Bài 2: Cộng, trừ và nhân số phức

1. Phép cộng hai số phức

cho hai số phức z = a + bi và z' = a' + b'i

z + z' = (a + a') + (b + b')i

Tính chất:

- Kết hơp: (z + z') + z'' = z + (z' + z'')

- Giao hoán: z + z' = z' + z

- Số đối của z = a + bi là số -z = -a -bi

2. Phép trừ hai số phức

cho hai số phức z = a + bi và z' = a' + b'i

z - z' = (a - a') + (b - b')i

3. Phép nhân hai số phức

Cho z = a + bi và z' = a' + b'i, lấy tích của hai số và chú ý i² = -1 ta có:

z . z' = (a + bi)(a' + b'i) = aa' + ab'i + a'bi + bb'i² = aa' + ab'i + a'bi + bb'(-1) = aa' - bb' + (ab' + a'b)i

Tính chất:

- với k là số thực thì k.z = ka + kbi

- Giao hoán: z.z' = z'.z

- Kết hợp: (z.z').z'' = z.(z'.z'')

- Phân phối của phép nhân đối với phép cộng

z.(z' + z'') = z.z' + z.z''

4. Phép chia cho số phức khác 0

- Mô đun (kí hiệu là |z|) của số phức z = a + bi là một số thực \(\left|z\right|=\sqrt{a^2+b^2}\)

- Số phức liên hợp (kí hiệu là \(\overline{z}\)) của số phức z = a + bi là số phức \(\overline{z}=a-bi\)

- Nghịch đảo (kí hiệu z^-1) của số phức z là số phức sao cho tích với z thì bằng 1. Ta dễ nhận thấy:

\(z^{-1}=\frac{1}{\left|z\right|^2}\overline{z}=\frac{1}{a^2+b^2}\left(a-bi\right)\)

Vì \(\frac{1}{a^2+b^2}\left(a-bi\right)\left(a+bi\right)=\frac{a^2-b^2i^2}{a^2+b^2}=1\)

- Chia số phức z' = a' + b'i cho số phức z = a + bi là lấy z' nhân với z^-1

\(\frac{z'}{z}=z'.z^{-1}=\left(a'+b'i\right)\frac{1}{a^2+b^2}\left(a-bi\right)=\frac{a'a+bb'}{a^2+b^2}+\frac{ab'-a'b}{a^2+b^2}i\)

5. Mô đun của tích, thương hai số phức

- Mô đun của một thương bằng thương hai mô đun: \(\left|\frac{z_1}{z_2}\right|=\frac{\left|z_1\right|}{\left|z_2\right|}\)

Chứng minh:

Giả sử \(z_1=a+bi;z_2=x+yi\)

- Tích \(z_1.z_2=\left(ax-by\right)+\left(bx+ay\right)i\)

\(\left|z_1.z_2\right|=\sqrt{\left(ax-by\right)^2+\left(bx+ay\right)^2}\)

\(=\sqrt{a^2x^2+b^2y^2+b^2x^2+a^2y^2}=\sqrt{a^2\left(x^2+y^2\right)+b^2\left(x^2+y^2\right)}\)

\(=\sqrt{\left(a^2+b^2\right)\left(x^2+y^2\right)}\)

\(=\left|z_1\right|.\left|z_2\right|\)

- Thương \(\frac{z_1}{z_2}=\frac{a+bi}{x+yi}=\frac{\left(a+bi\right)\left(x-yi\right)}{\left(x+yi\right)\left(x-yi\right)}=\frac{ax+by}{x^2+y^2}+\frac{\left(bx-ay\right)}{x^2+y^2}i\)

=> \(\left|\frac{z_1}{z_2}\right|=\sqrt{\frac{\left(ax+by\right)^2+\left(bx-ay\right)^2}{\left(x^2+y^2\right)^2}}=\sqrt{\frac{\left(a^2+b^2\right)\left(x^2+y^2\right)}{\left(x^2+y^2\right)^2}}\)

\(=\sqrt{\frac{a^2+b^2}{x^2+y^2}}=\frac{\left|z_1\right|}{\left|z_2\right|}\)

TÀI LIỆU THAM KHẢO

Số phức: 4 dạng toán trong đề thi đại học

Các bài toán số phức trong các đề thi đại học, có hướng dẫn giải

chuyên đề số phức lớp 12

BAI TAP SO PHUC CO LOI GIAI