12 đề thi HSG Toán 6

12 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 6 ĐỀ 1 Câu 1. ( 2,0 điểm) Cho A = 2 + 22 + 23 + 24 + . . . + 220. Tìm chữ số tận cùng của A. Câu 2. ( 1,0 điểm) Số tự nhiên n có 54 ước. Chứng minh rằng tích các ước của n bằng n27. Câu 3. ( 1,5 điểm) Chứng minh rằng: n( n +1)( 2n +1)( 3n + 1)( 4n +1) chia hết cho 5 với mọi số tự nhiên n. Câu 4. ( 1,0 điểm) Tìm tất cả các số nguyên tố p và q sao cho các số 7p + q và pq + 11 cũng là các số nguyên tố. Câu 5. ( 1,5 điểm) a) Tìm ƯCLN( 7n +3, 8n - 1) với (n €N*). Tìm điều kiện của n để hai số đó nguyên tố cùng nhau. b) Tìm hai số tự nhiên biết: Hiệu của chúng bằng 84, ƯCLN của chúng bằng 28 và các số đó trong khoảng từ 300 đến 440. Câu 6. ( 1,0 điểm) Tìm các số nguyên x, y sao cho: xy – 2x - y = -6. Câu 7. ( 2,0 điểm) Cho xAy, trên tia Ax lấy điểm B sao cho AB = 5 cm. Trên tia đối của tia Ax lấy điểm D sao cho AD = 3 cm, C là một điểm trên tia Ay. a. Tính BD. b. Biết c. Biết AK = 1 cm (K thuộc BD). Tính BK. . Đáp án đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 6 Câu Câu 1 Đáp án A. 2 = (2 + 22 + 23 + 24 + . . . + 220.). 2 = 22 + 23 + 24 + 25 + . . . + 221. Nên A.2 - A = 221 -2  A = 221 - 2 (2,0 điểm) Ta có : 221 = 24.5+1 = (24)5 . 2 = 165 .2 ... 165 có tận cùng là 6 . Nên 165 . 2 có tận cùng là 6. 2 có tận cùng là 2. Vậy A có tận cùng là 2. Số tự nhiên n có 54 ước. Chứng minh rằng tích các ước của n bằng n . Điểm 0,5 0,5 0,5 0,5 27 0,25 Câu 2. 0,25 (1,0 điểm) 0,25 0,25 Với mọi số tự nhiên n ta có các trường hợp sau: TH1: n chia hết cho 5 thì tích chia hết cho 5. 0,25 TH 2: n chia cho 5 dư 1 thì n = 5k +1  4n +1= 20k + 5 chia hết cho 5  tích chia hết cho 5. Câu 3 0,25 TH3: n chia cho 5 dư 2 thì n = 5k +2 (1,5 điểm)  2n +1= 10k + 5 chia hết cho 5  tích chia hết cho 5. 0,25 TH4: n chia cho 5 dư 3 thì n = 5k +3  3n +1= 15k + 10 chia hết cho 5  tích chia hết cho 5. 0,25 TH 5: n chia cho 5 dư 4 thì n = 5k +4  n +1= 5k + 5 chia hết cho 5  tích chia hết cho 5. 0,25 Vậy : n( n +1)( 2n +1)( 3n + 1)( 4n +1) chia hết cho 5 với mọi số tự nhiên n. Nếu pq + 11 là số nguyên tố thì nó phải là số nguyên tố lẻ ( vì pq (1,0 điểm) + 11 > 2)  pq là số chẵn  ít nhất 1 trong 2 số phải chẵn, tức là bằng 2. 0,25 Câu 4 0,25 + Giả sử p = 2. Khi đó 7p + q = 14 + q ; pq + 11 = 2q + 11. Thử q = 2( loại) q = 3( t/m) q > 3 có 1 số là hợp số.  p = 2 và q = 3. + Giả sử q = 2. Giải TT như trên ta được p = 3. Vậy p = 2; q = 3 hoặc p = 3; q = 2. 