Bài 4: Hàm số mũ. Hàm số logarit
Lý thuyết
Mục lục
* * * * *
Bài 2.18 trang 115 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12
Hãy so sánh mỗi số sau với 1.
a) \({(0,1)^{\sqrt 2 }}\)
b) \({(3,5)^{0,1}}\)
c) \({\pi ^{ - 2,7}}\)
d) \({(\frac{{\sqrt 5 }}{5})^{ - 1,2}}\)
Hướng dẫn giải
a) \({(0,1)^{\sqrt 2 }} < 1\)
b) \({(3,5)^{0,1}} > 1\)
c) \({\pi ^{ - 2,7}} < 1\)
d) \({(\frac{{\sqrt 5 }}{5})^{ - 1,2}} > 1\).
Bài 2.19 trang 115 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12
Tìm tọa độ giao điểm của đồ thị của mỗi cặp hàm số sau:
a) \(y = {2^x}\) và y = 8
b) \(y = {3^x}\) và \(y = \frac{1}{3}\)
c) \(y = {(\frac{1}{4})^x}\) và \(y = \frac{1}{{16}}\)
d) \(y = {(\frac{1}{3})^x}\) và y = 9
Hướng dẫn giải
a) (3; 8)
b) \(( - 1;\frac{1}{3})\)
c) \((2;\frac{1}{{16}})\)
d) (-2; 9).
Bài 2.20 trang 116 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12
Sử dụng tính chất đồng biến, nghịch biến của hàm số mũ, hãy so sánh mỗi cặp số sau:
a) (1,7)3 và 1
b) (0,3)2 và 1.
c) (3,2)1,5 và (3,2)1,6
d) (0,2)-3 và (0,2)-2
e) \({(\frac{1}{5})^{\sqrt 2 }}\) và \({(\frac{1}{5})^{1,4}}\)
g) \({6^\pi }\) và 63,14
Hướng dẫn giải
a) (1,7)3 > 1 ;
b) (0,3)2 < 1 ;
c) (3,2)1,5 < (3,2)1,6
d) (0,2)- 3 > (0,2)- 2
e) \({(\frac{1}{5})^{\sqrt 2 }} < {(\frac{1}{5})^{1,4}}\)
g) \({6^\pi } > {6^{3,14}}\).
Bài 2.21 trang 116 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12
Từ đồ thị của hàm số \(y = {3^x}\) , hãy vẽ đồ thị của các hàm số sau:
a) y = 3x – 2
b) y = 3x + 2
c) y = |3x – 2|
d) y = 2 – 3x
Hướng dẫn giải
a) Đồ thị của hàm số y \(y = {3^x} - 2\) nhận được từ đồ thị của hàm số \(y = {3^x}\) bằng phép tịnh tiến song song với trục tung xuống dưới 2 đơn vị (H. 49)
b) Đồ thị của hàm số \(y = {3^x} + 2\) nhận được từ đồ thị của hàm số \(y = {3^x}\) bằng phép tịnh tiến song song với trục tung lên phía trên 2 đơn vị (H. 50)
c)
\(y = |{3^x} - 2| = \left\{ \begin{array}{l}
{3^x} - 2,{3^x} - 2 \ge 0\\
- {3^x} + 2,{3^x} - 2 < 0
\end{array} \right.\)
Do đó, đồ thị của hàm số \(y = |{3^x} - 2|\) gồm:
- Phần đồ thị của hàm số \(y = {3^x} - 2\) ứng với \({3^x} - 2 \ge 0\) (nằm phía trên trục hoành).
- Phần đối xứng qua trục hoành của đồ thị hàm số \(y = {3^x} - 2\) ứng với \({3^x} - 2 < 0\) .
Vậy đồ thị của hàm số \(y = |{3^x} - 2|\) có dạng như hình 51.
d) \(y = 2 - {3^x} = - ({3^x} - 2)\)
Ta có đồ thị của hàm số \(y = 2 - {3^x}\) đối xứng với đồ thị cua hàm số \(y = {3^x} - 2\) qua trục hoành (H.52).
