30 Đề thi học sinh giỏi Toán lớp 7

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 7
ĐỀ SỐ 1:

(Thời gian làm bài 120 phút)
Bài 1. Tìm giá trị n nguyên dương:
a)

;

b) 27 < 3n < 243

Bài 2. Thực hiện phép tính:

Bài 3. a) Tìm x biết:

|2 x+3|=x+2

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của A =

|x−2006|+|2007−x| Khi x thay đổi

Bài 4. Hiện nay hai kim đồng hồ chỉ 10 giờ. Sau ít nhất bao lâu thì 2 kim đồng hồ nằm
đối diện nhau trên một đường thẳng.
Bài 5. Cho tam giác vuông ABC ( A = 1v), đường cao AH, trung tuyến AM. Trên tia
đối tia MA lấy điểm D sao cho DM = MA. Trên tia đối tia CD lấy điểm I sao cho CI =
CA, qua I vẽ đường thẳng song song với AC cắt đường thẳng AH tại E. Chứng minh:
AE = BC.
ĐỀ SỐ 2:
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI
MÔN TOÁN LỚP 7

(Thời gian làm bài 120 phút)
Bài 1:(4 điểm)
a) Thực hiện phép tính:

b) Chứng minh rằng : Với mọi số nguyên dương n thỡ :
chia hết cho 10
Bài 2:(4 điểm)
Tỡm x biết:

1

a.
b.
Bài 3: (4 điểm)
Số A được chia thành 3 số tỉ lệ theo
bằng 24309. Tỡm số A.

. Biết rằng tổng cỏc bỡnh phương của ba số đó

a) Cho
. Chứng minh rằng:
Bài 4: (4 điểm)
Cho tam giác ABC, M là trung điểm của BC. Trên tia đối của của tia MA lấy điểm E sao cho
ME = MA. Chứng minh rằng:
a) AC = EB và AC // BE
b) Gọi I là một điểm trên AC ; K là một điểm trên EB sao cho AI = EK . Chứng minh
ba điểm I , M , K thẳng hàng
c) Từ E kẻ
Tính
Bài 5: (4 điểm)

= 50o ;

. Biết

=25o .

và

Cho tam giác ABC cân tại A có
, vẽ tam giác đều DBC (D nằm trong tam giác ABC).
Tia phân giác của góc ABD cắt AC tại M. Chứng minh:
a) Tia AD là phân giác của góc BAC
b) AM = BC

ĐÁP ÁN ĐỀ 1TOÁN 7
Bài 1. Tìm giá trị n nguyên dương: (4 điểm mỗi câu 2 điểm)
a)

;

=> 24n-3 = 2n => 4n – 3 = n => n = 1

b) 27 < 3n < 243 => 33 < 3n < 35 => n = 4
Bài 2. Thực hiện phép tính:

(4 điểm)

=

2

=
Bài 3. (4 điểm mỗi câu 2 điểm)
a) Tìm x biết:

|2 x+3|=x+2

Ta có: x + 2

0 => x

+ Nếu x

¿

+ Nếu - 2

¿

3
- 2

¿

|2 x+3|=x+2 => 2x + 3 = x + 2 => x = - 1 (Thoả mãn)

thì

3
x< - 2

¿

- 2.

Thì

|2 x+3|=x+2

5
=> - 2x - 3 = x + 2 => x = - 3 (Thoả

mãn)
+ Nếu - 2 > x Không có giá trị của x thoả mãn
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của A =

|x−2006|+|2007−x| Khi x thay đổi

+ Nếu x < 2006 thì: A = - x + 2006 + 2007 – x = - 2x + 4013
Khi đó: - x > -2006 => - 2x + 4013 > – 4012 + 4013 = 1 => A > 1
+ Nếu 2006

¿

x

¿

2007 thì: A = x – 2006 + 2007 – x = 1

+ Nếu x > 2007 thì A = x - 2006 - 2007 + x = 2x – 4013
Do x > 2007 => 2x – 4013 > 4014 – 4013 = 1 => A > 1.
Vậy A đạt giá trị nhỏ nhất là 1 khi 2006

¿

x

¿

2007

Bài 4. Hiện nay hai kim đồng hồ chỉ 10 giờ. Sau ít nhất bao lâu thì 2 kim đồng hồ nằm
đối diện nhau trên một đường thẳng. (4 điểm mỗi)
Gọi x, y là số vòng quay của kim phút và kim giờ khi 10giờ đến lúc 2 kim đối nhau
trên một đường thẳng, ta có:
1
x–y= 3