0,25 0,25 0,25 a) Gọi ƯCLN( 7n +3, 8n - 1) = d với (n €N*) Ta có: 7n +3 d, 8n - 1 d. 0,25  8.( 7n +3) – 7.( 8n - 1) d  31 d  d = 1 hoặc 31. Để hai số đó nguyên tố cùng nhau thì d ≠ 31. Mà 7n + 3 31  7n + 3 - 31 31 7(n - 4) 31  n – 4 31( vì 7 và 31 nguyên tố cùng nhau)  n = 31k + 4( với k là số tự nhiên) Do đó d ≠ 31 n ≠ 31k + 4. Vậy hai số 7n +3, 8n – 1 nguyên tố cùng nhau khi n ≠ 31k + 4( với k là 0,25 số tự nhiên). 0,25 b) Gọi hai số phải tìm là a và b ( a, b  N* , a > b) Ta có: ƯCLN(a, b) = 28 nên a = 28k và b = 28q . Trong đó k, qN*và Câu 5 k, q nguyên tố cùng nhau. (1,5 điểm) Ta có : a - b = 84 k-q=3 Theo bài ra: 300 ≤ b < a ≤ 440  10 < q < k <16. Chọn hai số có hiệu bằng 3 trong khoảng từ 11 đến 15 là 11 và 14; 12 và 15. Chỉ có 11 và 14 là hai số nguyên tố cùng nhau. nên q = 11và k = 14. Ta có : a = 28. 11 = 308 ; b = 28. 14 = 392 Vậy hai số phải tìm là 308 và 392. 0,25 0,25 0,25 xy – 2x - y = -6 (x – 1)( y - 2) = -4. Với x, y là số nguyên, ta có 0,5 bảng: Câu 6 (1,0 điểm) x-1 -1 1 -2 2 -4 4 y-2 4 -4 2 -2 1 -1 x 0 2 -1 3 -3 5 y 6 -2 4 0 3 1 Vậy các số x, y thỏa mãn là: ( x,y) {( 0;6); (2;-2); (-1;4)…} C y 0,5 0,25 D A B x a) Tính BD Vì B thuộc tia Ax, D thuộc tia đối của tia Ax A nằm giữa D và B BD = BA + AD = 5 + 3 = 8 (cm) 0,25 b) Biết BCD = 850, BCA = 500. Tính ACD Câu 7 Vì A nằm giữa D và B => Tia CA nằm giữa 2 tia CB và CD (2,0 điểm) => ACD + ACB = BCD => ACD = BCD - ACB = 850 - 500 = 350 0,5 c) Biết AK = 1 cm (K thuộc BD). Tính BK * Trường hợp 1: K thuộc tia Ax - Lập luận chỉ ra được K nằm giữa A và B - Suy ra: AK + KB = AB KB = AB – AK = 5 – 1 = 4 (cm) 0, 5 * Trường hợp 2: K thuộc tia đối của tia Ax - Lập luận chỉ ra được A nằm giữa K và B - Suy ra: KB = KA + AB KB = 5 + 1 = 6 (cm) * Kết luận: Vậy KB = 4 cm hoặc KB = 6 cm (Bài thi của thí sinh giải theo cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa) ĐỀ 2 Bài 1: (1,0điểm) Thực hiện phép tính (tính hợp lý nếu có thể) a/ 1968: 16 + 5136: 16 -704: 16 b/ 23. 53 - 3 {400 -[ 673 - 23. (78: 76 +70)]} Bài 2: (1,0điểm) M có là một số chính phương không nếu: M = 1 + 3 + 5 +…+ (2n-1) (Với n N , n 0) Bài 3: (1,5điểm) Chứng tỏ rằng: a/ (3100+19990) 2 b / Tổng của 4 số tự nhiên liên tiếp không chia hết cho 4 0, 5 Bài 4: (1,0điểm) So sánh A và B biết: A= , B= Bài 5: (2,0điểm) Tím tất cả các số nguyên n để: a) Phân số b) Phân số có giá trị