Bài 2.22 trang 116 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = {2^{|x|}}\) trên đoạn [-1; 1].
Hướng dẫn giải
Trên đoạn [-1; 1], ta có :
\(\begin{array}{l}
y = {\log _{\sqrt 5 }}x\\
y = {2^{|x|}} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{2^x},khix \in {\rm{[}}0;1]}\\
{{2^{ - x}},khix \in {\rm{[}} - 1;0]}
\end{array}} \right.
\end{array}\)
Do đó, trên đoạn [0; 1] hàm số đồng biến, trên đoạn [-1; 0] hàm số nghịch biến. Suy ra các giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất sẽ đạt được tại các đầu mút.
Ta có: \(y( - 1) = {2^{ - ( - 1)}} = {2^1} = 2,y(0) = {2^0} = 1,y(1) = {2^1} = 2\)
Vậy \(\mathop {M{\rm{ax}}}\limits_{{\rm{[}} - 1;1]} y = y(1) = y( - 1) = 2,\mathop {\min }\limits_{{\rm{[}} - 1;1]} y = y(0) = 1\).
Bài 2.23 trang 116 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12
Cho biết chu kỳ bán rã của một chất phóng xạ là 24 giờ (1 ngày đêm). Hỏi 250 gam chất đó sẽ còn lại bao nhiêu gam sau:
a) 1,5 ngày đêm?
B) 3,5 ngày đêm
Hướng dẫn giải
Ta biết công thức tính khối lượng chất phóng xạ tại thời điểm t là:
\(m(t) = {m_0}{(\frac{1}{2})^{\frac{t}{T}}}\)
Trong đó, m0 là khối lượng chất phóng xạ ban đầu. (tức là tại thời điểm t = 0).
T là chu kỳ bán rã.
Ta có: T = 24 giờ = 1 ngày đêm, m0 = 250 gam.
Do đó:
a) Khối lượng chất phóng xạ còn lại sau 1,5 ngày đêm là:
\(m(1,5) = 250{(\frac{1}{2})^{\frac{{1,5}}{1}}} \approx 88,388(g)\)
b) Khối lượng chất phóng xạ còn lại sau 3,5 ngày đêm là:
\(m(3,5) = 250{(\frac{1}{2})^{\frac{{3,5}}{1}}} \approx 22,097(g)\).
Bài 2.24 trang 116 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12
Một khu rừng có trữ lượng gỗ 4.105 mét khối. Biết tốc độ sinh trưởng của các cây ở khu rừng đó là 4% mỗi năm. Hỏi sau 5 năm, khu rừng đó sẽ có bao nhiêu mét khối gỗ?
Hướng dẫn giải
Gọi trữ lượng gỗ ban đầu là V0, tốc độ sinh trưởng hằng năm của rừng là i phần trăm. Ta có:
- Sau 1 năm, trữ lượng gỗ là:
V1 = V0 + iV0 = V0(1 + i)
- Sau 2 năm, trữ lượng gỗ là:
V2 = V1 + iV1 = V1(1 + i) = V0(1 + i)2
………………
- Sau 5 năm, trữ lượng gỗ là
V5 = V0(1 + i)5
Thay V0 = 4.105 (m3), i = 4% = 0,04, ta được
V5 = 4.105 (1 + 0,04)5 = 4,8666.105 (m3).
Bài 2.25 trang 116 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12
Tìm tập xác định của các hàm số sau:
a) \(y = {\log _8}({x^2} - 3x - 4)\)
b) \(y = {\log _{\sqrt 3 }}( - {x^2} + 5x + 6)\)
c) \(y = {\log _{0,7}}\frac{{{x^2} - 9}}{{x + 5}}\)
d) \(y = {\log _{\frac{1}{3}}}\frac{{x - 4}}{{x + 4}}\)
e) \(y = {\log _\pi }({2^x} - 2)\)
g) \(y = {\log _3}({3^{x - 1}} - 9)\)
Hướng dẫn giải
a) \(D = ( - \infty ; - 1) \cup (4; + \infty )\)
b) \(D =(-1; 6)\)
c) \(D = ( - 5; - 3) \cup (3; + \infty )\)
d) \(y = {\log _{\frac{1}{3}}}\frac{{x - 4}}{{x + 4}}\)
e) \(y = {\log _\pi }({2^x} - 2)\)
g) \(y = {\log _3}({3^{x - 1}} - 9)\).