(ứng với từ số 12 đến số 4 trên đông hồ)

và x : y = 12 (Do kim phút quay nhanh gấp 12 lần kim giờ)
Do đó:

x 12
x y x−y 1
1
= => = =
= :11=
y 1 12 1 11
3
33

3

12
4
( vòng) => x=
11
=> x = 33

(giờ)

Vậy thời gian ít nhất để 2 kim đồng hồ từ khi 10 giờ đến lúc nằm đối diện nhau trên
4
một đường thẳng là 11

giờ

Bài 5. Cho tam giác vuông ABC ( A = 1v), đường cao AH, trung tuyến AM. Trên tia đối
tia MA lấy điểm D sao cho DM = MA. Trên tia đối tia CD lấy điểm I sao cho CI = CA,
qua I vẽ đường thẳng song song với AC cắt đường thẳng AH tại E. Chứng minh: AE =
BC (4 điểm mỗi)
Đường thẳng AB cắt EI tại F
Δ ABM =

E

Δ DCM vì:

AM = DM (gt), MB = MC (gt),

F

= DMC (đđ) => BAM = CDM
I
A

=>FB // ID => ID ¿ AC
Và FAI = CIA (so le trong)

(1)

IE // AC (gt) => FIA = CAI (so le trong) (2)
B

H

C

M

Từ (1) và (2) => Δ CAI = Δ FIA (AI chung)
=> IC = AC = AF

D

và

E FA = 1v

(3)
(4)

Mặt khác EAF = BAH (đđ),
BAH = ACB ( cùng phụ ABC)
=> EAF = ACB
Từ (3), (4) và (5) => Δ AFE = Δ CAB
=>AE = BC
ĐÁP ÁN ĐỀ 2 TOÁN 7
Bài 1:(4 điểm):
a) (2 điểm)

4

(5)

b) (2 điểm)
=
=
=
= 10( 3n -2n)
Vậy

10 với mọi n là số nguyên dương.

Bài 2:(4 điểm)
a) (2 điểm)

5

b) (2 điểm)

Bài 3: (4 điểm)
a) (2,5 điểm)
Gọi a, b, c là ba số được chia ra từ số A.

Theo đề bài ta có: a : b : c =

(1)

và a2 +b2 +c2 = 24309 (2)

Từ (1)

=k

Do đó (2)
k = 180 và k =
+ Với k =180, ta được: a = 72; b = 135; c = 30.
Khi đó ta có số A = a + b + c = 237.
+ Với k =

, ta được: a =

;b=

;c=

6

Khi đó ta có só A =

+(

)+(

)=

.

b) (1,5 điểm)

Từ

suy ra

khi đó

=

Bài 4: (4 điểm)

a/ (1điểm) Xét
và
có :
AM = EM (gt )
=
(đối đỉnh )
BM = MC
(gt )
Nên :
=
(c.g.c )
AC = EB
Vỡ
=
=
(2 góc có vị trí so le trong được tạo bởi đường
thẳng AC và EB cắt đường thẳng AE )
Suy ra AC // BE .
b/ (1 điểm )
Xét
và
có :
AM = EM (gt )
=
( vỡ
)
AI = EK (gt )
Nên
( c.g.c )
Suy ra
Mà

A

I
M

B

H
K

E

A

=
+

= 180o ( tính chất hai góc kề bù )

+
= 180o
Ba điểm I;M;K thẳng hàng
c/ (1,5 điểm )
Trong tam giác vuông BHE (
= 90o =

C

20 0

= 90o ) có

= 50o

= 90o - 50o =40o
-

M

D

= 40o - 25o = 15o

7
B

C

là góc ngoài tại đỉnh M của
Nên
=
+
= 15o + 90o = 105o
( định lý góc ngoài của tam giác )
Bài 5: (4 điểm)
a) Chứng minh ADB = ADC (c.c.c)
suy ra
Do đó
b)

ABC cân tại A, mà

(gt) nên

ABC đều nên
Tia BD nằm giữa hai tia BA và BC suy ra
Tia BM là phân giác của góc ABD

.

nên
Xét tam giác ABM và BAD có:
AB cạnh chung ;
Vậy: ABM = BAD (g.c.g)
suy ra AM = BD, mà BD = BC (gt) nên AM = BC
ĐỀ SỐ 3:
Câu 4: Tìm các cặp số (x; y) biết:

Câu 5: Tìm giá trị nhỏ nhất hoặc lớn nhất của các biểu thức sau :
A=

B=

|x+1|

+5

x 2 +15
x 2+ 3

Câu 6: Cho tam giác ABC có Â < 90 0. Vẽ ra phía ngoài tam giác đó hai đoạn thẳng AD vuông góc và bằng AB;
AE vuông góc và bằng AC.
a. Chứng minh: DC = BE và DC BE
b. Gọi N là trung điểm của DE. Trên tia đối của tia NA lấy M sao cho NA = NM. Chứng minh: AB = ME
và ABC =
EMA
c. Chứng minh: MA BC
ĐÁP ÁN ĐỀ 3 TOÁN 7
Câu 1: Tìm tất cả các số nguyên a biết
0
=>

= 0; 1; 2; 3 ; 4

8

*

= 0 => a = 0

*

= 1 => a = 1 hoặc a = - 1

*

= 2 => a = 2 hoặc a = - 2

*

= 3 => a = 3 hoặc a = - 3

*

= 4 => a = 4 hoặc a = - 4

Câu 2: Tìm phân số có tử là 7 biết nó lớn hơn
Gọi mẫu phân số cần tìm là x
Ta có:
=>

và nhỏ hơn

=> -77 < 9x < -70. Vì 9x 9 => 9x = -72

=> x = 8
Vậy phân số cần tìm là
Câu 3. Cho 2 đa thức
P

(x)

=x

Q

(x)

=x

2
2

+ 2mx + m

2

+ (2m+1)x + m

và
2

Tìm m biết P (1) = Q (-1)
P(1) = 12 + 2m.1 + m2
= m2 + 2m + 1
Q(-1) = 1 – 2m – 1 +m2
= m2 – 2m
Để P(1) = Q(-1) thì m2 + 2m + 1 = m2 – 2m

⇔

4m = -1

Câu 4: Tìm các cặp số (x; y) biết:
=>
=> x = 4.49 = 196 => x = 14
=> y2 = 4.4 = 16 => x = 4
Do x,y cùng dấu nên:
 x = 6; y = 14
 x = -6; y = -14
2

áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

9

⇔

m = -1/4

=>
=> -x = 5x -12
=> x = 2. Thay x = 2 vào trên ta được:

=>1+ 3y = -12y
=> 1 = -15y
=> y =
Vậy x = 2, y =

thoả mãn đề bài

Câu 5: Tìm giá trị nhỏ nhất hoặc lớn nhất của các biểu thức sau :

Ta có :
⇒

|x+1|

A=

|x+1|

+5

¿

A ¿

0. Dấu = xảy ra

⇔

Vậy: Min A = 5

x= -1.
⇔

2

2

⇒

2

x

12
x 2 +3

⇒
⇒

¿

B ¿

Dấu = xảy ra

12
2
= 1 + x +3

2

x +3

=

0. Dấu = xảy ra
+3 ¿

⇔

x=0

3 ( 2 vế dương )

12
3

¿

⇒

12
x2+ 3

¿

12
2
1+ x +3

4 ⇒

5
⇔

Vậy : Max B = 5
Câu 6:
a/
Xét
ADC và

x= -1.

( x2 + 3 ) +12

x + 15
x 2+ 3

Ta có: x

x= -1.

5.

Dấu = xảy ra

 B=

⇔

¿

1+ 4

M

x=0
⇔

P

x = 0.

E
N

BAF ta có:

D

1

1

DA = BA(gt)

A

AE = AC (gt)

1

DAC = BAE ( cùng bằng 900 + BAC )

K

2

I

T

10
B

H

C

=>

DAC =

BAE(c.g.c )

=> DC = BE
Xét

AIE và

TIC

I1 = I2 ( đđ)
E1 = C1( do

DAC = BAE)

=> EAI = CTI
=> CTI = 900 => DC
b/ Ta có:

BE

MNE =

AND (c.g.c)

=> D1 = MEN, AD = ME
mà AD = AB ( gt)
=> AB = ME (đpcm) (1)
Vì D1 = MEN => DA//ME => DAE + AEM = 1800 ( trong cùng phía )
mà BAC + DAE = 1800
=> BAC = AEM ( 2 )
Ta lại có: AC = AE (gt) ( 3). Từ (1),(2) và (3) => ABC =
c/ Kéo dài MA cắt BC tại H. Từ E hạ EP
Xét

AHC và

MH

EPA có:

CAH = AEP ( do cùng phụ với gPAE )
AE = CA ( gt)
PAE = HCA ( do
=>

AHC =

ABC =

EMA câu b)

EPA

=> EPA = AHC
=> AHC = 900
=> MA

BC (đpcm)
ĐỀ SỐ 4:

Câu 1 ( 2 điểm)
Thực hiện phép tính :

a-

1 2
1
1
6. − −3. − +1 :(− −1)
3
3
3

[( ) ( )]

bCâu 2 ( 2 điểm)

23
32
. − . (−1 )2003
3
4
22
5 3
.−
5
12

()( )
()( )

11

EMA ( đpcm)

2

a + a+3
a+1

a- Tìm số nguyên a để
là số nguyên
b- Tìm số nguyên x,y sao cho x-2xy+y=0
Câu 3 ( 2 điểm)

a c
=
a- Chứng minh rằng nếu a+c=2b và 2bd = c (b+d) thì b d

với b,d khác 0
b- Cần bao nhiêu số hạng của tổng S = 1+2+3+… để được một số có ba chữ số giống nhau .
Câu 4 ( 3 điểm)
Cho tam giác ABC có góc B bằng 45 0 , góc C bằng 1200. Trên tia đối của tia CB lấy điểm D sao cho
CD=2CB . Tính góc ADE
Câu 5 ( 1điểm)
Tìm mọi số nguyên tố thoả mãn : x2-2y2=1
ĐÁP ÁN ĐỀ 4
CÂU
HƯỚNG DẪN CHẤM
ĐIỂM
1.a

Thực hiện theo từng bước đúng kết quả -2 cho điểm tối đa

1Điểm

1.b

Thực hiện theo từng bước đúng kết quả 14,4 cho điểm tối đa

1Điểm

2.a
Ta có :

2
a(a+1 )+ 3
a + a+3
3
=a+
a+1
a+1
a+1
=
2

a + a+3
a+1

vì a là số nguyên nên
là số nguyên khi
hay a+1 là ước của 3 do đó ta có bảng sau :
a+1
-3
-1
1
a
-4
-2
0

0,25

3
a+1 là số nguyên
3
2

0,25

2

Vậy với a

∈ {− 4,−2,0,2 }

thì

a + a+3
a+1

là số nguyên

0,25

0,25
2.b

Từ : x-2xy+y=0
Hay (1-2y)(2x-1) = -1

0,25

Vì x,y là các số nguyên nên (1-2y)và (2x-1) là các số nguyên do đó ta có các
trường hợp sau :

{ 1−2 y=1 ¿¿¿¿
{1−2 y=−1¿¿¿¿

0,25

Hoặc

0,25

12

Vậy có 2 cặp số x, y như trên thoả mãn điều kiện đầu bài
0,25
3.a

3.b

Vì a+c=2b nên từ 2bd = c (b+d) Ta có: (a+c)d=c(b+d)

0,5

a c
=
Hay ad=bc Suy ra b d ( ĐPCM)

0,5

Giả sử số có 3 chữ số là

aaa

=111.a ( a là chữ số khác 0)

Gọi số số hạng của tổng là n , ta có :

n(n+1)
=111 a=3. 37 . a
2
Hay n(n+1) =2.3.37.a

0,25

Vậy n(n+1) chia hết cho 37 , mà 37 là số nguyên tố và n+1<74 ( Nếu n = 74
không thoả mãn )
Do đó n=37 hoặc n+1 = 37

0,25

Nếu n=37 thì n+1 = 38 lúc đó

n(n+1)
=703
2

không thoả mãn

Nếu n+1=37 thì n = 36 lúc đó

n(n+1)
=666
2

thoả mãn

Vậy số số hạng của tổng là 36
4

0,5
A

H

B

C

Kẻ DH Vuông góc với AC vì

CD
2
Nên CH =

0,5

D

ACD =600 do đó CDH = 300
0,5

⇒ CH = BC

Tam giác BCH cân tại C

1,0

⇒ CBH = 300

13

⇒

ABH = 150

1,0

5

Mà BAH = 150 nên tam giác AHB cân tại H
Do đó tam giác AHD vuông cân tại H Vậy ADB = 450+300=750
Từ : x2-2y2=1suy ra x2-1=2y2
Nếu x chia hết cho 3 vì x nguyên tố nên x=3 lúc đó y= 2 nguyên tố thoả mãn
Nếu x không chia hết cho 3 thì x 2-1 chia hết cho 3 do đó 2y 2 chia hết cho 3
Mà(2;3)=1 nên y chia hết cho 3 khi đó x2=19 không thoả mãn
Vậy cặp số (x,y) duy nhất tìm được thoả mãn điều kiện đầu bài là (2;3)