là một số nguyên là phân số tối giản Bài 6: (2,5điểm) Cho góc xBy = 550.Trên các tia Bx, By lần lượt lấy các điểm A, C (A B, C B). Trên đoạn thẳng AC lấy điểm D sao cho góc ABD = 300 a/ Tính độ dài AC, biết AD = 4cm, CD = 3cm b/ Tính số đo góc DBC c/ Từ B vẽ tia Bz sao cho góc DBz = 900. Tính số đo ABz. Bài 7: (1,0điểm) Tìm các cặp số tự nhiên x , y sao cho: (2x + 1)(y – 5) = 12 ---------- HẾT ---------(Đề thi gồm có 01 trang). Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh:.......................................; Số báodanh......................... HƯỚNG DẪN CHẤM Môn thi: Toán - Lớp 6 Bài 1: (1,0 điểm) Ý/Phần a = 16(123+ 321 - 44):16 = 400 b =8.125-3.{400-[673-8.50]} = 1000-3.{400-273} =619 Bài 2: (1,0 điểm) Ý/Phần Đáp án 0,25 Đáp án M = 1 + 3 + 5 +…+ (2n-1) (Với n N , n 0) Tính số số hạng = (2n-1-1): 2 + 1 = n Tính tổng = (2n-1+1) n: 2 = 2n2: 2 = n 2 KL: M là số chính phương Bài 3: (1,5 điểm) Điểm 0,25 0,25 0,25 Điểm 0,5 0,5đ x A Ý/Phần a b Đáp án Điểm D Ta có: B 100 3 = 3.3.3….3 (có 100 thừa số 3) C = (34)25 = 8125 có chữ số tận cùng bằng 1 y 990 19 = 19.19…19 (có 990 thứa số 19) = (192)495 = 361495 (có chữ zsố tận cùng bằng 1 Vậy 3100+19990 có chữ số tận cùng bằng 2 nên tổng này chia hết cho 2 Gọi 4 số tự nhiên liên tiếp là: a; (a +1);(a + 2);(a + 3); (a ) Ta có: a + (a+1) + (a+2) + (a+3) = 4a + 6 Vì 4a 4; 6 không chia hết 4 nên 4a+ 6 không chia hết 4 Bài 4: (1,0 điểm) Ý/Phần Đáp án Vì A = < 1 A= 0,25 0,25 0,5 0,25 0,25 Điểm < = = =B 0,75 0,25 Vậy A < B Bài 5: (2,0 điểm) Ý/Phần Đáp án a là số nguyên khi (n+1) (n-2) Điểm 0.5 Ta có (n+1) = Vậy (n+1) (n-2) khi 3 (n-2) (n-2) Ư(3) = => n Gọi d là ƯC của 12n+1 và 30n+2 (d N*) (60n+5-60n-4) d=1 Vậy phân số đã cho tối giản b Bài 6: (2,5 điểm) Ý/Phần a 0,25 d Đáp án Vẽ hình đúng TH1 TH2 x A z 0,5 D B C y 1 * d mà d N 0,5đ 0,25 Điểm 0,25 Vì D thuộc đoạn thẳng AC nên D nằm giữa A và C: AC= AD + CD = 4+3 = 7 cm Chứng minh được tia BD nằm giữa hai tia BA và BC Ta có đẳng thức: ABC = ABD + DBC ABC - ABD =550 – 300 = 250 b c 0,25 0,25 0,25 DBC = Xét hai trường hợp: - Trường hợp 1: Tia Bz và tia BD nằm về hai phía nửa mặt phẳng có bờ là AB nên tia BA nằm giữa hai tiaBz và BD Tính được ABz = 900 - ABD = 900- 300 = 600 - Trường hợp 2:Tia Bz và tia BD nằm về cùng nửa mặt phẳng có bờ là AB nên tia BD nằm giữa hai tia Bz và BA Tính được ABz = 900 + ABD = 900 + 300 = 1200 Bài 7: (1,0 điểm) Ý/Phần Đáp án (2x+ 1); (y - 5) là các ước của 12 Ư(12) = Vì 2x + 1 là lẻ nên: 2x + 1= 1 x=0 , y =17 2x + 1= 3 x=1 , y=9 Vậy với x = 0 thì y = 17; Với x = 1 thì y = 9 ĐỀ SỐ 3 Bài 1 : (5 điểm) Thực hiện các phép tính sau một cách hợp lý : a) . b) c) d) 1152 - (374 + 1152) + (-65 + 374) e) 13 - 12 + 11 + 10 - 9 + 8 - 7 - 6 + 5 - 4 + 3 + 2 - 1 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 Điểm 0,25 0,25 0,25 0,25 Bài 2 : (4 điểm) Tìm x, biết: a) b) c) 11 - (-53 + x) = 97 d) -(x + 84) + 213 = -16 Bài 3 : (2 điểm) Tìm hai số tự nhiên a và b, biết: BCNN(a,b)=300; ƯCLN(a,b)=15 và a+15=b. Bài 4 : (3 điểm) a) Tìm số nguyên x và y, biết : xy - x + 2y = 3. b) So sánh M và N biết rằng : . . Bài 5 : (6 điểm) Cho đoạn thẳng AB, điểm O thuộc tia đối của tia AB. Gọi M, N thứ tự là trung điểm của OA, OB. a) Chứng tỏ rằng OA < OB. b) Trong ba điểm O, M, N điểm nào nằm giữa hai điểm còn lại ? c) Chứng tỏ rằng độ dài đoạn thẳng MN không phụ thuộc vào vị trí của điểm O (O thuộc tia đối của tia AB). B - PHẦN ĐÁP ÁN : Bài 1 : (5 điểm) Thực hiện các phép tính sau một cách hợp lý : Đáp án Điểm 1 1 1 d) 1152 - (374 + 1152) + (-65 + 374) = 1152 - 374 - 1152 + (-65) + 374 = (1152 - 1152) + (-65) + (374 - 374) = 1 65 e) 13 - 12 + 11 + 10 - 9 + 8 - 7 - 6 + 5 - 4 + 3 + 2 - 1 = 1 = 13 - (12 - 11 - 10 + 9) + (8 - 7 - 6 + 5) - (4 - 3 - 2 + 1) = 13 Bài 2 : (4 điểm) Tìm x : Câu Đáp án Điểm a. 1 b. 1 c. 11 - (-53 + x) = 97 d. -(x + 84) + 213 = -16 1 1 Bài 3 : (3 điểm) Đáp án Điểm Từ dữ liệu đề bài cho, ta có : + Vì ƯCLN(a, b) = 15, nên ắt tồn tại các số tự nhiên m và n khác 0, sao cho: a = 15m; b = 15n (1) và ƯCLN(m, n) = 1 (2) + Vì BCNN(a, b) = 300, nên theo trên, ta suy ra : 3 + Vì a + 15 = b, nên theo trên, ta suy ra : Trong các trường hợp thoả mãn các điều kiện (2) và (3), thì chỉ có trường hợp : m = 4, n = 5 là thoả mãn điều kiện (4). Vậy với m = 4, n = 5, ta được các số phải tìm là : a = 15 . 4 = 60; b = 15 . 5 = 75 Bài 4 : (2 điểm) Câu Đáp án Điểm a. Chứng minh đẳng thức: 1 - (-a + b + c) + (b + c - 1) = (b - c + 6) - (7 - a + b) + c. Biến đổi vế trái của đẳng thức, ta được : VT = -(-a + b + c) + (b + c - 1) = -(-a) - (b + c) + (b + c) + (-1) = a - 1 Biến đổi vế phải của đẳng thức, ta được : VP = (b - c + 6) - (7 - a + b) + c = b + (-c) + 6 - 7 + a - b + c = [b + (-b)] + [(-c) + c] + a + [6 + (-7)] =a-1 So sánh, ta thấy : VT = VP = a - 1 Vậy đẳng thức đã được chứng minh. Với a > b