Bài 1: Số phức
SỐ PHỨC
1. Số \(i\)
Ta đã biết các phương trình bậc hai với biệt số âm không có nghiệm thực. Phương trình bậc hai đơn giản nhất không có nghiệm thực là phương trình
\(x^2+1=0\)
Với mong muốn mở rộng tập hợp số thực để mọi phương trình bậc n đều có nghiệm, người ta đưa ra một số mới, kí hiện là \(i\) và coi nó là nghiệm của phương trình trên. Như vậy
\(i^2=-1\)
2. Định nghĩa số phức
Mỗi biểu thức dạng \(a+bi\) trong đó \(a,b\in R,i^2=-1\) được gọi là một số phức
Đối với số phức \(z=a+bi\), ta nói \(a\) là phần thực \(b\) là phần ảo của \(z\)
Tập hợp các số phức kí hiệu là \(C\)
Ví dụ : Các số sau là những số phức : \(2+5i;-\sqrt{2}+3i;1+\left(-3\right)i\) (còn viết là \(1-3i;\)) ; \(1+\sqrt{3}i\) (còn viết là \(1+i\sqrt{3}\))
3. Số phức bằng nhau :
Hai số phức bằng nhau nếu phần thực và phần ảo của chúng tương ứng bằng nhau.
\(a+bi=c+di\Leftrightarrow a=c;b=d\)
Ví dụ : Tìm các số thực x và y, biết :
\(\left(2x+1\right)+\left(3y-2\right)i=\left(x+2\right)+\left(y+4\right)i\)
Giải : Từ định nghĩa của hai số phức bằng nhau, ta có :
\(2x+1=x+2\) và \(3y-2=y+4\)
Vậy \(x=1;y=3\)
CHÚ Ý :
- Mỗi số thực \(a\) được coi là một số phức với phần ảo bằng 0 \(\text{ a=a+0i}\). Như vậy, mỗi số thực cũng là một số phức. Ta có \(R\subset C\)
- Số phức \(0+bi\) được gọi là số thuần ảo và viết đơn giản là \(\text{ bi}\)
\(bi=0+bi\)
Đặc biệt \(i=0+1i\). Số \(i\) được gọi là đơn vị ảo
4. Môđun của số phức
Giả sử số phức \(z=a+bi\) được biểu diễn bởi điểm M(a;b) trên mặt phẳng tọa độ
Độ dài của vectơ \(\overrightarrow{OM}\) được gọi là môđun của số phức \(z\) và kí hiệu là\(\left|z\right|\)
Vậy \(\left|z\right|=\left|\overrightarrow{OM}\right|\) hay \(\left|a+bi\right|=\left|\overrightarrow{OM}\right|\)
Dễ thấy \(\left|a+bi\right|=\sqrt{a^2+b^2}\)