0,25
0,25

0,25
0,25

ĐỀ SỐ 5:

14

Bài 1 (3đ):1, Tính:

P=

2, Biết: 13 + 23 + . . . . . . .+ 103 = 3025.
Tính: S = 23 + 43 + 63 + . . . .+ 203
3, Cho: A =
Tính giá trị của A biết
là số nguyên âm lớn nhất.
Bài 2 (1đ):Tỡm x biết: 3x + 3x + 1 + 3x + 2 = 117
Bài 3 (1đ):
Một con thỏ chạy trên một con đường mà hai phần ba con đường băng qua đồng
cỏ và đoạn đường cũn lại đi qua đầm lầy. Thời gian con thỏ chạy trên đồng cỏ bằng nửa
thời gian chạy qua đầm lầy.
Hỏi vận tốc của con thỏ trên đoạn đường nào lớn hơn ? Tính tỉ số vận tốc của con
thỏ trên hai đoạn đường ?
Bài 4 (2đ):
Cho ∆ABC nhọn. Vẽ về phía ngoài ∆ABC các ∆ đều ABD và ACE. Gọi M là
giao điểm của BE và CD. Chứng minh rằng:
1, ∆ABE = ∆ADC
2,
Bài 5 (3đ):Cho ba điểm B, H, C thẳng hàng, BC = 13 cm, BH = 4 cm, HC = 9 cm. Từ
H vẽ tia Hx vuông góc với đường thẳng BC. Lấy A thuộc tia Hx sao cho HA = 6 cm.
1, ∆ABC là ∆ gỡ ? Chứng minh điều đó.
2, Trên tia HC lấy điểm D sao cho HD = HA. Từ D vẽ đường thẳng song song
với AH cắt AC tại E. Chứng minh: AE = AB

ĐỀ SỐ 6:
Bài 1 (4đ):
Cho các đa thức:
A(x) = 2x5 – 4x3 + x2 – 2x + 2
B(x) = x5 – 2x4 + x2 – 5x + 3
C(x) = x4 + 4x3 + 3x2 – 8x +
1, Tính M(x) = A(x) – 2B(x) + C(x)
2, Tính giá trị của M(x) khi x =
3, Có giá trị nào của x để M(x) = 0 không ?
Bài 2 (4đ):
15

1, Tỡm ba số a, b, c biết:3a = 2b; 5b = 7c và 3a + 5b – 7c = 60
2, Tỡm x biết:
Bài 3 (4đ):Tỡm giỏ trị nguyên của m và n để biểu thức
1, P =

có giá trị lớn nhất

2, Q =

có giá trị nguyên nhỏ nhất

Bài 4 (5đ):Cho tam giác ABC có AB < AC; AB = c, AC = b. Qua M là trung điểm của
BC kẻ đường vuông góc với đường phân giác trong của góc A, cắt các đường thẳng
AB, AC lần lượt tại D, E.
1, Chứng minh BD = CE.
2, Tính AD và BD theo b, c
Bài 5 (3đ):Cho ∆ABC cân tại A,
. D là điểm thuộc miền trong của ∆ABC
sao cho
Tính góc ADB ?

.

ĐỀ SỐ 7:
Bài 1 (3đ): Tính:1,
2, (63 + 3. 62 + 33) : 13
3,
Bài 2 (3đ):1, Cho

và a + b + c ≠ 0; a = 2005.Tính b, c.

2, Chứng minh rằng từ hệ thức
ta có hệ thức:
Bài 3 (4đ): Độ dài ba cạnh của tam giác tỉ lệ với 2; 3; 4. Ba chiều cao tương ứng với ba
cạnh đó tỉ lệ với ba số nào ?
Bài 4 (3đ):Vẽ đồ thị hàm số:
y=
Bài 5 (3đ):
Chứng tỏ rằng:
A = 75. (42004 + 42003 + . . . . . + 42 + 4 + 1) + 25 là số chia hết cho 100
Bài 6 (4đ):
Cho tam giác ABC có góc A = 60 0. Tia phân giác của góc B cắt AC tại D, tia
phân giác của góc C cắt AB tại E. Các tia phân giác đó cắt nhau tại I.
16