và S = -(-a - b - c) + (-c + b + a) - (a + b), ta có : Tính : theo trên ta suy ra : * Xét với a và b cùng dấu, ta có các trường hợp sau xảy ra : + a và b cùng dương, hay a > b > 0, thì a + b > 0 : + a và b cùng âm, hay 0 > a > b, thì a + b < 0 ra : b. * Xét với a và b khác dấu : Vì a > b, nên suy ra : a > 0 và b < 0 hợp sau xảy ra : + ,hay a > -b > 0, do đó + suy ra : , hay -b > a > 0, do đó , nên suy 1 , ta cần xét các trường , suy ra: , hay Vậy, với : + (nếu < a < 0) + (nếu b < a < 0, hoặc b < 0 < ) Bài 5 : (6 điểm) Câu Đáp án Điểm Hình b o m a n vẽ Hai tia AO, AB đối nhau, nên điểm A nằm giữa hai điểm O và B, suy a. ra : 2 OA < OB. Ta có M và N thứ tự là trung điểm của OA, OB, nên : b. c. Vì OA < OB, nên OM < ON. Hai điểm M và N thuộc tia OB, mà OM < ON, nên điểm M nằm giữa hai điểm O và N. Vì điểm M nằm giữa hai điểm O và N, nên ta có : 2 2 suy ra : hay : Vì AB có độ dài không đổi, nên MN có độ dài không đổi, hay độ dài đoạn thẳng MN không phụ thuộc vào vị trí của điểm O (O thuộc tia đối của tia AB). ĐỀ THI SỐ 4 Câu 1 (6 điểm): Thực hiện các phép tính a) b) [528: (19,3 - 15,3)] + 42(128 + 75 - 32) – 7314 c) Câu 2 (4 điểm): Cho A = 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6+ ... + 19 - 20 a) A có chia hết cho 2, cho 3, cho 5 không? b) Tìm tất cả các ước của A. Câu 3 (4 điểm): a) Chứng minh rằng: Hai số lẻ liên tiếp bao giờ cũng nguyên tố cùng nhau. b) Tìm x biết: 1 + 5 + 9 + 13 + 16 +...+ x = 501501 Câu 4 (6 điểm): Cho tam giác ABC có BC = 5cm. Trên tia đối của tia CB lấy điểm M sao cho CM = 3cm. a) Tính độ dài BM. b) Cho biết = 800, =600. Tính . c) Lấy K thuộc đoạn thẳng BM sao cho CK = 1cm. Tính độ dài BK. ĐÁP ÁN Câu 1 (6 điểm): Thực hiện các phép tính a) (2 điểm): = b) (2 điểm): = (528 : 4) + 42. 171 - 7314 = 132 + 7182 - 7314 = 0 c) (2 điểm): = = Câu 2 (4 điểm): a) (2 điểm): A = (1-2) + (3-4) + (5-6) +...+ (19-20) (có 10 nhóm) (0,5đ) = (-1) + (-1) + (-1) +...+ (-1) (có 10 số hạng) (0,5đ) = 10. (-1) = -10 (0,5đ) Vậy A 2, A 3, A 5. (0,5đ) b) (2 điểm): Các ước của A là: 1, 2, 5, 10. (nêu được mỗi ước cho 0,25đ) Câu 3 (4 điểm): Hai số a) (2 điểm): lẻ liên tiếp có dạng 2n + 1 và 2n + 3 (n N). (0,5đ) Gọi d là ước số chung của chúng. Ta có: 2n + 1 d và 3n + 3 d (0,5đ) nên (2n + 3) - (2n + 1) d hay 2 d nhưng d không thể bằng 2 vì d là ước chung của 2 số lẻ. (0,5đ) Vậy d = 1 tức là hai số lẻ liên tiếp bao giờ cũng nguyên tố cùng nhau. (0,5đ) b) (2 điểm) Ta có: 5 = 2 + 3; 9 = 4 + 5; 13 = 6 + 7; 16 =7 + 8 ... Do vậy x = a + (a+1) (a N) Nên 1 + 5 + 9 + 13 + 16 +...