1.VËy: Min x= -1.10