Bài 2.26 trang 116 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12
Tình đạo hàm của các hàm số đã cho ở bài tập 2.25.
a) \(y = {\log _8}({x^2} - 3x - 4)\)
b) \(y = {\log _{\sqrt 3 }}( - {x^2} + 5x + 6)\)
c) \(y = {\log _{0,7}}\frac{{{x^2} - 9}}{{x + 5}}\)
d) \(y = {\log _{\frac{1}{3}}}\frac{{x - 4}}{{x + 4}}\)
e) \(y = {\log _\pi }({2^x} - 2)\)
g) \(y = {\log _3}({3^{x - 1}} - 9)\)
Hướng dẫn giải
a) \(y' = \frac{{2x - 3}}{{({x^2} - 3x - 4)\ln 8}}\)
b) \(y' = \frac{{ - 2x + 5}}{{( - {x^2} + 5x + 6)\ln \sqrt 3 }} = \frac{{ - 4x + 10}}{{( - {x^2} + 5x + 6)\ln 3}}\)
c) \(y' = \frac{{{x^2} + 10x + 9}}{{({x^2} - 9)(x + 5)\ln 0,7}}\)
d) \(y' = \frac{8}{{(16 - {x^2})\ln 3}}\)
e) \(y' = \frac{{{2^x}\ln 2}}{{({2^x} - 2)\ln \pi }}\)
g) \(y' = \frac{{{3^{x - 1}}}}{{{3^{x - 1}} - 9}}\).
Bài 2.27 trang 116 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12
Từ đồ thị của hàm số \(y = {\log _4}x\) , hãy vẽ đồ thị của các hàm số sau:
a) \(y = |{\log _4}x|\)
b) \(y = {\log _4}|x|\)
c) \(y = {\log _4}x + 2\)
d) \(y = 1 - {\log _4}x\)
Hướng dẫn giải
a)
\(y = |{\log _4}x| = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{{\log }_4}x,\,\,khi\,\,x \ge 1}\\
{ - {{\log }_4}x,\,\,khi\,\,0 < x < 1}
\end{array}} \right.\)
Do đó, đồ thị của hàm số \(y = |{\log _4}x|\) gồm:
- Phần đồ thị của hàm số \(y = {\log _4}x\) ứng với \(x \ge 1\)
- Phần đối xứng qua trục hoành của đồ thị hàm số \(y = {\log _4}x\) ứng với 0 < x < 1.
Vậy đồ thị có dạng như Hình 53.
b) Hàm số \(y = {\log _4}|x|\) có tập xác định D = R\{0} và là hàm số chẵn vì:
\(y( - x) = {\log _4}| - x| = {\log _4}|x| = y(x)\)
Do đó, đồ thị của hàm số này có trục đối xứng là trục tung, trong đó phần đồ thị ứng với x > 0 là đồ thị của hàm số \(y = {\log _4}x\)
Vậy ta có đồ thị như Hình 54.
c) Đồ thị của hàm số nhận được từ đồ thị của hàm số bằng phép tịnh tiến song song với trục tung lên trên 2 đơn vị (H.55)
d) Để vẽ đồ thị của hàm số \(y = 1 - {\log _4}x\) , ta thực hiện các bước sau:
- Lấy đối xứng qua trục hoành đồ thị của hàm số \(y = {\log _4}x\) để được đồ thị của hàm số \(y = - {\log _4}x\) ;
- Tịnh tiến song song với trục tung đồ thị của hàm số \(y = - {\log _4}x\) lên phía trên 1đơn vị.
Vậy ta có đồ thị của hàm số \(y = 1 - {\log _4}\) như trên Hình 56.
Có thể bạn quan tâm
Có thể bạn quan tâm