+ x = 1+2+3+4+5+6+7+...+a+(a+1) = 501501 Hay (a+1)(a+1+1): 2 = 501501 (a+1)(a+2) = 1003002 = 1001 . 1002 (0,25đ) Suy ra: a = 1000 (0,25đ) Do đó: x = 1000 + (1000 + 1) = 2001. (0,25đ) Câu 4 (6 điểm): (0,5đ) (0,25đ) (0,25đ) (0,25đ) a) (2 điểm): Hai điểm M và B thuộc hai tia đối nhau CM và CB nên điểm C nằm giữa hai điểm B và M (1đ) Do đó: BM= BC + CM = 5 + 3 = 8 (cm) (1đ) b) (2 điểm): Do C nằm giữa hai điểm B và M nên tia AC nằm giữa hai tia AB và AM (1đ) Do đó = 800 - 600 = 200 (1đ) c) (2 điểm): B K2 C K1 M + Nếu K thuộc tia CM thì C nằm giữa B và K (ứng với điểm K1 trong hình vẽ) (0,5đ) Khi đó BK = BC + CK = 5 + 1 = 6 (cm) (0,5đ) + Nếu K thuộc tia CB thì K nằm giữa B và C (ứng với điểm K2 trong hình vẽ) (0,5đ) Khi đó BK = BC - CK = 5 - 1 = 4 (cm) (0,5đ) ĐỀ SỐ 6 Câu 1(3,0 điểm): Tính giá trị của các biểu thức sau: a. b. Câu 2(4,0 điểm): Tìm các số nguyên x biết. a. b. c. Câu 3(5,0 điểm): a, Một số tự nhiên chia cho 7 dư 5,chia cho 13 dư 4. Nếu đem số đó chia cho 91 thì dư bao nhiêu? b, Học sinh khối 6 khi xếp hàng; nếu xếp hàng 10, hàng 12, hàng15 đều dư 3 học sinh. Nhưng khi xếp hàng 11 thì vùa đủ. Biết số học sinh khối 6 chưa đến 400 học sinh.Tính số học sinh khối 6? Câu 4(6,0 điểm): Cho góc bẹt xOy. Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ xy,vẽ các tia Oz và Ot sao cho . a. Chứng tỏ tia Oz nằm giữa hai tia Ox và Ot ? b. Chứng tỏ tia Ot là tia phân giác của góc yOz? c.Vẽ tia phân giác On của góc xOz. Tính góc nOt? Câu 5(2,0 điểm): Cho n là số nguyên tố lớn hơn 3. Hỏi n2 + 2006 là số nguyên tố hay là hợp số. ---------Hết--------- ĐÁP ÁN Câu Nội dung Thang điểm 0.5 0.5 Câu 1(4điểm) a (1,5) 0.5 b (1,5) 0.5 0.5 0,25 0.25 0.5 câu 2 (4điểm) 0.5 a (1,0) b (1,5) 0.5 0.5 (không thỏa mãn) 0.5 c (1,5) 0.5 Câu3(4,0) a (2,0) Vậy Gọi số đó là a Vì a chia cho 7 dư 5, chia cho 13 dư 4 mà (7,13)=1 nên a+9=91k a=91k-9 =91k-91+82=91(k-1)+82 (k N) Vậy a chia cho 91 dư 82. b (2,0) Gọi số Hs khối 6 là a (3 3 nên n không chia hết cho 3. Vậy n2 chia hết cho 3 dư 1 do đó n2 + 2006 = 3m + 1 + 2006 = 3m+2007 = 3( m+669) chia hết cho 3. 2 Vậy n + 2006 là hợp số. 0.5 0.5 0.5 0.5 0.75 0.25 ĐỀ SỐ 7 §Ò Thi häc sinh giái cÊp huyÖn Bµi 1(1,5®): T×m x a) 5x = 125; b) 32x = 81 ; c) 52x-3 – 2.52 = 52.3 Bµi 2 (1,5®) Cho a lµ sè nguyªn. Chøng minh r»ng: Bµi 3 (1,5®) Cho a lµ mét sè nguyªn. Chøng minh r»ng: a) NÕu a d¬ng th× sè liÒn sau a còng d¬ng. b) NÕu a ©m th× sè liÒn tríc a còng ©m. c) Cã thÓ kÕt luËn g× vÒ sè liÒn tríc cña mét sè d¬ng vµ sè liÒn sau cña mét sè ©m? Bµi 4 (2®) Cho 31 sè nguyªn trong ®ã tæng cña 5 sè bÊt kú lµ mét sè d¬ng. Chøng minh r»ng tæng cña 31 sè ®ã lµ sè d¬ng. Bµi 5 (2®). Cho c¸c sè tù nhiªn tõ 1 ®Õn 11 ®îc viÕt theo thø tù tuú ý sau ®ã ®em céng mçi sè víi sè chØ thø tù cña nã ta ®îc mét tæng. Chøng minh r»ng trong c¸c tæng nhËn ®îc, bao giê còng t×m ra hai tæng mµ hiÖu cña chóng lµ mét sè chia hÕt cho 10. Bµi 6 (1,5®): Cho tia Ox. Trªn hai n÷a mÆt ph¼ng ®èi nh¨u cã bê lµ Ox. VÏ hai tia Oy vµ Oz sao cho gãc xOy vµ xOz b¾ng 1200. Chøng minh r»ng: a) b) Tia ®èi cña mçi tia Ox, Oy, Oz lµ ph©n gi¸c cña gãc hîp bëi hai tia cßn l¹i. §¸p ¸n: Bµi 1 (1,5®) a).5x = 125  5x = 53 => x= 3 b) 32x = 81 => 32x = 34 => 2x = 4 => x = 2 c). 52x-3 – 2.52 = 52.3 52x: 53 = 52.3 + 2.52 52x: 53 = 52.5 52x = 52.5.53  52x = 56 => 2x = 6 => x=3 Bµi 2. V× => lµ mét sè tù nhiªn víi mäi a Z nªn tõ < 5 ta = {0,1,2,3,4}. NghÜa lµ a ={0,1,-1,2,-2,3,-3,4,-4}. BiÓu diÔn trªn trôc sè c¸cc sè nµy ®Òu lín h¬n -5 vµ nhá h¬n 5 do ®ã -50 sè liÒn sau a lín h¬n a nªn còng lín h¬n 0 nªn lµ sè d¬ng b)NÕu a ©m th× sè liÒn tríc a còng ©m. Ta cã: NÕu a ©m th× a<0 sè liÒn tríc a nhá h¬n a nªn còng nhá h¬n 0 nªn lµ sè ©m. Bµi 4 (2®). Trong c¸c sè ®· cho Ýt nhÊt cã 1 sè d¬ng v× nÕu tr¸i l¹i tÊt c¶ ®Òu lµ sè ©m th× tæng cña 5 sè bÊt kú trong chóng sÏ lµ sè ©m tr¸i víi gi¶ thiÕt. T¸ch riªng sè d¬ng ®ã cßn 30 sè chi lµm 6 nhãm. Theo ®Ò bµi tæng c¸c sè cña mçi nhãm ®Òu lµ sè d¬ng nªn tæng cña 6 nhãm ®Òu lµ sè d¬ng vµ do ®ã tæng cña 31 sè ®· cho ®Òu lµ sè d¬ng. Bµi 5 (2®): V× cã 11 tæng mµ chØ cã thÓ cã 10 ch÷ sè tËn cïng ®Òu lµ c¸c sè tõ 0 , 1 ,2, …., 9 nªn lu«n t×m ®îc hai tæng cã ch÷ sè tËn cïng gièng nhau nªn hiÖu cña chóng lµ mét sè nguyªn cã tËn cïng lµ 0 vµ lµ sè chia hÕt cho 10. Bµi 6 (1,5®).Ta cã: Oy, Oz nªn vµ tia Ox’ n»m gi÷a hai tia vËy Do tia Ox’ n»m gi÷a hai tia Oy, Oz vµ nªn Ox’ lµ tia ph©n gi¸c cña gãc hîp bëi hai tia Oy, Oz. T¬ng tù tia Oy’ (tia ®èi cña Oy) vµ tia Oz’ (tia ®èi cña tia Oz) lµ ph©n gi¸c cña gãc xOz vµ xOy. ĐỀ SỐ 8 Bµi 1( 8 ®iÓm ) 1. T×m ch÷ sè tËn cïng cña c¸c sè sau: a) 571999 b) 93 1999 2. Cho A= 9999931999 - 5555571997 Chøng minh r»ng A chia hÕt cho 5. 3 . Cho ph©n sè ( a